2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)
一、教学目标
1. 学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题;
2. 体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法;
3. 促进数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.
二、教学重难点
1. 重点:根据斜率判定两条直线平行和垂直.
2. 难点:将判定两条直线平行和垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究.
三、教学过程
1.复习巩固,引入课题
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线,我们从确定直线位置的几何要素出发,引入直线的倾斜角,再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率,从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式,从而把几何问题转化为代数问题. 我们知道,两条直线的位置关系只与两条直线的相对方向有关,也就是说只与斜率有关,若直线的斜率为,则它的一个方向向量的坐标为. 因此,我们可以通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系.
【设计意图】复习前一节的知识和研究方法,运用已有知识,建立新旧知识的联系,为本节课的研究打下基础,引出课题.
2.合作交流,探究新知
2.1具体感知,理性分析
问题1:我们知道,平面中的两条直线有两种位置关系:相交、平行. 当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?并论证你的结论.
注:若没有特别说明,说“两条直线l1,l2”时,指两条不重合的直线.
【预设的答案】相等,因为两条直线平行,它们的倾斜角相等.
【设计意图】引导学生进行主动探究,先通过直观感知,提出两条直线平行的条件,再进行理性分析,通过倾斜角相等、方向向量共线进行论证,建立知识之间的联系.
问题2:两条直线平行,它们的斜率一定相等吗?
【预设的答案】不一定,因为两条直线平行,有可能它们的斜率都不存在.
【设计意图】启发学生理解问题1所得结论的前提条件,完善知识体系,强化分类讨论的意识,培养严谨的思维习惯.
2.2探究典例,初步应用
例1 已知A(2,3),B(–4,0),P(–3,1),Q(–1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系,并证明你的结论.
【预设的答案】AB∥PQ.
【设计意图】将判定两条直线平行转化为判断两条直线斜率的关系来研究,体会用代数方法研究几何问题的思路.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,–1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
【预设的答案】四边形ABCD是平行四边形.
教师活动:启发学生先画图,直观感知,提出猜想,再计算直线的斜率,解决问题.
【设计意图】强化数形结合的思想,进一步体会用代数方法研究几何问题的思路.
2.3类比研究,渗透思想
问题3:显然,当两条直线相交时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交. 在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形,直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?类比前面的研究进行讨论.
【活动预设】类比前面的研究方法,通过研究两条直线的倾斜角之间的关系,或者通过两条直线方向向量的关系,得到结论.
教师活动:利用GGB软件,通过具体的数据,启发学生直观感知两条直线垂直时,倾斜角和斜率之间的关系.
【设计意图】启发学生进行研究讨论,探究两条直线垂直的条件.
问题4:当两条直线垂直时, 它们的斜率之积一定等于-1吗?为什么?
【预设的答案】不一定,因为其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.
【设计意图】启发学生理解所得结论的前提条件,完善知识体系,培养严谨的思维习惯.
例3 已知A(–6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,–6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
【预设的答案】垂直.
【设计意图】将判定两条直线垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究.
例4 已知A(5,–1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断 ABC的形状.
【预设的答案】直角三角形.
教师活动:启发学生先发图,直观感知,提出猜想,再计算直线的斜率,解决问题.
【设计意图】强化数形结合的思想,进一步体会用代数方法研究几何问题的思路.
变式:已知点A(5,–1),C(2,3) ,点B在x轴上,且∠ABC为直角,
求点B的坐标.
【预设的答案】点B的坐标为(,0)或(,0).
【设计意图】通过变式训练,强化应用意识.
3.巩固练习,加深理解
1. 判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)经过A(2,3),B(–1,0)两点的直线l1,与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2;
(2)经过C(3,1),D(–2,0)两点的直线l3,与经过点M(1,– 4)且斜率为–5的直线l4.
2. 试确定m的值,使过A(m,1) ,B(–1,m)两点的直线与过P (1,2) ,Q (–5,0)两点的直线: (1)平行; (2)垂直.
【预设的答案】1.(1)平行,(2)垂直. 2.(1) , (2) .
【设计意图】通过独立完成,再相互交流确认答案,掌握直线的斜率与两条直线的平行和垂直之间的关系.
4. 归纳小结,深化认识
思考:通过本节课的学习,你在知识和方法上有哪些体会或收获?
教师活动:从知识和思想方法层面启发学生总结归纳,并提问:在平面直角坐标系中,除了研究两直线的位置关系,你还能提出哪些几何问题进行研究?用代数方法解决这些问题还需要我们建立直线的方程.
【预设的答案】点与直线的位置关系,两条平行直线之间的距离,两条相交直线交点的坐标等.
【设计意图】归纳本节课的知识和方法,渗透利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法,引出接下来要研究的问题.
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