北师大版数学九年级下册第二章第二节《二次函数的图像与性质》课时练习

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北师大版数学九年级下册第2章第2节二次函数的图像与性质同步检测
一、选择题
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（-1，2）
B．（-1，-2）
C．（1，2）
D．（1，-2）
答案：C
解析：解答：∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
分析：利用抛物线顶点式的特点直接写出顶点坐标．此题考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
2．函数与（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：解答：由解析式可得：抛物线对称轴x=0；
A．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
分析：此题可以先根据反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看一看是否一致．解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k的取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=-2的是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：解答：的对称轴为x=-2，故A正确；
的对称轴为x=0，故B错误；
的对称轴为x=0，故C错误；
的对称轴为x=2，故D错误．
故选：A．
分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，依次进行判断，选出正确的选项．本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．
4．如图是二次函数的图象，下列结论：
①二次三项式的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程的两根之和为-1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
解析：解答：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式的最大值为4，故①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程的两根之和为-2，故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，故④错误，
故选：B．
分析：此题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
5．在同一直角坐标系中，函数和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：A．由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数的图象应该开口向上，错误；
B．由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；
C．由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；
D．正确．
故选：D．
分析：先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查的是一次函数和二次函数的图象，解答此类题要熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标．
6．如图图形中，阴影部分面积相等的是（　　）
A．甲 乙
B．甲 丙
C．乙 丙
D．丙 丁
答案：B
解析：解答：甲：直线与x轴交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为×3×4=6；
乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为×4×2=4；
丙：抛物线与x轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为×6×2=6；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为×6=3；
因此甲、丙的面积相等，
故选：B．
分析：甲、丙：根据函数解析式求出图象与x轴，y轴的交点坐标，再计算阴影部分的面积；乙：可判断出阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，据此计算阴影部分的面积；丁：利用反比例函数系数k的几何意义求出阴影部分的面积．此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特点是解决问题的关键．
7．王芳将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线，则她所选择的x轴和y轴分别为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案：A
解析：解答：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴应选择的y轴为直线；
∵顶点坐标为（3，-3-9a），抛物线与y轴的交点为（0，-3），而-3-9a＜-3，
∴应选择的x轴为直线，
故选：A．
分析：根据抛物线开口向上可知a＞0，将抛物线配方为，可得抛物线的对称轴为x=3，顶点纵坐标为-3-9a，由此结合图象得到答案．此题考查了二次函数的图象，理解二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（ ）
A．最小值-5
B．最大值-5
C．最小值3
D．最大值3
答案：B
解析：解答：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），
所以该抛物线有最大值-5．
故选：B．
分析：由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断．
9．抛物线经过平移得到，平移方法是（　　）
A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
答案：C
解析：解答：∵的顶点坐标为（1，-1），
平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．
故选：C．
分析：由抛物线得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
10．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（　　）
A．
B．x=1
C．x=2
D．x=3
答案：D
解析：解答：因为抛物线与x轴相交于点（2，5）、（4，5），
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴=3；
故选：D．
分析：因为点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求出两对称点横坐标的平均数即可．此题考查了二次函数的对称性．
11．若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：解答：∵二次函数中a=1＞0，
∴开口向上，对称轴为x==2，
∵A（2，）中x=2，∴最小，
又∵B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，所以．
∴．
故选：C．
分析：首先求出二次函数的图象的对称轴，然后判断出A（2，），B（-3，），C（-1，）在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性求解．解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数的图象性质．
12．若函数的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（　　）
A．c＞1
B．c=1
C．c＜1
D．c≤1
答案：A
解析：解答：由题意，得△=，
解得c＞1．
故选：A．
分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出，再根据二次函数（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．要使得此题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．
13．二次函数（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-1时，函数值（　　）
A．y＜0
B．0＜y＜m
C．y＞m
D．y=m
答案：C
解析：解答：当x=a时，y＜0，
则a的取值范围是，
又对称轴是x=，
所以a-1＜0，
当x＜时，y随x的增大而减小，
当x=0时，函数值是m．
因而当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．
故选：C．
分析：根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1＜0，因为当x＜时，y随x的增大而减小，所以当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．此题主要考查二次函数的对称轴，以及增减性．
14．直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（　　）
A．（0，0）
B．（1，-2）
C．（0，-1）
D．（-2，1）
答案：C
解析：解答：由题意得原抛物线的顶点为（1，-2），
∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴新抛物线的顶点为（0，-1）．
故选：C．
分析：易得原抛物线顶点，把横坐标减1，纵坐标加1即可得到新的顶点坐标．此题考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致．
15．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．20
B．1508
C．1558
D．1585
答案：C
解析：解答：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，且15≤x≤22，
∴当x=20时，．
故选：C．
分析：因为该二次函数的开口方向向下，所以当x-20=0时，y取最大值．此题考查了二次函数的最值．此题要注意x的取值范围，在15≤x≤22范围内求解．
二、填空题
16．已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是
答案：m＜2
解析：解答：∵二次函数的图象开口向下，
∴m-2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
分析：由图象的开口方向知m-2＜0，确定m的取值范围．考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．
17．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为 s．
答案：4
解析：解答：根据题意，得
焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间，
则t==4s，
故答案为：4．
分析：根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．利用二次函数的性质，结合图象与实际问题的联系进行解答．
18．已知二次函数的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限．
答案：一
解析：解答：从图象得出，二次函数的对称轴在y轴的右侧，且开口向上，
∴a＞0，＞0，所以b＜0，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴a＞0，bc＞0，则点P（a，bc）在第一象限．
故答案为：一．
分析：只要根据二次函数的图象及性质判断出a及bc的符号，就可得出点P（a，bc）所在象限．此题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y轴的交点与系数的关系．
19．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，-1＜x＜3．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．
答案：②⑤
解析：解答：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，∴①错误；
由图象可知：，
∴2a+b=0，∴②正确；
当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；
由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；
根据图象，当-1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；
正确的说法有②⑤．
故答案为：②⑤
分析：①由图象开口向下和与y轴的交点位置，求出a＜0，c＞0判断；②由抛物线的顶点的横坐标判定；③把x=1代入抛物线，根据纵坐标y的值判断；④根据图象的性质（部分图象的延伸方向）判断；⑤根据图象在x轴的上方时，y＞0，即可求出．注意：根据抛物线的开口方向即可得到a的正负，根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，根据顶点的横坐标得出2a和b的关系式，把x=1或（-1）代入即可求出a+b+c和a-b+c的值．
20．已知抛物线（a＜0）过A（-2，0）、O（0，0）、B（-3，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
答案：
解析：解答：∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点，
∴抛物线对称轴为x==-1，
∵B（-3，）、C（3，），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下，
∴．
故答案为：．
分析：由已知得抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点，开口向下，对称轴为x==-1，可知B、C两点在对称轴的两边，点B离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．此题考查了二次函数的增减性．熟练掌握：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
三、解答题
21．已知抛物线，
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
答案：（-1，）｜直线x=-1
（2）x取何值时，y随x增大而减小？
答案：x＞-1
（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？
答案：-4＜x＜2
解析：解答：
（1）∵===，
∴它的顶点坐标为（-1，），对称轴为直线x=-1；
（2）∵抛物线对称轴是直线x=-1，开口向下，
∴当x＞-1时，y随x增大而减小；
（3）当y=0时，
=0
解得=2，=-4，而抛物线开口向下，
∴当-4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．
分析：（1）用配方法写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；（2）对称轴是x=-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；（3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．注意：抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y=0，y＜0．
22．用配方法把函数化成的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
答案：向下｜x=-1｜（-1，13）｜最大值13
解析：解答：∵，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13．
分析：这个函数的二次项系数是-3，配方法变形成的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数-3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．二次函数的顶点式是：（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
23．已知m，n是关于x的方程的两实根，求的最小值．
答案：8
解析：解答：依题意△=≥0，
即，
∴a≤-2或a≥3，
由m+n=2a，mn=a+6，
，
∴a=3时，y的最小值为8．
故答案为：8．
分析：根据方程有两个根，利用根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把整理成m+n与mn的形式，代入进行计算求解．此题考查了二次函数的最值问题，根的判别式，利用根的判别式求出a的取值范围是解题的关键．
24．把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）求顶点P的坐标；
答案：（-3，）
（2）写出平移过程；
答案：先向左平移3个单位，再向下平移个单位
（3）求图中阴影部分的面积．
答案：
解析：解答：（1）平移的抛物线解析式为= =，
所以顶点P的坐标为（-3，）；
（2）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线；
（3）图中阴影部分的面积=．
分析：（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P点坐标；（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；（3）根据平移得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，所以a不变．求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式．
25．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
答案：（1，0）
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
答案：[2，-3]
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
答案：向左平移个单位，再向下平移个单位
解析：解答：（1）由题意得：，
∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）；
（2）①由题意得：，
∴把此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后可得：
，
∴图象对应的函数的特征数为：[2，-3]；
②∵一个函数的特征数为[2，3]，
∴函数解析式为：，
∵一个函数的特征数为[3，4]，
∴函数解析式为：，
∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
分析：（1）根据题意得出函数解析式，从而得出顶点坐标；（2）①首先得出函数解析式，然后利用函数平移规律得到答案；②分别求出两函数解析式，从而得出平移规律．此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解答此题的关键．
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