6.2.4 向量的数量积 课件（21张PPT）

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6.2.4 向量的数量积
问题1：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
向量的加法、减法及数乘运算
复习旧知 温故知新
这些运算的结果仍是一个向量
　　向量有大小和方向，是矢量，那它和标量能产生联系吗？类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？与向量的数乘一样吗？
一、创设问题情境，引入数量积概念
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题2： 某人拉车，沿着绳子方向上的力为 ，
车的位移为 ，
力和位移的夹角为 ，力所做的
功为多少？
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题3：决定功的大小的量有哪几个？
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题4：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的乘积等于向量的大小及其夹角余弦的乘积。
　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
与 反向
O
A
B
与 同向
O
A
B
两个非零向量 和 ，作 ，
则 叫做向量 和 的夹角．
记作：
与 垂直
O
A
B
注意:在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
问题5：不共线的向量有不同的方向，它们的位置关系可用夹角来表示。如何定义向量的夹角？
O
A
B
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
一、创设问题情境，引入数量积概念
注意：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定．(2)两个向量的数量积称为内积，写成，不能写成或 ，书写时要严格区分．①两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；
②零向量与任一向量的数量积为0，即a·0=0；
③符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
④当0≤θ＜ 时，cosθ＞0，从而a·b>0；
当　＜θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0．
数量积概念辨析：
一、创设问题情境，引入数量积概念
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ= ，求a·b．
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4× =5×4×(- )=-10．
例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54 ，求a与 b的夹角 ．
解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ= ．
因为θ∈[0，π] ，所以θ= 　．
一、创设问题情境，引入数量积概念
二、引入投影概念，体会投影意义
观察，你觉得 是什么？
如果加上向量符号呢？
　　定义：设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点O，作 ， ，
过点A作直线OB的垂线，垂足为A1我们把 叫做向量a在b上的投影（projection）．
二、引入投影概念，体会投影意义
　　设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，请你探究 与e，a，θ之间的关系．
A
A1
B
b
a
c

b
a
c

显然， 与e共线，于是
由于 有正负，我们可以讨论当θ为锐角、直角、钝角时 的值。
二、引入投影概念，体会投影意义
(1)当θ为锐角时， 与e方向相同， ，所以
；
(2)当θ为直角时，λ=0，所以 ；
(3)当θ为钝角时， 与e方向相反，所以　　　　
　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　
即 ．
特别地，当θ=0时，λ=|a|，所以 ；
当θ=π时，λ=-|a|，所以 ．
A
A1
B
二、引入投影概念，体会投影意义
　　追问：从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，a在b上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
a与b相互平行
a与b相互垂直
a·b=|a||b|
a·b=0
如果a·b=0，无法判断a=0，或b=0．
二、引入投影概念，体会投影意义
如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？
(1) ；
(2)若 与 同向，则 ；
若 与 反向，则 ；
特别地， ，
依据数量积定义完成以下问题( 与 是非零向量)
(4) .
≤
(3)
　　　　　　　　　；
判定两向量垂直
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,以
及判断三角形的形状.
平面向量数量积的性质 ( 与 是非零向量)
三、研究数量积的性质
总结
一、向量的数量积
二、向量的投影
三、向量数量积的性质
a·b=|a||b|cosθ
目标检测设计
1．下列各式中正确的是（ ）．
A．0 a=0 B．0 a=0 C．0 a=0 D．0 a=0
2．已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为 ，则a在e方向上的
投影向量为 ．
3．已知|a|=3，|b|=8，则：
（1）当a b=0时，a与b的关系为 ．
（2）当a b=24时，a与b的关系为 ．
（3）当a b=-12 时，a与b的夹角为 ．
再会！