【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题02 圆的综合压轴问题（3年中考，3大题型）
题型一 圆与三角形综合 1
题型二 圆与四边形综合 4
题型三 轨迹圆问题 4
题型一 圆与三角形综合
1．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G．
(1)求证．
(2)若点E在的延长线上，且，求的度数．
(3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化 请描述变化过程，并说明理由．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中， ，
所以．
所以∠=∠．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．
4．（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
题型二 圆与四边形综合
5．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．
(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
题型三 轨迹圆问题
6．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
试卷第4页，共5页
第2页（共6页）【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题02 圆的综合压轴问题（3年中考，3大题型）
题型一 圆与三角形综合 1
题型二 圆与四边形综合 12
题型三 轨迹圆问题 15
题型一 圆与三角形综合
1．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G．
(1)求证．
(2)若点E在的延长线上，且，求的度数．
(3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化 请描述变化过程，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大．
【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接，
∵，
∴ 垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）连接，设，
由（1）知，，
∴，
∵, 垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，
，
∴，
随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；
当时，
，
∴，
随增大而增大，从0附近开始逐渐增大．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，则
∵是的外接圆，
∴是的角平分线，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
设交于点，则，
设，则
在中，
∴
∴，
∵是直径，则，
在中，
∴
∴
（2）如图所示，在上截取，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴；
∵，，
∴是等边三角形，则
∴，
又∵
∴
在中
∴
∴，
∴
即；
（3）解：①如图所示，当在上时，
在上截取，
∵
∴
又∵
∴，则
∴即
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
如图所示，作于点，
在中，，
∴
∴
∴，即
②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵
∴，则
∴即，
又∵
∴
∴
∴，
∵
同①可得
∴
∴
综上所述，当在上时，；当在上时，．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中， ，
所以．
所以∠=∠．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．
【答案】(1)；见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以．
所以∠=∠．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
故答案为：；
取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；
（2）解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt△FMI中，，
在Rt△MNA中，，
所以．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴，
∴=·．
4．（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②；
(2)见解析；
(3)见解析
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
题型二 圆与四边形综合
5．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．
(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
【答案】(1)直角
(2)见详解
(3)小明的猜想正确，理由见详解
【详解】（1）解：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：
由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
（3）解：小明的猜想正确，理由如下：
如图，当点C靠近点A时，设，，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ．
分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，作于点D，于点E，
∴ ．
∵ ,，，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 四边形MNQP是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形MNQP是菱形；
同理，如图，当点C靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形，
故小明的猜想正确．
题型三 轨迹圆问题
6．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
试卷第4页，共20页
第2页（共18页）
