6.3 三元一次方程组及其解法 教案 华师大版（2024）数学七年级下册

6.3 三元一次方程组及其解法
1.理解三元一次方程(组)的概念.（重点）
2.了解三元一次方程(组)的解法及运用.（重点）
一、新课导入
[复习导入]1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法.
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组通过代入或加减消元的化归思想转化为一元一次方程.
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
二、新知探究
（一）三元一次方程组的概念
[提出问题]在第6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决.
小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得
思考：请同学们通过观察对比，说说看这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？尝试自己归纳总结三元一次方程和方程组的概念.
[归纳总结]
在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
像这样，共含有三个未知数的一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
（二）三元一次方程组的解
[提出问题]三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.怎样解三元一次方程组呢？
同学们有什么思路？能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”进而求解呢？
解方程组
分析：注意到方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可消去x.
解：将③分别代入①②，得
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
把y = 3，z=2代入③，得x=5.
所以原方程的解是
[典型例题]例1 解方程组:
解：由方程②，得z=7-3x+2y.④
把④分别代入方程①和③，整理，
得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z=7-3-6=-2.
所以原方程组的解是
[典型例题]例2 解方程组：
解：③－②，得3x+6z=－24，即x+2z=－8.④
①×3+②×4，得17x－17z=17，即x-z=1.⑤
联合④⑤组成二元一次方程组，得
解得
将x =－2，z =－3代入方程②，得y=0.
所以原方程的解是
[归纳总结]
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程 .
（三）三元一次方程组的简单应用
[典型例题]例3 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.解方程组则 x＝__6__，y＝___8__，z＝___3___.
2. 若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=－1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a、b、c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组：
②－①，得3a＋3b=3，即a+b=1.④
③－①，得24a+6b=60，即4a＋b = 10.⑤
④ 与 ⑤ 组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a和b的值代入①，得c = -5.
所以
五、布置作业
通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯.