16.3 二次根式的加减
第2课时
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列各式计算正确的是(C)
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
2.小明的计算过程如下,则他开始出现错误的是(C)
解:×2-÷
=2-……第一步
=2-……第二步
=……第三步
=……第四步.
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.计算:×-= 3 .
4.计算(+)2+2(-)的结果是 9 .
5.计算:(1)÷;
(2)-27+-+.
【解析】(1)原式=÷
=÷
=5÷-2÷
=5-;
(2)原式=-27+2--3+=-.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若x=+1,则式子x2-2x+2的值为 3 .
8.一个长方形的长a=+,宽b=-.
(1)该长方形的面积为 ,周长为 ;
(2)求a2+b2+ab的值.
【解析】(1)S长方形=ab=(+)×(-)=6-5=1;
C长方形=2(a+b)=2×(++-)=4.
答案:1 4
(2)由(1)得a+b=2,ab=1,原式=(a+b)2-ab=-1=23.
9.如图,张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC为 m,宽AB为 m,现要在空地中划出一块长方形地养鸡(即图中阴影部分),其余部分种植蔬菜,长方形养鸡场的长为(+1) m,宽为(-1) m.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)若市场上蔬菜8元/千克,张大伯种植该种蔬菜,每平方米可以产15千克的蔬菜,张大伯如果将所种蔬菜全部销售完,销售收入为多少元
【解析】(1)长方形ABCD的周长=2×(+)=2×(6+4)=20.
答:长方形ABCD的周长是20m.
(2)蔬菜地的面积=×-(+1)×(-1)=48-(10-1)=39.
39×15×8=4 680(元).
答:张大伯如果将所种蔬菜全部销售完,销售收入为4 680元.
10.-=m(m,n为整数),则m+n=(C)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11.设6-的整数部分为a,小数部分为b,则b的值是(A)
A.6 B.2 C.12 D.9
12.如图,从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形,则余下的面积为(A)
A.16 cm2 B.40 cm2
C.8 cm2 D.(2+4)cm2
13.已知:a=+,b=(+)(-),则= 2 .
14.(易错警示题)计算: (-1)·= 1 .
15.计算:
(1)-÷-(3-)(3+);
(2)×+(-)0+|-2|.
【解析】(1)原式=4-3÷-=4-3-9+3=-6;
(2)原式=2×2+1+2-=4+1+2-=3+3.
16.(2024·杭州期中)小辰在解决问题:已知a=,求2a2-8a+1的值.他是这样分析与解答的:
∵a===2-,
∴a-2=-,
∴(a-2)2=3,a2-4a+4=3,
∴a2-4a=-1,
∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小辰的分析过程,解决如下问题:
(1)①化简a== .
②当a=时,求3a2-6a-1的值.
(2)化简+++…+.
【解析】(1)①a===+1;
答案:+1
②3a2-6a-1=3(a2-2a+1-1)-1=3(a-1)2-4=3-4=3×2-4=2;
(2)+++…+
=++…+
=++…+
===22.
素养提升攻略
数学史料
海伦公式与秦九韶公式
如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积为S=.①
古希腊的几何学家海伦,在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量论》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=.②
素养训练3运算能力、推理能力
(1)在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,利用上面公式①求△ABC的面积;
(2)求证:=.
【解析】(1)∵AB=8,BC=10,AC=12,
∴p==15,
∴S△ABC==15;
(2)∵p=,
∴S=
=
=
=
=.
开放探索
数形结合在二次根式中的应用
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
素养训练4几何直观、运算能力
把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为,宽为4 cm)的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,求图2中两块阴影部分的周长和.
【解析】设题图1小长方形卡片的长为x,宽为y,
根据题意得x+2y=,则题图2中两块阴影部分周长和是2+2(4-2y)+2(4-x)=2+4×4-4y-2x=2+16-2(x+2y)
=2+16-2=16(cm).16.3 二次根式的加减
第1课时
知识点1 被开方数相同的二次根式
1.可以与下列哪个二次根式合并( )
A. B. C. D.
2.若最简二次根式与最简二次根式可以合并,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
知识点2 二次根式的加减运算
3.-的整数部分为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.计算--6的结果是( )
A.- B.2-2
C.-2 D.-2
5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简式子+|b-|-(a+),结果为( )
A.2a B.2b C.-2a D.-2
6.计算+3的结果是 .
7.已知-=a-2=b,则ab= .
8.计算:(1)-+3;
(2)3+|-|.
9.已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围;
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
10.下列各组二次根式中,化简后被开方数相同的二次根式是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
11.如图,从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为( )
A.36 B.24 C.18 D.12
12.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B,点A表示的数为-,设点B所表示的数为m,则|m-1|+= .
13.(易错警示题)计算:-= .
14.计算:
(1)-+4+;
(2)-+.
15.已知a=7-2,b=7+2.
(1)求a2-b2的值.
(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求m和n的值.
16.小明家装修,电视背景墙长BC为 m,宽AB为 m,中间要镶一个长为2 m,宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,若壁布造价为6元/m2,大理石的造价为200元/m2,则装修整个电视背景墙需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)16.3 二次根式的加减
第1课时
知识点1 被开方数相同的二次根式
1.可以与下列哪个二次根式合并(C)
A. B. C. D.
2.若最简二次根式与最简二次根式可以合并,则a的值是(A)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
知识点2 二次根式的加减运算
3.-的整数部分为(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.计算--6的结果是(C)
A.- B.2-2
C.-2 D.-2
5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简式子+|b-|-(a+),结果为(C)
A.2a B.2b C.-2a D.-2
6.计算+3的结果是 2 .
7.已知-=a-2=b,则ab= 15 .
8.计算:(1)-+3;
(2)3+|-|.
【解析】(1)原式=2-+=2;
(2)3+|-|
=3+-
=3-+
=2+.
9.已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围;
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
【解析】(1)∵二次根式有意义,
∴x+2≥0,解得x≥-2;
(2)①=,∵与能合并,并且是最简二次根式,
∴x+2=10,解得x=8;
②由①可得×=×=5.
10.下列各组二次根式中,化简后被开方数相同的二次根式是(D)
A.与 B.与
C.与 D.与
11.如图,从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为(A)
A.36 B.24 C.18 D.12
12.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B,点A表示的数为-,设点B所表示的数为m,则|m-1|+= +3 .
13.(易错警示题)计算:-= .
14.计算:
(1)-+4+;
(2)-+.
【解析】(1)原式=-+4+
=4-+2+3
=6+;
(2)原式=1-2+-1=-.
15.已知a=7-2,b=7+2.
(1)求a2-b2的值.
(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求m和n的值.
【解析】(1)∵a=7-2,b=7+2,
∴a+b=(7-2)+(7+2)=14,a-b=(7-2)-(7+2)=-4,
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=14×(-4)=-56;
(2)∵2=,4<<5,
∴-5<-<-4,
∴2<7-<3,即2<7-2<3,
∵m为a的整数部分,∴m=2,
∵11<7+<12,即11<7+2<12,
∵n为b的小数部分,
∴n=7+2-11=2-4.
16.小明家装修,电视背景墙长BC为 m,宽AB为 m,中间要镶一个长为2 m,宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,若壁布造价为6元/m2,大理石的造价为200元/m2,则装修整个电视背景墙需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)
【解析】(1)长方形ABCD的周长为2(BC+AB)=2=m.
(2)长方形ABCD的面积:×=3×2=6(m2),
大理石的面积:2×=2,
壁布的面积:6-2=4,
装修整个电视背景墙需要的总费用:6×4+200×2=24+400=424(元).16.3 二次根式的加减
第2课时
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列各式计算正确的是( )
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
2.小明的计算过程如下,则他开始出现错误的是( )
解:×2-÷
=2-……第一步
=2-……第二步
=……第三步
=……第四步.
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.计算:×-= .
4.计算(+)2+2(-)的结果是 .
5.计算:(1)÷;
(2)-27+-+.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若x=+1,则式子x2-2x+2的值为 .
8.一个长方形的长a=+,宽b=-.
(1)该长方形的面积为 ,周长为 ;
(2)求a2+b2+ab的值.
9.如图,张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC为 m,宽AB为 m,现要在空地中划出一块长方形地养鸡(即图中阴影部分),其余部分种植蔬菜,长方形养鸡场的长为(+1) m,宽为(-1) m.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)若市场上蔬菜8元/千克,张大伯种植该种蔬菜,每平方米可以产15千克的蔬菜,张大伯如果将所种蔬菜全部销售完,销售收入为多少元
10.-=m(m,n为整数),则m+n=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11.设6-的整数部分为a,小数部分为b,则b的值是( )
A.6 B.2 C.12 D.9
12.如图,从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形,则余下的面积为( )
A.16 cm2 B.40 cm2
C.8 cm2 D.(2+4)cm2
13.已知:a=+,b=(+)(-),则= .
14.(易错警示题)计算: (-1)·= .
15.计算:
(1)-÷-(3-)(3+);
(2)×+(-)0+|-2|.
16.(2024·杭州期中)小辰在解决问题:已知a=,求2a2-8a+1的值.他是这样分析与解答的:
∵a===2-,
∴a-2=-,
∴(a-2)2=3,a2-4a+4=3,
∴a2-4a=-1,
∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小辰的分析过程,解决如下问题:
(1)①化简a== .
②当a=时,求3a2-6a-1的值.
(2)化简+++…+.
素养提升攻略
数学史料
海伦公式与秦九韶公式
如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积为S=.①
古希腊的几何学家海伦,在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量论》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=.②
素养训练3运算能力、推理能力
(1)在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,利用上面公式①求△ABC的面积;
(2)求证:=.
开放探索
数形结合在二次根式中的应用
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
素养训练4几何直观、运算能力
把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为,宽为4 cm)的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,求图2中两块阴影部分的周长和.
