10.3.1 频率的稳定性 教案

10.3.1频率的稳定性
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第十章)
一、教学目标
1. 通过抛掷硬币的实验，理解频率的稳定性；
2. 通过计算机模拟实验，理解频率与概率的关系，掌握用频率估计概率.
二、教学重难点
1. 用频率估计概率.
2. 理解频率的稳定性.
三、教学过程
1.1新课导入
问题1：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计事件A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.你发现了什么规律？
【设计意图】通过日常可见的生活问题，加深学生们对概率事件发生的理解.
1.2探索新知
【探究】把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间，，所以.
【活动设计】下面分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.
第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；
第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；
第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入下表中.
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1 100
2 100
3 100
…
合计
问题2：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率.
（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
【答案预设】（1）试验次数n相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
【实验模拟】利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率如下表：
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如下图：
我们发现：
（1）试验次数n相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
【结论】大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
1.3典例分析
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
【答案预设】（1）2014年男婴出生的频率为，
2015年男婴出生的频率为.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
【设计意图】通过频率的稳定性来估计事件的概率，理解概率在日常生活中的应用.
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【答案预设】当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【设计意图】通过模拟游戏两个事件，来认识进一步加深概率的应用.
【思考】气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？
【答案预设】降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性. 如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.
1.4课堂练习
1.下列说法中正确的是( )
A.任何事件的概率总是在之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C. 解析：任何事件的概率总是在之间，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误. 只有通过实验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的，一般来说，当试验的次数不同时，频率是不同的，它与试验次数有关，故B错误. 当试验次数增多时，频率值会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确. 概率是一个确定的值，它不是随机的，它是频率的稳定值，故D错误. 故选C.
2.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用表示“正面朝上”这一事件，则发生的( )
A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近于8
【答案】B. 解析：做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的频率为. 如果进行大量重复试验，事件发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数可看作事件的概率. 故为事件发生的频率.
3.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件)的概率是0.97. 据此我们知道( )
A.取定一个标准班，事件发生的可能性是
B.取定一个标准班，事件发生的概率大概是0.97
C.任意取定10000个标准班，其中大约9700个班发生事件
D.随着抽取的标准班数不断增大，事件发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动
【答案】D. 解析：对于给定的一个标准班来说，事件发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件有可能都不发生，故C也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”.
4.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为__________.
【答案】51. 解析：由，知有49次“正面朝上”，故有 (次)“正面朝下”.
5.为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了10批试验，油菜籽的发芽试验相关数据如下表：
批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 5000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 4490
（1）如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率？
（2）由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
（3）如何确定该油菜籽发芽的概率？
【答案】（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽试的频率.
（2）批次1的频率，批次2的频率，批次3的频率，批次4的频率，批次5的频率，批次6的频率，批次7的频率，批次8的频率，批次9的频率，批次10的频率，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数.
（3）由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此估计该油菜籽发芽的概率约为0900.
【设计意图】在解题中加深对概念的理解，对概率的性质有进一步的认识。
四、课外作业
1. 完成课后相关习题；
2. 试举一些生活中概率很小和很大的事件.
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