第十七章 勾股定理(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组数,是勾股数的是(D)
A.,, B.0.3,0.4,0.5 C.6,7,8 D.5,12,13
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(D)
3.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-5),B(-3,7),线段AB长为(C)
A.12 B.4 C.4 D.16
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,在下面结论中:
①∠B+∠C=90°;②∠B-∠C=∠A;③a2=c2-b2;④=+.
能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A.①③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
5.一直角三角形的三边分别为2,3,x,以x为边长的正方形的面积为(C)
A. B.13 C.5或13 D. 或
6.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,已知在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,则CD的值为(D)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
8.如图,长方体的长为2,宽为1,高为3,一只蚂蚁从点A出发,沿长方体的外表面到点B处觅食,则它爬行的最短路程为(B)
A. B.3 C.2 D.
9.如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去,第6个正方形的边长为(C)
A.(2)5 B.(2)6 C.()5 D.()6
10.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图,直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形:正方形CBFG、正方形HDEF、正方形ABEJ,把它们拼成如图所示形状,使E,F,G三点在一条直线上,若a+b=7,四边形ABFK与△DEL面积之和为7,则正方形ABEJ的面积为(B)
A.14 B.21 C.28 D.49
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,c=2,则a2+b2+c2= 8 .
12.(数学传统文化)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图, 设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 x2+(x-6.8)2=102 .
13.如图,已知△ABO为等腰三角形,且OA=AB=5,B(-6,0),则点A的坐标为 (-3,4) .
14.(2024·甘孜州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 3 .
15.如图,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了 (12-) m.(假设绳子是直的,结果保留根号)
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,按下列步骤作图:①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点,连接CP,则CP+AP的最小值是 2 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的顶点均在格点上.
(1)直接写出线段AC,CD,AD的长;
【解析】(1)根据题意得:AC==2,CD==,AD==5.
(2)求∠ACD的度数;
【解析】(2)∵AC2+CD2=+=25=52=AD2.∴∠ACD=90°.
(3)求四边形ABCD的面积.
【解析】(3)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×4+××2=8+5=13.
18.(8分)如图,小区有一块三角形空地ABC,计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开,DE⊥AB.经测量,AB=15米,AC=13米,AD=12米,DC=5米.
(1)求BD的长;
【解析】(1)∵AC=13米,AD=12米,DC=5米,∴AC2=AD2+CD2,
∴△ADC是以∠ADC为直角的直角三角形,∴∠BDA=90°,
在Rt△BDA中,由勾股定理得:BD===9(米);
(2)求小路DE的长.
【解析】(2)∵DE⊥AB,∴S△ABD=AB·DE=BD·AD,即×15×DE=×9×12,∴DE=(米).
19.(8分)(2024·重庆质检)3月13日,微电影城的吴桥国际马戏团宣传车从O处出发,以3 m/s的速度向北偏西30度的方向移动(如图所示),宣传车在移动过程中进行无中断宣传播报,距宣传车方圆15 m范围内会受到宣传车噪音的严重影响.已知凤凰中学位于点O的正北方向的点A处且相距24 m.
(1)凤凰中学的学生是否会受到该宣传车噪音的严重影响 写出你的结论并予以说明.
【解析】(1)凤凰中学的学生会受到该宣传车噪音的严重影响,理由如下:
如图,过点A作AG⊥OB于点G,
∵∠AOB=30°,OA=24 m,
∴在Rt△AOG中,AG=OA=12 m<15 m,
所以凤凰中学的学生会受到该宣传车噪音的严重影响.
(2)若受到影响,求出受严重影响的时间.
【解析】(2)如图,设宣传车移动到点C,D时,AC=AD=15 m,
∴CD=2CG,在Rt△ACG中,CG==9 m,
∴CD=18 m,则受严重影响的时间为==6(s).
答:受严重影响的时间为6 s.
20.(8分)细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
O=+1=2,S1=;
O=12+=3,S2=;
O=12+=4,S3=;….
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述规律:O= ,Sn= ;
【解析】(1)结合已知数据,可得:O=n;Sn=;
答案:n
(2)若一个三角形的面积是,计算说明是第几个三角形
【解析】(2)若一个三角形的面积是,
根据Sn==,
∴=2=,
∴是第20个三角形;
(3)求出+++…+的值.
【解析】(3)+++…+
=+++…+
=
=
=.
21.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
【解析】(1)如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B,交CD于点M,点M即为所求.
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
【解析】(2)如图,连接A'A,交CD于H点,过点B作BP⊥AH,
由题意可知:AH=A'H=1千米,PH=3千米,AB=千米,
∴PA=PH-AH=2千米,PA'=PH+A'H=4千米,
∴在Rt△APB中,BP===3(千米),
∴在Rt△A'PB中,A'B===5(千米),
由对称性质可知:AM=A'M,
水管长AM+BM=A'M+BM=A'B=5千米,完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元).
22.(10分)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形,我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段.例如:如图1,△ABC中,AB=AC,△ADE中,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接DB,EC,则可证得△ADB≌△AEC,此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段.
(1)如图2,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°.
①图中线段AE的“友好”线段是 ;
②连接AD,若AC=4,AD=2,∠DAC=45°,求AE的长;
【解析】(1)①由题图2知,
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD,
∴图中线段AE的“友好”线段是BD;
答案:BD
②连接AD,
∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∵AC=4,∴AB=AC=4,
∵∠DAC=45°,
∴∠DAB=90°,
∵AD=2,
∴BD===6,
由①知,AE=BD,
∴AE=6;
(2)如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,P是△ACB外一点,∠APC=75°,PC=3,AP=6,求线段BP的长.
【解析】(2)以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE,连接AE,交PB于点H,则∠PCE=90°,PC=CE,∠CPE=45°,
∵PC=3,
∴PE=PC=6,
∵PA=6,∠APC=75°,
∴∠APE=120°,PA=PE,
∴∠PAE=∠AEP=30°,
∵AC=BC,PC=CE,∠ACB=∠PCE=90°,
∴∠ACE=∠BCP,
∴△ACE≌△BCP(SAS),
∴AE=BP,∠EAC=∠PBC,
∵∠AFH=∠BFC,
∴∠AHF=∠BCF=90°,
∴PB⊥AE,
∴AE=2AH,PH=PA,
∴AH===AP=3,
∴AE=2AH=6,
∴线段BP的长为6.第十七章 勾股定理(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组数,是勾股数的是( )
A.,, B.0.3,0.4,0.5 C.6,7,8 D.5,12,13
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( )
3.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-5),B(-3,7),线段AB长为( )
A.12 B.4 C.4 D.16
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,在下面结论中:
①∠B+∠C=90°;②∠B-∠C=∠A;③a2=c2-b2;④=+.
能判定△ABC是直角三角形的是( )
A.①③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
5.一直角三角形的三边分别为2,3,x,以x为边长的正方形的面积为( )
A. B.13 C.5或13 D. 或
6.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,已知在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,则CD的值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
8.如图,长方体的长为2,宽为1,高为3,一只蚂蚁从点A出发,沿长方体的外表面到点B处觅食,则它爬行的最短路程为( )
A. B.3 C.2 D.
9.如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去,第6个正方形的边长为( )
A.(2)5 B.(2)6 C.()5 D.()6
10.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图,直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形:正方形CBFG、正方形HDEF、正方形ABEJ,把它们拼成如图所示形状,使E,F,G三点在一条直线上,若a+b=7,四边形ABFK与△DEL面积之和为7,则正方形ABEJ的面积为( )
A.14 B.21 C.28 D.49
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,c=2,则a2+b2+c2= .
12.(数学传统文化)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图, 设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
13.如图,已知△ABO为等腰三角形,且OA=AB=5,B(-6,0),则点A的坐标为 .
14.(2024·甘孜州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 .
15.如图,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了 m.(假设绳子是直的,结果保留根号)
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,按下列步骤作图:①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点,连接CP,则CP+AP的最小值是 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的顶点均在格点上.
(1)直接写出线段AC,CD,AD的长;
(2)求∠ACD的度数;
(3)求四边形ABCD的面积.
18.(8分)如图,小区有一块三角形空地ABC,计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开,DE⊥AB.经测量,AB=15米,AC=13米,AD=12米,DC=5米.
(1)求BD的长;
(2)求小路DE的长.
19.(8分)(2024·重庆质检)3月13日,微电影城的吴桥国际马戏团宣传车从O处出发,以3 m/s的速度向北偏西30度的方向移动(如图所示),宣传车在移动过程中进行无中断宣传播报,距宣传车方圆15 m范围内会受到宣传车噪音的严重影响.已知凤凰中学位于点O的正北方向的点A处且相距24 m.
(1)凤凰中学的学生是否会受到该宣传车噪音的严重影响 写出你的结论并予以说明.
(2)若受到影响,求出受严重影响的时间.
20.(8分)细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
O=+1=2,S1=;
O=12+=3,S2=;
O=12+=4,S3=;….
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述规律:O= ,Sn= ;
(2)若一个三角形的面积是,计算说明是第几个三角形
(3)求出+++…+的值.
21.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
22.(10分)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形,我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段.例如:如图1,△ABC中,AB=AC,△ADE中,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接DB,EC,则可证得△ADB≌△AEC,此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段.
(1)如图2,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°.
①图中线段AE的“友好”线段是 ;
②连接AD,若AC=4,AD=2,∠DAC=45°,求AE的长;
(2)如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,P是△ACB外一点,∠APC=75°,PC=3,AP=6,求线段BP的长.
