期末素养评估A卷(第十六至第二十章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若二次根式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x>1 C.x≥0 D.x>0
2.下列命题中是假命题的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是矩形
3.如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( )
A. B. C.1 D.2
4.下列各式计算正确的是( )
A.3-2=1 B.=-3
C.+= D.(+)(-)=2
5.为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
6.如图,∠MON=60°,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OM于点A,交ON于点B;分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧在∠MON的内部相交于点P,画射线OP;连接AB,AP,BP,过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F.则以下结论错误的是( )
A.△AOB是等边三角形 B.PE=PF
C.△PAE≌△PBF D.四边形OAPB是菱形
7.每次监测考试完后,老师要对每道试题难度作分析.已知:题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷该题的满分.上期全市八年级期末质量监测,有11 623名学生参考.数学选择题共设置了12道单选题,每题5分.最后一道单选题的难度系数约为0.34,学生答题情况统计如表:
选项 留空 多选 A B C D
人数 11 22 4 209 3 934 2 057 1 390
占参考人数比(%) 0.09 0.19 36.21 33.85 17.7 11.96
根据数据分析,可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为( )
A.A B.B C.C D.D
8.(2024·通辽中考)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0,k1,k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线l1,l2.下列结论正确的
是( )
A.b1+b2>0 B.b1b2>0 C.k1+k2<0 D.k1k2<0
9.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上,A,C两点的坐标分别为(2,0),(1,2),点B在第一象限,将直线y=-2x沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度.若平移后的直线与边AB有交点,则m的取值范围是( )
A.4≤m≤8 B.010.如图,在正方形ABCD中,M为正方形内一点,连接BM,使BM=BC,再连接CM,DM,过点D作DN⊥DM,且DN=DM,连接AN,若∠CBM=α,则∠DAN的度数为( )
A.90°-2α B.α C.45°+ D.
11.如图,P是线段AB边上的一动点,CA⊥AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,M,N分别是PC,PD的中点,随着点P的运动,线段MN长( )
A.随着点P的位置变化而变化 B.保持不变,长为
C.保持不变,长为 D.保持不变,长为
12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,点E为BC的中点,连接AE.以BC为边向左作△BCD,且∠BCD=90°,BD∥AC.连接DE,记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2,则S1-S2的最大值是( )
A.4 B.6 C.4 D.8
二、填空题(每小题2分,共12分)
13.(2024·烟台中考)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
14.如图,条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况.这些工人日加工零件数的中位数是 .
15.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,1),B(0,2)两点,则k+b的值为 .
16.如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点D为OB的中点, OCDE的顶点C在x轴上,顶点E在直线AB上,则 OCDE的面积为 .
17.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为 .
18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x-与x轴交于点A1,以OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上,延长C1B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形A2B2C2C1,点C2在y轴上,以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2,…,正方形A2 023B2 023C2 023C2 022,则点B2 023的横坐标是 .
三、解答题(共72分)
19.(6分)计算:|-1|--12×(-).
20.(6分)先化简,再求值: (1-)·,其中x=+1.
21.(10分)(2024·赤峰中考)如图,在△ABC中,D是AB中点.
(1)求作:AC的垂直平分线l(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若l交AC于点E,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接BE,CF.补全图形,并证明四边形BCFE是平行四边形.
22.(10分)若正比例函数y=-x和一次函数y=2x+b的图象交于点A(-1,a).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)直接写出关于x,y的方程组的解.
23.(10分)小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A线路,第二周(5个工作日)选择B线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下:(单位:min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
根据以上信息解答下列问题:
项目 平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
(1)填空:a= ;b= ;c= ;
(2)应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路.
24.(10分)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上.
(1)求证:△ADE≌△CDG;
(2)若AE=BE=2,求BF的长.
25.(10分)[背景介绍]
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明精彩纷呈,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,某位学者构造发现了一个新的证法.
[小试牛刀]
把两个全等的直角三角形如图(1)放置,其三边长分别为a,b,c,显然,∠DAB=
∠B=90°,AC⊥DE,请用a,b,c分别表示出梯形ABCD,四边形AECD,△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到a2+b2=c2.S梯形ABCD= ,
S△EBC= ,S四边形AECD= ,则它们满足的关系式为 ,经化简,可得到a2+b2=c2.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
[知识运用]
(1)如图(2),铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距30千米,C,D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=24千米,BC=14千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图(3)中作出P点的位置并求出A,P两点的距离.
26.(10分)在边长为12的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,P是边AC上一动点(不与A,C重合),连接PD,将PD绕点P顺时针旋转60°得到PQ,连接AQ,DQ.
某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索:
【初步探索】(1)小组成员发现,点P在AC上移动时,点Q会落在AD上,如图①,此时他们发现AQ与PQ存在一定的数量关系,请你猜想存在什么数量关系,并说明你的理由.
【深入交流】(2)小组成员进一步移动点P,点Q位置也随之变化,他们猜测不论点Q在什么位置,AQ与PQ存在的数量关系仍然成立.当点Q落在线段AD下方时,若成立,请就图②所示的情形给出证明,若不成立,请说明理由.
【拓展应用】(3)请你借助上面探究的过程及结论,完成下面的应用:在点P运动的过程中,当△ADQ的面积为9时,请直接写出线段CP的长.期末素养评估A卷(第十六至第二十章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若二次根式有意义,则实数x的取值范围是(A)
A.x≥1 B.x>1 C.x≥0 D.x>0
2.下列命题中是假命题的是(D)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是矩形
3.如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=(D)
A. B. C.1 D.2
4.下列各式计算正确的是(D)
A.3-2=1 B.=-3
C.+= D.(+)(-)=2
5.为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是(B)
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
6.如图,∠MON=60°,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OM于点A,交ON于点B;分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧在∠MON的内部相交于点P,画射线OP;连接AB,AP,BP,过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F.则以下结论错误的是(D)
A.△AOB是等边三角形 B.PE=PF
C.△PAE≌△PBF D.四边形OAPB是菱形
7.每次监测考试完后,老师要对每道试题难度作分析.已知:题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷该题的满分.上期全市八年级期末质量监测,有11 623名学生参考.数学选择题共设置了12道单选题,每题5分.最后一道单选题的难度系数约为0.34,学生答题情况统计如表:
选项 留空 多选 A B C D
人数 11 22 4 209 3 934 2 057 1 390
占参考人数比(%) 0.09 0.19 36.21 33.85 17.7 11.96
根据数据分析,可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为(B)
A.A B.B C.C D.D
8.(2024·通辽中考)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0,k1,k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线l1,l2.下列结论正确的
是(A)
A.b1+b2>0 B.b1b2>0 C.k1+k2<0 D.k1k2<0
9.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上,A,C两点的坐标分别为(2,0),(1,2),点B在第一象限,将直线y=-2x沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度.若平移后的直线与边AB有交点,则m的取值范围是(D)
A.4≤m≤8 B.010.如图,在正方形ABCD中,M为正方形内一点,连接BM,使BM=BC,再连接CM,DM,过点D作DN⊥DM,且DN=DM,连接AN,若∠CBM=α,则∠DAN的度数为(D)
A.90°-2α B.α C.45°+ D.
11.如图,P是线段AB边上的一动点,CA⊥AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,M,N分别是PC,PD的中点,随着点P的运动,线段MN长(D)
A.随着点P的位置变化而变化 B.保持不变,长为
C.保持不变,长为 D.保持不变,长为
12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,点E为BC的中点,连接AE.以BC为边向左作△BCD,且∠BCD=90°,BD∥AC.连接DE,记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2,则S1-S2的最大值是(D)
A.4 B.6 C.4 D.8
二、填空题(每小题2分,共12分)
13.(2024·烟台中考)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 x>1 .
14.如图,条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况.这些工人日加工零件数的中位数是 6 .
15.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,1),B(0,2)两点,则k+b的值为 3 .
16.如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点D为OB的中点, OCDE的顶点C在x轴上,顶点E在直线AB上,则 OCDE的面积为 2 .
17.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为 10 .
18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x-与x轴交于点A1,以OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上,延长C1B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形A2B2C2C1,点C2在y轴上,以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2,…,正方形A2 023B2 023C2 023C2 022,则点B2 023的横坐标是 (1+)2 022 .
三、解答题(共72分)
19.(6分)计算:|-1|--12×(-).
【解析】|-1|--12×(-)=-1-3+4=.
20.(6分)先化简,再求值: (1-)·,其中x=+1.
【解析】原式=·=x-1,
当x=+1时,原式=+1-1=.
21.(10分)(2024·赤峰中考)如图,在△ABC中,D是AB中点.
(1)求作:AC的垂直平分线l(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【解析】(1)直线l如图所示,
(2)若l交AC于点E,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接BE,CF.补全图形,并证明四边形BCFE是平行四边形.
【解析】(2)补全图形,如图,
由(1)作图知,E为AC的中点,
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
∵EF=2DE,即DE=EF,
∴EF=BC,
∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
22.(10分)若正比例函数y=-x和一次函数y=2x+b的图象交于点A(-1,a).
(1)求该一次函数的解析式;
【解析】(1)∵y=-x过点A(-1,a),
∴a=-(-1)=1,
∴A(-1,1).
∵y=2x+b过点A(-1,1),
∴-2+b=1,
∴b=3.
∴该一次函数的解析式为y=2x+3;
(2)直接写出关于x,y的方程组的解.
【解析】(2)由y=-x可得x+y=0,
由y=2x+b可得y-2x=b,
而正比例函数y=-x和一次函数y=2x+b的图象交于点A(-1,1),
∴方程组的解是.
23.(10分)小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A线路,第二周(5个工作日)选择B线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下:(单位:min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
根据以上信息解答下列问题:
项目 平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
(1)填空:a= ;b= ;c= ;
【解析】(1)求中位数a首先要排序,从小到大的顺序为14,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10个数,
中位数在第5和第6个数,为18和20,所以中位数为=19,
平均数b==26.8,
众数c=25.
答案:19 26.8 25
(2)应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路.
【解析】(2)小红统计的选择A线路所用时间平均数为22,选择B线路所用时间平均数为26.8,用时差不太多.而方差63.2>6.36,相比较B线路所用时间的波动性更小,所以选择B线路更优.
24.(10分)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上.
(1)求证:△ADE≌△CDG;
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGH是菱形,
∴AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB,
∴∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,即∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中,,
∴△ADE≌△CDG(SAS);
(2)若AE=BE=2,求BF的长.
【解析】(2)如图,
过E作EQ⊥DF于点Q,则∠EQB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD=AB=AE+EB=2+2=4,
∠EBQ=∠CBD=45°,
∴∠QEB=45°=∠EBQ,∴EQ=BQ,
∵BE=2,∴2EQ2=22,∴EQ=BQ=(负数舍去),
在Rt△DAE中,由勾股定理得:DE===2,
∵四边形EFGH是菱形,∴EF=DE=2,∴QF===3,
∴BF=QF-QB=3-=2.
25.(10分)[背景介绍]
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明精彩纷呈,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,某位学者构造发现了一个新的证法.
[小试牛刀]
把两个全等的直角三角形如图(1)放置,其三边长分别为a,b,c,显然,∠DAB=
∠B=90°,AC⊥DE,请用a,b,c分别表示出梯形ABCD,四边形AECD,△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到a2+b2=c2.S梯形ABCD= ,
S△EBC= ,S四边形AECD= ,则它们满足的关系式为 ,经化简,可得到a2+b2=c2.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
【解析】【小试牛刀】设AE=BC=a,AD=AB=b,DE=AC=c,
根据题意,得∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE,
∴S梯形ABCD=(a+b)·b=ab+b2,S△EBC=(b-a)·a=ab-a2,S四边形AECD=c2,
∴S梯形ABCD=S△EBC+S四边形AECD,整理,得a2+b2=c2.
答案:ab+b2 ab-a2 c2 ab+b2=ab-a2+c2
[知识运用]
(1)如图(2),铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距30千米,C,D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=24千米,BC=14千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空);
【解析】【知识运用】(1)连接CD,
过点C作CE⊥AD于点E,由AD⊥AB,BC⊥AB,则四边形ABCE是矩形,
∴AB=CE=30千米,AE=BC=14千米,DE=AD-AE=10千米,
由勾股定理,得CD==10(千米);
答案:10
(2)在(1)的背景下,若要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图(3)中作出P点的位置并求出A,P两点的距离.
【解析】(2)根据题意,作线段CD的垂直平分线,与AB交于点P,如图所示,
则点P即为所求.
设AP=x千米,PB=AB-AP=(30-x)千米,根据题意,得PC=PD,
根据勾股定理,得PD2=AP2+AD2=x2+242,PC2=BP2+BC2=(30-x)2+142,
故x2+242=(30-x)2+142,解得x=,
故A,P两点的距离为千米.
26.(10分)在边长为12的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,P是边AC上一动点(不与A,C重合),连接PD,将PD绕点P顺时针旋转60°得到PQ,连接AQ,DQ.
某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索:
【初步探索】(1)小组成员发现,点P在AC上移动时,点Q会落在AD上,如图①,此时他们发现AQ与PQ存在一定的数量关系,请你猜想存在什么数量关系,并说明你的理由.
【解析】(1)AQ=PQ,理由如下:
∵AD是等边三角形ABC边上的高,∴∠CAD=30°,
由题意知∠DPQ=60°,PD=PQ,∴△DPQ是等边三角形,
∴∠PQD=60°,∴∠APQ=∠PQD-∠CAD=30°=∠CAD,∴AQ=PQ;
【深入交流】(2)小组成员进一步移动点P,点Q位置也随之变化,他们猜测不论点Q在什么位置,AQ与PQ存在的数量关系仍然成立.当点Q落在线段AD下方时,若成立,请就图②所示的情形给出证明,若不成立,请说明理由.
【解析】(2)成立,
如图,取AC的中点E,连接DE,QE,
则CE=CD,又∠C=60°,∴△CDE是等边三角形,∴∠CDE=60°,DC=DE,
∴∠CDP=60°-∠PDE=∠EDQ,
又DP=DQ,∴△CDP≌△EDQ(SAS),∴∠DEQ=∠C=60°,
∴∠AEQ=180°-∠DEQ-∠DEC=180°-60°-60°=60°=∠DEQ,
又AE=CE=DE,EQ=EQ,∴△AEQ≌△DEQ(SAS),∴AQ=DQ=PQ;
【拓展应用】(3)请你借助上面探究的过程及结论,完成下面的应用:在点P运动的过程中,当△ADQ的面积为9时,请直接写出线段CP的长.
【解析】(3)线段CP的长为3+或3-.
取AC的中点E,
由(2)知AQ=DQ,AE=DE,
∴点Q在线段AD的垂直平分线l上,
∵AD是等边三角形ABC边上的高,
∴直线l与BC平行,设直线l交AD于点G,如图,
∵∠CAD=30°,AE=CE=DE=AC=6,
∴EG=AE=3,AD==6,
∵△ADQ的面积为9,
∴AD·QG=9,
∴QG=,
∴当点Q落在线段AD下方时,EQ=3+;
当点Q落在线段AD上方时,EQ=3-,
由(2)知△CDP≌△EDQ,
∴CP=EQ,
∴线段CP的长为3+或3-.
