1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
教学目标
1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。
2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理。
3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。
二、教学重难点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。
2.用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。
三、教学过程
1.创设情境，从图形中探究新知
问题1：生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行。
下图是武汉大学校门，校门上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢
问题2：由直线与直线的平行关系, 可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
【预设的答案】
问题3：由直线与平面的平行关系, 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
【预设的答案】
问题4：由平面与平面的平行关系, 可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？
【预设的答案】
【设计意图】给出直线、平面平行的直观图形，引导学生将线线平行，线面平行，面面平行问题，转化为直线的方向向量和法向量之间位置关系进行表述，学生从中初步体会空间几何问题代数化的基本思想.
活动：小试牛刀
1.若两条直线的方向向量分别是,且两条直线平行,则
2.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A. n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B. n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C. n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D. n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
【预设的答案】
1. 4，-2.
2.D 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
【设计意图】让学生体会将空间中线线、面面的平行关系，转化为向量语言以及向量的坐标运算。
2.线线垂平行，线面平行，面面平行的空间向量法初步应用
例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
【活动预设】
【预设的答案】
【设计意图】
让学生从不同的角度感受利用向量方法证明线线平行的方法——基向量法:利用空间向量的加法、数乘运算及其运算律,结合图形,选两直线的方向向量为基向量,然后根据数量积的运算律证明平面内任意向量与向量的数量积等于0,从而证明也是平面的法向量，因此两平面平行。
【活动预设】
本题是课本30页的例题，一些学生会尝试用之前的立体几何法，借助图中的点P猜测P为中点时可满足线面平行，进而求证。这个方法不难证明。教师应当允许学生自由发挥，但也要引导学生利用本节课的新知识，用向量证明线面平行的思路去思考。
【预设的答案】
方法一：（立体几何法）
方法二：向量法
【设计意图】
通过方法二让学生体会利用空间向量证明线面平行的方法。同时在遇到立体几何问题的时候，灵活选取自己擅长的方法取证明平行问题。
例3.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
【活动预设】
证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.
【预设的答案】
证明:(方法1) 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),
设平面AB'D'的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1⊥,n⊥,即
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
则n2⊥,n2⊥,即
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法2)由方法1知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),
所以,即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',
AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法3)同方法1得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
易知=(1,1,0),=(0,1,1).
因为n1·=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,
n1·=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
【设计意图】
（1)正方体,长方体,直棱柱,这类图形中，很容易找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,从而可以快速建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，求法向量坐标，将空间中的平行问题转化为向量位置关系的判断。
(2)通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标运算在解决立体几何平行问题中的应用，巩固本节所学知识，在学生解决问题的过程中，发展学生的数学运算、逻辑推理能力，培养学生数学建模的核心素养。
3.归纳小结，知识渗透
问题5.本节课我们主要学习了哪些知识？
【预设的答案】
线面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 向量的坐标运算
教师讲授：
1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
【设计意图】
使学生对空间向量法解决立体几何中的平行问题的方法系统化，提高学生的概括能力。从而解决问题的思路更加清晰。体会立体几何问题代数化的优点，进一步培养学生问题转化的能力。也为下节课空间向量法证明线线垂直，线面垂直，面面垂直做铺垫。
四、课外作业
1.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A. a＝(1，0，1)，n＝(－2，0，0)
B. a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C. a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D. a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
答案 D 解析 若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.
2.已知直线l的方向向量为a＝(－1，2，0)，平面α的法向量为n＝(2，1，－1)，则( )
A.l⊥α B.l∥α C.l α D.l∥α或l α
答案 D
解析 因为a·n＝(－1)×2＋2×1＋0×(－1)＝0，所以a⊥n，故l∥α或l α.
3.已知平面α的一个法向量是则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.
4.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB ( )
A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交
答案:B 解析:因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
5.已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________.
答案 －8
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
即(2，m，1)·＝0，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
7.(选做题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
解 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，
则O，P，
A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
Q(0，1，z)(0≤z≤1)，则＝，＝(－1，－1，1)，
∴∥，∴OP∥BD1.
＝，＝(－1，0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
21.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学目标
1.能用向量表示空间中的点、直线和平面；
2.理解平面的法向量的概念，会求法向量；
3.经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．
二、教学重难点
1. 理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．
2. 理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．
3. 重点难点：空间中的点、直线和平面的向量表示.
三、教学过程
引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
1.思考空间中点、直线和平面的向量表示
问题1：如何用向量表示空间中的一个点？
追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？
师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．
设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量表示点P．
问题2：我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？
师生活动：教师在课件中给出图形，即点A和直线l的方向向量a，并向学生阐明，用向量表示直线l，就是用点A和向量a表示直线l上的任意一点．学生观察图形，进行思考．
追问：（1）P是直线l上的任意一点，由方向向量的定义可知，怎样用a来表示？
（2）假设O是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示？
师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．
设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，=ta（t∈R）．通过追问2，让学生得到，从而得出直线的向量表示式，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使．
问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A，方向向量为a和b，P为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示？
取定空间任意一点O，类似于问题2，你能得到平面ABC的向量表示式吗？
师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．
设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x，y），使得．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．
2.平面的法向量的概念及求法
问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
师生活动：教师展示图形，经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l⊥α，l的方向向量a叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．
追问：（1）对于平面内任意一点P，与a有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？
（2）如果另有一条直线m⊥α，在m上取向量b，则b与a有什么关系？
设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．
例 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB中点，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面BCC1B1的法向量．
（2）求平面MCA1的法向量．
设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．
问题5：如果设平面MCA1的法向量为n=（x，y，z），如何得到x、y、z满足的方程？
师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．
追问：为什么只需用n与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？
设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此．
3.归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？
（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？
（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
布置作业：教科书习题1.4第1，2题．
思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？
4.当堂检测
1．如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA．设，，，求直线AE、BF的方向向量．
设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．
设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量.
2
