3.1.1椭圆的标准方程（第一课时）
(选择性必修第一册第三章)
一、教学目标
1.根据创设的情景，理解椭圆的定义.
2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力.
3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
二、教学重难点
1.重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用.
三、教学过程
1.椭圆的概念生成
1.1生活中的椭圆
问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面和圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？
如果，用一个不垂直于圆锥的轴平面截圆锥，当截面与轴所成角度不同时，得到的截口曲线也不同。它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，统称为圆锥曲线。椭圆是圆锥曲线的一种，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.在生活中，哪些地方有椭圆的身影呢？
【预设答案】椭圆形桌子，盘子，火腿肠的斜切面
【设计意图】先直观感受椭圆的形状，在生活中寻找例子，建立数学和实际的联系.
1.2绘制椭圆，生成概念
【数学活动】取一条细绳，用图钉把绳子两端固定，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？这一过程中，移动的笔尖（动点M）满足的几何条件是什么 （请三名同学上黑板共同参与实验活动，其他同学分组进行）
【活动预设】第一幕：细绳两端相距特别近，图形很接近圆
第二幕：细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观.
第三幕：细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动那么顺畅，图形更扁长.
第四幕：细绳一端固定后，固定另一端时之前的一端被拉掉了
学生总结画图变化中的不变量，师生一起总结得出：
椭圆的定义：平面内，与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
在归纳椭圆定义的过程中，根据实验中同学们出现的现象，如第三幕和第四幕情形，结合学生回答的情况，突出体现“常数”及“常数的范围”等关键词与相应的特征.同时强调平面内的大前提.
问题2：在定义中，如果，动点的轨迹又是什么？
当时点M的轨迹为:线段
当时点M的轨迹不存在
【设计意图】改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.)
2.椭圆的标准方程
2.1椭圆标准方程的探求
（1）建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标系？）
学生回答，引导学生总结建系的基本原则. (关注对称性，方程的最简性)
（2）设点：设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c(c>0), M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0) .
（3）动点的几何特征：
（4）坐标化：
（5）化简：（通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.）
先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述．
问题3：①怎么能让方程 更简洁？
②怎么能让方程更简洁？
不妨设,再化简方程得：
该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
【设计意图】暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美，获得成功的喜悦！)
问题4：你能在图中找出表示的线段吗？
让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形自行获得的几何意义，让学生在讲解的过程中体会数形结合思想，引出特征三角形，也为后续学习做好准备.
【设计意图】对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.
问题5：如果椭圆的焦点在轴上，那椭圆的方程又如何？（让学生猜想方程，并说明如何验证？）
方法1：焦点坐标变为，重复推导过程，布置为作业.
方法2：引导学生回答，如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）,只要将方程中的调换，可得
这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.
【设计意图】利用类比对称，化归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.
2.2 椭圆的标准方程的特点
焦点在x轴上的标准方程： （）
焦点在y轴上的标准方程： （）
其中
观察：椭圆的两种标准方程有什么异同点？
思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
（小组讨论，教师引导:看形式，看细节）
【预设答案】学生总结方程特征：①形式上：平方+平方=1，且
②细节上：x和y顺序交换（焦点位置不同）
③哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.
3.学以致用
例1 平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10 ，则动点P的轨迹为（ A ）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
变式1平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8 ，则动点P的轨迹为（ B）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
变式2平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ D ）
A.椭圆 B.线段 C.直线 D.无轨迹
【设计意图】强调椭圆定义中常数的范围.
例2 请完成下列表格：
椭圆方程 图象 焦点坐标
同2
【设计意图】巩固标准方程a,b,c的含义，焦点位置的判断方法.
例3 (1)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程.
（2）求适合条件的椭圆的标准方程：
【预设答案】(1)(2)
【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，若两个坐标轴都有可能，则需分类讨论．
(2)设方程：根据上述判断设方程()或()
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c的方程组．
两个关键点：先定型，再定量. 常用方法：待定系数法
【设计意图】让学生学会用待定系数法求椭圆的标准方程; 分析解答中注意发现学生思维的闪观点，注重不同思维、方法的碰撞. .
4.课堂小结
问题6：（1）本节课学习的主要知识是什么
（2）求椭圆标准方程常用方法是什么？
（3）本节课涉及到了哪些数学思想方法？
活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.
一动二定求和常：两个方程大对焦；
三个字母勾股弦；四个想法留心间：
求美，求简，定义，待定系数法
【设计意图】归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）
23.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
一、教学目标
1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求点的轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法（相关点法）；
2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，激发学生学习兴趣，提高学生的创新意识.
二、教学重难点
1.重点：求动点轨迹方程的三种方法.
2.难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.
三、教学过程
1.复习巩固，引入新课
上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？
【答案预设】
平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.
椭圆标准方程有两种形式：
焦点在x轴上，
焦点在y轴上,
其中
【设计意图】加深对椭圆定义及其标准方程的理解，为求动点的轨迹方程做准备.
2.自主探究，得出新知
活动1：如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【活动预设】经过分析，发现点P的轨迹符合椭圆的定义，再根据椭圆的定义求出点P满足的标准方程.
【设计意图】让学生掌握定义法求动点的轨迹方程.
活动2：如图设A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0). 直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
【活动预设】设动点M的坐标为(x，y)，根据题目意思用含x，y的式子表示直线AM，BM的斜率，得到x，y的关系式,求出轨迹方程.写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.
【设计意图】类比椭圆标准方程推导过程，利用直接法求动点的轨迹方程，并去除不符合条件的特殊点.
活动3：如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
【活动预设】由点M是线段PD的中点得到点M的坐标与点P坐标之间的关系式，并由点P坐标满足圆的方程代入得到点M的坐标所满足的方程.
【设计意图】让学生体会椭圆生成的另一种方式，利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程.
思考：由活动3我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
3.应用巩固，强化方法
已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.
4.归纳小结，思维提升
（1）回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的三种方法：①定义法 ②直接法 ③代入法(相关点法).
（2）数学思想：数形结合、转化化归、类比归纳
【设计意图】
（1）梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；
（2）培养学生敢于思考，不断总结的思维习惯，提升学生的数学核心素养，鼓励学生积极攀登知识高峰，为进一步的数学学习做好准备.
课外作业
课本109页，练习第3、4题；
课本115页，习题3.1 第6、8、9、10题.
课后探究：
课下与同学一起探究完成思考题，体会由圆得到椭圆的两种方式，并思考由圆得到的椭圆有哪些性质.
【设计意图】
通过练习巩固本节课所学的内容和方法，让学生学会用知识解决问题；
分层布置作业，让学有余力的同学多思考，多花时间研究问题.
2
