5.3 复数的三角表示 ——高一数学北师大版必修二课时作业（含解析）

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5.3 复数的三角表示 ——高一数学北师大版必修二课时作业
一、选择题
1． （　　）
A． B． C． D．
2．复数（　　）
A． B． C． D．
3． 瑞士数学家欧拉在 1748年得到复数的三角形式：（ 为虚数单位），根据该式，计算 的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．（　　）
A． B． C． D．
5．欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若复数（其中i是虚数单位），则（　　）
A．5 B．12 C．13 D．17
7．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
二、多选题
9．欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数 为纯虚数
B．复数 对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
二、填空题
10．___________.
11．___________.
12． 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为　 　．
三、解答题
13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
14．已知实数，写出下列复数的辐角的主值.
（1）a；
（2）ai；
（3）；
（4）.
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
3．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得： =cosπ+isinπ+1=-1+0+1=0，
故答案为：B.
4．【答案】C
【解析】【解答】由题意，
故答案选C。
5．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：对应的点为，
∵，则，
故位于第二象限.
故答案为：B.
6．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：C．
7．【答案】D
【解析】【解答】由，知复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
8．【答案】A
【解析】【解答】对①，由题意，，正确；
对②，原式==
=，正确.
故答案为：A.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对A：因为复数 为纯虚数，A符合题意；
对B：复数 ，因为 ，所以复数 对应的点为 位于第二象限，B符合题意；
对C：复数 的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：复数 在复平面内对应的点为 ，
因为 ，所以复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆，D符合题意.
故答案为：ABD.
10．答案：
解析：
.
11．答案：3i
解析：.
12．【答案】
【解析】【解答】由题意，所得向量对应的复数为： ，
故虚部为 。
故答案为。
13．答案：
解析：与所得向量对应的复数为.
14．答案：（1）辐角的主值为0
（2）辐角的主值为
（3）辐角的主值为π
（4）辐角的主值为
解析：（1）复数对应的复数为，其辐角的主值为0；
（2）复数对应的复数为，对应的点在y轴正半轴，其辐角的主值为；
（3）复数对应的复数为，对应的点在x轴负半轴，其辐角的主值为π；
（4）复数对应的复数为，对应的点在y轴负半轴，其辐角的主值为.
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