1.4.3用空间向量研究距离、夹角问题（第三课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学目标
1.理解利用空间向量解决立体几何问题的三步曲；
2.理解解决立体几何问题，可用的三种方法：几何法、向量法、坐标法；
3.理解如何求解直线上的相关动点坐标；
4.了解用空间向量法解决立体几何问题时，不一定非要建立空间直角坐标系，也可以建立空间基底，或直接进行向量线性运算。
二、教学重难点
1. 如何让立体几何问题合理转化为向量问题来进行求解；
2. 解决立体几何问题时，如何让几何法和向量法综合运用；
三、教学过程
1.课前练习，复习引入
【学生实际情况】经过前面两课时的学习，学生已经懂得运用空间向量法解决空间几何问题，为了温顾知新，简单设计了三个空间立体几何问题的练习，让学生加深理解空间几何与空间向量的关系。
【设计意图】创设数学复习情境，让学生感受在数学学习中，基础知识是解决数学问题的重要依据.让学生能熟练运用空间向量来解决空间几何问题。
【课前练习】
1．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为___________.答案：平行关系
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面夹角的余弦值为___________.答案：
3．已知点在平面内，点在平面外，若是平面的法向量，则点到平面的距离为___________.答案：3
2.探究典例，形成应用
举例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度 取9.8m/ 2,精确到0.01 ）.
【问题预设】
问题1:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系
【设计意图】让学生区分力是一个矢量，要看问题研究的对象，如果只讲大小，根据这个力的平衡关系，学生应该能回答8根绳子的拉力大小的总和是大于礼物重力大小.
【问题预设】
问题2:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系
【设计意图】问题递进，当问题研究的对象是力的时候，根据这个力的平衡关系，学生应该能回答8根绳子的拉力总和与礼物重力的关系是大小相等，方向相反.
【问题预设】
问题3:如何用向量方法解决这个问题
【设计意图】研究拉力的合力，就是看作每个向量在竖直方向上的投影向量。其大小就是投影向量的模长。通过这一组问题，能让学生更好的读懂题和准确理解题意.
【解题板演】
解： 记铅垂线方向的单位向量为,设每根绳子的拉力为,
因为=, 所以向量在向量上的投影向量为：
由于8根绳子的合力大小与礼物重力大小相等，所以
，所以
即：降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小是.
【设计意图】规范解题，作好学生的示范.特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题。
举例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
【问题预设】
问题1:线面平行的几何法证明思路是怎么样分析得到的
学生容易想到，如图作辅助线，从而利用三角形中位线来证明：PAEG
问题2:线面平行的向量法证明思路又是怎么样呢
也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明：
也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行.
【设计意图】立体几何问题，首先想想利用掌握的空间关系来试证明，若能完成，则用几何法解决问题，若不能完成，则考虑向量法来补充证明。
【解题板演】
证明：（1）连接AC交BD于点G，再连接EG，
由正方形ABCD可得：AG=GC
又因为E是PC的中点，
所以PA EG ，
又因为PA， EG
所以PA平面EDB
【设计意图】第一问还是采用几何法证明简单，没必要转化为向量法来证明，所以只设计了几何法证明的答案，向量法只了解一下思路。我们还是追求数学的简洁美。
【问题预设】
问题3:线面垂直的几何法证明思路是怎么样分析得到的
学生能够回答，要证明PB 平面EFD , 由于PBEF , 所以只需要证明PBDE 或PBDF.
问题4:发现几何法证明线线垂直有点麻烦，若用向量法怎么样才能证明呢
此时发现利用向量知识，很容易证明： PBDE，即证明
【设计意图】立体几何问题，首先还是想想利用掌握的空间关系来试证明，若某个环节不能完成证明的时候，则考虑向量法来补充证明。
【解题板演】
证明：（2）以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,
如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
故
所以
由已知EF PB，且
所以PB 平面EFD ．
【问题预设】
问题5:求二面角的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图，由于PB 平面EFD , 所以
此时发现几何法求这个角有难度，但利用向量知识,很容易想到用向量夹角来求的大小．
问题6：用向量思想来求向量夹角，但是如何求出点F 的空间坐标
如图,要研究点的坐标,可以用设未知数的方法,来找到点满足的相关条件,然后求出这个点的坐标,从而利用向量方法解决二面角问题.
【设计意图】立体几何问题，首先还是想想利用掌握的空间关系来试证明，若某个环节不能完成求解的时候，则考虑向量法来补充求解。
【解题板演】
（3）由(2)得PB 平面EFD , PB EF, PB DF ,
所以
设点F坐标为,则,
因为EF PB且交PB于点F, 所以
,
所以
又由
所以
所以
即cos
所以
即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为
【学习要求】
懂得如何求出直线上动点的坐标，再用向量的坐标运算解决几何问题。
3.例题变式，提高能力
变式1：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,
侧棱PD底面ABCD,PD＝DC, E是PC的三等分点,且PE=2EC.
PB上是否存在点F ,使得AF平面EDB ,
若存在,求出BF: PB的值 ;若不存在,请说明理由.
【问题预设】
问题1:此题用几何法研究线线平行有点难度，但转化为向量法研究线面平行，容易想到研究什么向量？
如图，可以研究线向量与平面BDE的法向量之间的垂直关系。
问题2:用向量思想来解此题，关键是如何求出点F 的空间坐标
此时和刚才例题一样，利用设坐标的思想，通过三点共线得到其中两条向量共线，从而找到坐标之间的关系．
【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体问题实践的基础上提高能力，认识直线上的动点是如何用坐标来研究并解决问题的,为以后提升空间几何问题的解题能力作铺垫.
【解题板演】
解：以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,
如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
设平面
，
所以，又设
,
所以
因为要满足AF平面EDB ，
，
PF: PB的值是 .
4.探究典例，形成应用
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
【问题预设】
问题1:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的
如图，可以作,连接CE.
二面角的平面角就是
但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长.
问题2:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解
思考向量方法，发现二面角的大小就是
最后，我们
而我们想到这里有四条线段长全部已知，要求角大小，可以利用向量模与数量积的关系来求解
【解题板演】
又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
，
，所以平面与平面的夹角是.
【设计意图】
（1）几何法有困难，向量法又不好建系，也就想到向量的基底法或线性运算法来求夹角大小.
（2）懂得当已知首尾连接的四条线段长时，又知道其中两组相邻边的夹角，就可以求相对两边所成的角.
5.习题变式，形成技能
P41页练习2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD=BC=2, M, N分别是AD,BC的中点. 求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
【问题预设】
问题1：此题与书中例7相类似，肯定可以用书中方法来求解。
但是除此方法外，是否由前面例题的解题思想总结出来
的经验来解此题，请问求解的思路是怎么样的
根据经验总结，可以选择一条向量用其它三条向量来线性表示，并且这四条向量的模长都是已知的，而且能已知两组相邻边的夹角。
问题2：这里的每两条向量的数量积分别怎么计算
【解题板演】
所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是.
所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是.
【设计意图】
此题利用向量法，一题多解，除了课本上的方法外，还补充验证了向量法求异面直线所成角的思路，针对这一类题型既要总结到位，又要娴熟应用。
6.课堂小结，强调重点
1、通过这节课的学习，我们对立体几何中的向量法是否有了新的认识？
，从而解决问题。
以上就是利用向量法解决立体几何问题的三步曲。
2、相信通过这节课的学习，我们已经提高了应用向量知识来解决综合性较强的立体几何问题的能力。
特别是对直线上的动点研究及其运算方法；
就是利用四条线段的长及相邻两边夹角大小来求异面直线所成的角的大小。
【设计意图】
（1）突出本节课的重点，利用向量法解题的三步曲；
（2）加强本节课对于向量法求解立体几何问题的新认知，即向量法解题可以建系用坐标运算法，也可以不建系用基底运算法，还可以用线性运算和数量积运算；
（3）突出求直线上动点的运算方法和求异面直线所成角的方法。
7.课外作业，巩固提高
【设计意图】
（1）第14题突出直线上的动点研究；
（2）第16题是突出例题10的变式应用；
（3）第18题突出直线上的动点研究，及二面角的向量法求解。
91.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学内容
两条直线所成的角，直线与平面所成角，两个平面的夹角.
二、教学目标
1、理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.
2、理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.
3、理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求二面角的大小.
4、让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.
5、通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．
三、教学重点与难点
重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线与平面所成角、两个平面的夹角.
难点：根据问题的条件选择适当的基底.
四、教学过程设计
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.
师生活动：学生独立思考、小组讨论后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角.
设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路.
1.典型例题，求解直线与直线所成的角
例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
师生活动：首先教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量与向量的夹角.为此，选择为基底并表示向量，.
在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值.
师生活动：学生利用向量的数量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从来解决问题.
解：化为向量问题
以为基底，则，
设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.
进行向量运算
，
而都是正三角形，所以，
所以， ，
回到图形问题
所以，直线和夹角的余弦值为.
小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.
追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？
师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则
在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：
几何问题向量问题向量运算几何解释
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.
2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角
问题2：你能用向量方法求问题1中的直线与平面所成的角吗？一般地，如何求直线和平面所成的角？
追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化成向量问题？
师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线与平面所成的角转化成直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.
进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.即将直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成角的一般表达式
其中，为直线的方向向量，为平面的法向量.
设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线和平面所成角的量表达式.
问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？
师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义.教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：
如右图，平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面和平面的夹角.
类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是，，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.
设平面和平面的夹角为，则
追问1：如何求平面的法向量？
师生活动:学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则
根据这个不定方程组，可以求得一个法向量.
教师在学生回答的基础上进一步指出，求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.
追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？
师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面和平面的夹角是指平面和平面相交，形成的四个二面角中不大于的二面角.
设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理.通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入.
3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题
例8 如图1.4-22，在直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.
师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.
设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
分析：平面与平面夹角可以转化为
平面与平面法向量的夹角.
解：转化为向量问题
以为坐标原点，所在直线
为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角.
进行向量运算
平面的一个法向量为.
由题意，，，，，.
设，则即
所以 令得，则
回到图形问题
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
小结：用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：
建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；
通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系和它们之间距离、夹角等问题；
把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.
4.归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：
（1）这节课主要学习了哪些内容？
（2）研究这些内容主要用了什么方法？
（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？
设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的角度刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度问题转化为相应的求相应的方向向量、法向量的夹角.进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
5.布置作业
教科书习题1.4第9，10题.
五、目标检测设计
教科书练习第1，2，3，4题.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的能力.
21.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学目标
1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．
2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．
3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.
二、教学重难点
1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.
2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.
三、教学过程
1.公式的推导
1.1复习回顾
【实际情境】如图，在空间中任取一点，作， (
x
) (
O
) (
O
).
问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？
【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．
【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.
【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.
1.2探究思考，提炼公式
探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点.
如何利用这些条件求点到直线的距离？
【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.
【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.
【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
问题2：若与直线垂直，点到直线的距离还等于吗？
【预设的答案】若与直线垂直，则，.
问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，那么点应该如何确定？
【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.
问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？
【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.
【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.
教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.
问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？
【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；
(2)在三角形中用等面积法求解；
(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.
思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？
【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.
【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.
探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？
【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且.
问题6：点到平面的距离应该怎样表示？
【预设的答案】 .
【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.
问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？
【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.
【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.
教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.
【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.
思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？
【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.
【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.
问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？
【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.
2.初步应用，解决问题
例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离.
【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.
【预设的答案】
解：以为原点， ，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,.
取，，则 ，．
所以，点到直线的距离为．
(2) 因为，所以，又面，面，
所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．
设平面的法向量为，则 所以
所以
取，则，,
所以，是平面的一个法向量,
又因为，
所以点到平面的距离为 ,
即直线到平面的距离为．
【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.
追问： 求两种距离的步骤是怎样的？
【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.
【预设的答案】点到直线的距离 ：
第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标.
第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.
第三步：带入公式求解.
点到面的距离 :
第一步：建系，选择“参考向量”；
第二步：确定平面的法向量；
第三步： 带入公式求值.
【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.
3. 梳理归纳，感悟本质
思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？
【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．
我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．
教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,
把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
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