期中素养评估(第十六至第十八章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是(B)
A. B. C. D.
2.如图,AD∥BC,AD=BC,E,F是线段BD上的两点,则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是(C)
A.BE=DF B.∠AEB=∠DFC
C.AF=FE D.AE⊥BD,CF⊥BD
3.估计-4的值在(D)
A.6到7之间 B.5到6之间
C.4到5之间 D.3到4之间
4.下列各式计算正确的是(B)
A.+= B.5-2=3
C.×=3 D.÷=2
5.一根高9 m的旗杆在离地4 m高处折断,折断处仍相连,此时在3.9 m远处玩耍的身高为1 m的小明(B)
A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断
6.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是(B)
A.4 B.8 C.12 D.16
7.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(D)
A. B.1 C. D.
8.在如图所示的Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,把纸片沿着CD折叠,点B到点E的位置,连接AE.若AE∥DC,∠B=α,则∠EAC等于(B)
A.α B.90°-α C.α D.90°-2α
9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是(D)
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
10.如图,四边形OABC是矩形,A(2,1),B(0,5),点C在第二象限,则点C的坐标是(D)
A.(-1,3) B.(-1,2) C.(-2,3) D.(-2,4)
11.如图,点E,F分别是平行四边形ABCD边BC,CD上一点,连接AE,DE,连接AF交ED于点P,连接BF分别交AE,DE于点G,H,设△BGE的面积为S1,△PDF的面积为S2,四边形CEHF的面积为S3,若S1=4,S2=3,S3=18,则阴影部分四边形AGHP的面积为(D)
A.17 B.19 C.18 D.25
12.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+OE的最小值是(D)
A.4 B.2+2 C.2 D.2
二、填空题(每小题2分,共12分)
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为 52 .
14.若实数m,n满足|m-n-5|+=0,则3m+n= 7 .
15.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为 7 .
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 10 .
17.已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交ED于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:
①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S正方形ABCD=4+;⑤S△APD+S△APB=1+,其中正确结论的序号是 ①②③④ .
18.(2024·浙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,=.线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称,点B的对应点B'在线段OC上,A'B'交CD于点E,则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为 .
三、解答题(共72分)
19.(6分)计算:
(1)×-2|-|-;
【解析】(1)×-2|-|-(-)0=×(2-)--1
=2---1=1-2.
(2) (-1)2+(2+)(2-).
【解析】(2) (-1)2+(2+)(2-)=-+1+4-3=-.
20.(6分)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
【证明】(1)∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,
∵AE=BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,∴AE∥BF;
(2)若DF=FC时,求证:四边形DECF是菱形.
【证明】(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,
∵EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,∴四边形DECF是菱形.
21.(10分)一梯子AC长2.5 m,如图所示斜靠在一面墙上,梯子底端离墙0.7 m.
(1)这架梯子的顶端离地面有多高
【解析】(1)由题意可知,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=2.5 m,BC=0.7 m,∴由勾股定理可得,AB2=AC2-BC2,即AB===2.4 m,即这架梯子的顶端离地面2.4 m;
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n,若=a,根据经验可知:当2.7
【解析】(2)如图所示,AA'=0.4,则在Rt△A'BC'中,
A'B=AB-AA'=2.4-0.4=2,A'C'=2.5,
∴由勾股定理可得,BC'===1.5,
∴可得a===<2.7,∴此时使用不安全.
22.(10分)两个含有二次根式的代数式相乘,若化简后的积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如:与,+1与-1,2+3与2-3等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请回答下列问题:
(1)化简:= ;
【解析】(1)===+.
答案:+
(2)比较-与-的大小关系;
【解析】(2)==+,
==+,
∵>,∴+>+,∴>,∴-<-;
(3)计算: (+++…+)(-1).
【解析】(3) (+++…+)·(-1)
=[++…+]·(-1)
=[-(1-)-(-)-…-(-)]·(-1)=(-1+-+-…-+)(-1)=(-1)(-1)=2 022-2+1
=2 023-2.
23.(10分)(2024·遂宁中考)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径作弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是: .
【解析】(1)由作图可得,OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
该判定定理是:对角线互相平分的四边形是平行四边形;
答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.
【解析】(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
24.(10分)(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD.”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
【解析】(1)选择①,
∵∠B=∠AED,
∴DE∥CB,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,
∵AE=BE,AE=CD,
∴CD=BE,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】(2)由(1)得DE=BC=10,
∵AD⊥AB,AD=8,
∴AE==6.
25.(10分)综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:将一副等腰直角三角板两斜边重合,按图1放置;
操作二:将三角板ACD沿CA方向平移(两三角板始终接触)至图2位置.
根据以上操作,填空:
①图1中四边形ABCD的形状是 .
②图2中AA'与CC'的数量关系是 ;四边形ABC'D'的形状是 ;
【解析】(1)①∵△ABC,△ADC都是等腰直角三角形,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是正方形;
答案:正方形
②根据平移的性质可得AA'=CC',如图所示,连接AD',BC',
∵△ABC,△ADC都是等腰直角三角形,∴AB=CD,∠BAC=∠ACD=45°,∴AB∥CD,
∵△ACD平移后得到△A'C'D',∴CD∥C'D',CD=C'D',
∴AB∥C'D',AB=C'D',∴四边形ABC'D'是平行四边形.
答案:AA'=CC' 平行四边形
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板,继续探究,已知三角板AB边长为8 cm,过程如下:
将三角板ACD按(1)中方式操作,如图3,在平移过程中,四边形ABC'D'的形状能否是菱形,若不能,请说明理由,若能,请求出CC'的长.(说明:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
【解析】(2)四边形ABC'D'可以是菱形,理由如下:
如图所示,连接AD',BC',
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=8 cm,∴AC=2AB=16 cm,∠BAC=60°,
当BC'=AB=8 cm时,四边形ABC'D'是菱形,
∵BC'=AB=8 cm,∠BAC=60°,∴△ABC'是等边三角形,∴AC'=AB=8 cm,
∴CC'=AC-AC'=16-8=8(cm).
(3)拓展应用
在(2)的探究过程中:当△BCC'为直角三角形时,直接写出CC'的长为 .
【解析】(3)如图,当∠BC'C=90°时,
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=8 cm,∴AC=2AB=16 cm,
∴BC===8(cm),∴BC'=BC=4 cm,
∴CC'===12(cm).
如图,当∠C'BC=90°时,点C'与点A重合,
此时CC'=AC=16 cm.
答案:12 cm或16 cm
26.(10分)(2024·甘肃中考)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,
∴∠ABE=∠C,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD(AAS),
∴BE=CD,AE=BD,
∴DE=BD-BE=AE-CD,∴DE+CD=AE;
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)AD=BE+DF,理由如下:
过点E作EM⊥AD于点M,过点E作EN⊥CD于点N,如图,
∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形的对角线,
∴∠ADB=∠CDB=45°,DB平分∠ADC,∠ADC=90°,
∴AD=CD=BD,
即DE=BD-BE=AD-BE,
∵EN⊥CD,EM⊥AD,∴EM=EN,
∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),
∴AM=NF,
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,
∴四边形EMDN是正方形,
∴ED是正方形EMDN的对角线,MD=ND,
∴MD=DN=DE,NF=ND-DF=MD-DF,
∴NF=AM=AD-MD=AD-DE,NF=DE-DF,
∴AD-DE=DE-DF,即AD=DE-DF,
∵DE=AD-BE,
∴AD=(AD-BE)-DF,即有AD=BE+DF;
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【解析】(3)AD=BE-DF,理由如下,
过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图,
∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG,
又∵AE=EF,∴△HAE≌△GEF(AAS),
∴HE=FG,
∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,
∴∠DFG=45°,
∴△DFG是等腰直角三角形,∴FG=DF,
∴HE=FG=DF,
∵∠ADB=45°,AH⊥HD,
∴△ADH是等腰直角三角形,∴HD=AD,
∴DE=HD-HE=AD-DF,
∴BD-BE=DE=AD-DF,
∵BD=AD,
∴AD-BE=AD-DF,
∴AD=BE-DF.期中素养评估(第十六至第十八章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.如图,AD∥BC,AD=BC,E,F是线段BD上的两点,则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是( )
A.BE=DF B.∠AEB=∠DFC
C.AF=FE D.AE⊥BD,CF⊥BD
3.估计-4的值在( )
A.6到7之间 B.5到6之间
C.4到5之间 D.3到4之间
4.下列各式计算正确的是( )
A.+= B.5-2=3
C.×=3 D.÷=2
5.一根高9 m的旗杆在离地4 m高处折断,折断处仍相连,此时在3.9 m远处玩耍的身高为1 m的小明( )
A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断
6.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
7.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( )
A. B.1 C. D.
8.在如图所示的Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,把纸片沿着CD折叠,点B到点E的位置,连接AE.若AE∥DC,∠B=α,则∠EAC等于( )
A.α B.90°-α C.α D.90°-2α
9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是( )
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
10.如图,四边形OABC是矩形,A(2,1),B(0,5),点C在第二象限,则点C的坐标是( )
A.(-1,3) B.(-1,2) C.(-2,3) D.(-2,4)
11.如图,点E,F分别是平行四边形ABCD边BC,CD上一点,连接AE,DE,连接AF交ED于点P,连接BF分别交AE,DE于点G,H,设△BGE的面积为S1,△PDF的面积为S2,四边形CEHF的面积为S3,若S1=4,S2=3,S3=18,则阴影部分四边形AGHP的面积为( )
A.17 B.19 C.18 D.25
12.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+OE的最小值是( )
A.4 B.2+2 C.2 D.2
二、填空题(每小题2分,共12分)
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为 .
14.若实数m,n满足|m-n-5|+=0,则3m+n= .
15.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为 .
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .
17.已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交ED于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:
①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S正方形ABCD=4+;⑤S△APD+S△APB=1+,其中正确结论的序号是 .
18.(2024·浙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,=.线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称,点B的对应点B'在线段OC上,A'B'交CD于点E,则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为 .
三、解答题(共72分)
19.(6分)计算:
(1)×-2|-|-;
(2) (-1)2+(2+)(2-).
20.(6分)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
(2)若DF=FC时,求证:四边形DECF是菱形.
21.(10分)一梯子AC长2.5 m,如图所示斜靠在一面墙上,梯子底端离墙0.7 m.
(1)这架梯子的顶端离地面有多高
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n,若=a,根据经验可知:当2.722.(10分)两个含有二次根式的代数式相乘,若化简后的积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如:与,+1与-1,2+3与2-3等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请回答下列问题:
(1)化简:= ;
(2)比较-与-的大小关系;
(3)计算: (+++…+)(-1).
23.(10分)(2024·遂宁中考)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径作弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是: .
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.
24.(10分)(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD.”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
25.(10分)综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:将一副等腰直角三角板两斜边重合,按图1放置;
操作二:将三角板ACD沿CA方向平移(两三角板始终接触)至图2位置.
根据以上操作,填空:
①图1中四边形ABCD的形状是 .
②图2中AA'与CC'的数量关系是 ;四边形ABC'D'的形状是 ;
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板,继续探究,已知三角板AB边长为8 cm,过程如下:
将三角板ACD按(1)中方式操作,如图3,在平移过程中,四边形ABC'D'的形状能否是菱形,若不能,请说明理由,若能,请求出CC'的长.(说明:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
(3)拓展应用
在(2)的探究过程中:当△BCC'为直角三角形时,直接写出CC'的长为 .
26.(10分)(2024·甘肃中考)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.