17.2 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题和互逆定理
1.下列命题的逆命题不正确的是( )
A.直角三角形的两锐角互余
B.相等的两个角一定是对顶角
C.若a2=b2,则a=b
D.全等三角形的三个对应角相等
2.给出下列命题:
①直角都相等;
②若ab>0且a+b>0,则a>0且b>0;
③一个角的补角大于这个角.
其中原命题和逆命题都为真命题的有 .
3.请写出下列命题的逆命题,并判断其真假.
(1)如果a+b=0,那么a=0,b=0;
(2)若两个角互补,则这两个角的和为180°;
(3)若c2a知识点2 勾股数
4.下列各组线段中,是勾股数的是( )
A.1,2, B.5,7,12
C.7,14,15 D.9,12,15
5.五根小棒的长度(单位:cm)分别为6,7,8,9,10,现从中选择三根,将它们首尾相接摆成三角形,其中能摆成直角三角形的是( )
A.6,7,8 B.6,8,10 C.7,8,9 D.7,9,10
知识点3 勾股定理的逆定理的应用
6.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若(a-1)2++=0,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
7.如图,在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中,有三条线段a,b,c(线段端点都在格点上),以这三条线段为边能否组成一个直角三角形 答: .(填“能”或“不能”)
8.已知△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,三边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7
B.∠A=∠B-∠C
C.a∶b∶c=2∶3∶4
D.b2=(a+c)(a-c)
9.在下列条件中:①在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②三角形三边长分别为42,52,62;③三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数),能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.如图,AB=3,BC=4,AC=5,P是线段AC上一点,连接PB,则PB的长不可能是( )
A.3.5 B.2.5 C.2 D.3
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何 ”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大 题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500 m,则该沙田的面积为 km2.
12.如图,有一张三角形纸片,三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,将△ABC沿DE折叠,使点B与点A重合,则CD的长为 .
13.如图,已知△ABC的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,则图中阴影部分的面积为 .
14.如图,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,CD=6,AD=2,AC⊥BC.
(1)求AC的长;
(2)求证:AD∥BC.
15.综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后,思考它的逆命题:两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形,这个命题正确吗 教材是没有证明的.
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时,曾用下列的方法确定直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3,4,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
【动手操作】如图,三条线段a,b,c的长度比满足a∶b∶c=3∶4∶5,某数学小组利用这三条线段,设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证:
①作线段AB=c;
②以点A为圆心,b的长为半径作弧.以点B为圆心,a的长为半径作弧.两弧相交于C点;
③连接AC,BC,得到△ABC.
【问题解决】
(1)根据作图步骤,完成作图(要求:保留作图痕迹).
(2)由三条线段的长度比可知,(1)中的△ABC三边满足AB2=AC2+BC2.请你证明:边长满足AB2=AC2+BC2的△ABC是直角三角形.
素养提升攻略
涨知识了
勾股定理的逆定理的拓展
阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③若a2素养训练7推理能力、运算能力、应用意识
(1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是 三角形.
(2)若一个三角形的三边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形,求x2的值.
(3)当a=2,b=4时,判断三角形的形状,并求出对应的c2的取值范围.17.2 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题和互逆定理
1.下列命题的逆命题不正确的是(D)
A.直角三角形的两锐角互余
B.相等的两个角一定是对顶角
C.若a2=b2,则a=b
D.全等三角形的三个对应角相等
2.给出下列命题:
①直角都相等;
②若ab>0且a+b>0,则a>0且b>0;
③一个角的补角大于这个角.
其中原命题和逆命题都为真命题的有 ② .
3.请写出下列命题的逆命题,并判断其真假.
(1)如果a+b=0,那么a=0,b=0;
(2)若两个角互补,则这两个角的和为180°;
(3)若c2a【解析】(1)如果a+b=0,那么a=0,b=0的逆命题是如果a=0,b=0,那么a+b=0,是真命题;
(2)若两个角互补,则这两个角的和为180°的逆命题是若两个角的和为180°,则这两个角互补,是真命题;
(3)若c2a知识点2 勾股数
4.下列各组线段中,是勾股数的是(D)
A.1,2, B.5,7,12
C.7,14,15 D.9,12,15
5.五根小棒的长度(单位:cm)分别为6,7,8,9,10,现从中选择三根,将它们首尾相接摆成三角形,其中能摆成直角三角形的是(B)
A.6,7,8 B.6,8,10 C.7,8,9 D.7,9,10
知识点3 勾股定理的逆定理的应用
6.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若(a-1)2++=0,则这个三角形一定是(B)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
7.如图,在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中,有三条线段a,b,c(线段端点都在格点上),以这三条线段为边能否组成一个直角三角形 答: 能 .(填“能”或“不能”)
8.已知△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,三边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7
B.∠A=∠B-∠C
C.a∶b∶c=2∶3∶4
D.b2=(a+c)(a-c)
9.在下列条件中:①在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②三角形三边长分别为42,52,62;③三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数),能确定△ABC是直角三角形的条件有(B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.如图,AB=3,BC=4,AC=5,P是线段AC上一点,连接PB,则PB的长不可能是(C)
A.3.5 B.2.5 C.2 D.3
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何 ”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大 题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500 m,则该沙田的面积为 7.5 km2.
12.如图,有一张三角形纸片,三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,将△ABC沿DE折叠,使点B与点A重合,则CD的长为 .
13.如图,已知△ABC的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,则图中阴影部分的面积为 24 cm2 .
14.如图,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,CD=6,AD=2,AC⊥BC.
(1)求AC的长;
(2)求证:AD∥BC.
【解析】(1)∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,
∵AB=5,BC=3,
∴AC2=AB2-BC2=25-9=16,
∵AC>0,∴AC=4.
(2)在△ACD中,
∵AC=4,AD=2,CD=6,
∴AC2+AD2=16+20=36=CD2,
∴∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠ACB,
∴AD∥BC.
15.综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后,思考它的逆命题:两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形,这个命题正确吗 教材是没有证明的.
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时,曾用下列的方法确定直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3,4,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
【动手操作】如图,三条线段a,b,c的长度比满足a∶b∶c=3∶4∶5,某数学小组利用这三条线段,设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证:
①作线段AB=c;
②以点A为圆心,b的长为半径作弧.以点B为圆心,a的长为半径作弧.两弧相交于C点;
③连接AC,BC,得到△ABC.
【问题解决】
(1)根据作图步骤,完成作图(要求:保留作图痕迹).
(2)由三条线段的长度比可知,(1)中的△ABC三边满足AB2=AC2+BC2.请你证明:边长满足AB2=AC2+BC2的△ABC是直角三角形.
【解析】(1)如图,△ABC即为所求.
(2)如图,作Rt△A'B'C',使得A'C'=AC,B'C'=BC,∠A'C'B'=90°,
由勾股定理得A'B'2=A'C'2+B'C'2=AC2+BC2,
∵AB2=AC2+BC2,
∴A'B'=AB,∴△A'B'C'≌△ABC(SSS),
∴∠ACB=∠A'C'B'=90°,
∴边长满足AB2=AC2+BC2的△ABC是直角三角形.
素养提升攻略
涨知识了
勾股定理的逆定理的拓展
阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③若a2素养训练7推理能力、运算能力、应用意识
(1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是 三角形.
(2)若一个三角形的三边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形,求x2的值.
(3)当a=2,b=4时,判断三角形的形状,并求出对应的c2的取值范围.
【解析】(1)∵72+82=49+64=113>92,∴三角形是锐角三角形.
答案:锐角
(2)∵这个三角形是直角三角形,当x为斜边时,∴52+122=x2,
∴x2=169,
当12是斜边时,则52+x2=122,
解得x2=119,
故x2的值为169或119.
(3)∵a=2,b=4,∴4-2∴4则a2+b2则c2>20或c2<12,
∴20若是直角三角形,
则a2+b2=c2或a2+c2=b2,
则c2=20或c2=12;若是锐角三角形,
则a2+b2>c2或a2+c2>b2,
则c2<20或c2>12,∴12
