6.3 课时3 平面向量数乘运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(数学运算)
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(数学抽象)
3.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线.(逻辑推理)
【自主预习】
1.若a=(x,y),则λa的坐标是什么
2.两向量共线的充要条件是什么
3.如何利用向量的坐标表示a,b两个向量共线
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( )
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ( )
(3)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且x1y2-x2y1=0,则a∥b. ( )
(4)向量a=(1,2)与向量b=(4,8)共线. ( )
2.已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,则实数m的值是( ).
A.-4 B.-1 C.1 D.4
3.与a=(12,5)平行的单位向量为( ).
A.,-
B.-,-
C.,或-,-
D.,-或-,
4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ= .
【合作探究】
平面向量数乘运算的坐标表示
问题1:根据向量坐标表示的定义,已知向量a=(x,y),你能推导出λa的坐标吗
问题2:已知向量a=(-2,3),b=(1,-4),如何求a-b
平向量数乘运算的坐标表示
(1)符号表示:已知a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy).
(2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
已知向量a=(3,4),b=(1,2),则3a-2b= .
已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
平面向量共线的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数λ,使a=λb.
问题1:根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗
问题2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),如何判断A,B,C三点之间的关系
平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
(1)a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)如果用坐标表示,向量a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
简记:纵横交错积相减.
一、向量共线的判定
下列各组向量中,共线的是( ).
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
【方法总结】向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
已知A(1,-3),B8,,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是( ).
A.(-9,1) B.(9,-1)
C.(9,1) D.(-9,-1)
二、利用向量共线的坐标表示求参数
(1)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ= .
(2)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量与向量a=(λ,1)共线,则λ= .
【方法总结】利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
提醒:当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值.
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为( ).
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k= .
线段分点的坐标
问题1:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),如何求线段P1P2的中点P的坐标
问题2:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标是什么
问题3:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),当=λ(λ≠-1)时,点P的坐标是什么
1.设不重合的两点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),当=λ(λ≠-1)时,点P的坐标是,.
2.若=λ(λ≠0),则
(1)当0<λ<1时,点P在线段P1P2上;
(2)当λ=1时,点P与点P2重合;
(3)当λ>1时,点P在线段P1P2的延长线上;
(4)当λ<0时,点P在线段P1P2的反向延长线上.
已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
【方法总结】求点的坐标时需注意的问题:(1)设P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是线段P1P2的中点,则利用中点坐标公式计算;(2)求线段P1P2上或其延长线上的点的坐标时,不必过分强调公式的记忆,可以转化为向量问题后列出方程组求解,同时要注意分类讨论.
若过点P1(2,3),P2(6,-1)的直线上的一点P使||∶||=3∶1,求点P的坐标.
【合作探究】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),则=( ).
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
2.已知点A(2,-1),B(3,1),则与平行且方向相反的向量a可以是( ).
A.(1,-2) B.(9,3)
C.(-2,4) D.(-4,-8)
3.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三点共线,则实数k的值为( ).
A.4 B.-4 C.- D.
4.已知点A(2,0)与点B(0,3),点G在直线AB上,且=2,求点G的坐标.
参考答案
课时3 平面向量数乘运算的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.λa=(λx,λy).
2.向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,
则向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.A 【解析】由a=λb,得解得m=-4.
3.C 【解析】设与a平行的单位向量为e=(x,y),
则∴或
4.- 【解析】因为向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),所以2a+b=(4,2λ+1),
由2a+b与c共线,得-8-(2λ+1)=0,
解得λ=-.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为一个正交分解的基底,则向量a可以分解为xi+yj,λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj,所以λa=(λx,λy).
问题2:因为a=(-2,3),b=(1,-4),
所以a-b=(-2,3)-(1,-4)=--,1+2=-,3.
新知运用
例1 (7,8) 【解析】因为a=(3,4),b=(1,2),所以3a-2b=3(3,4)-2(1,2)=(9,12)-(2,4)=(7,8).
巩固训练 【解析】(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-,1-,=-,.
探究2 情境设置
问题1:因为向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,用坐标表示为(x1,y1)=λ(x2,y2),即整理得x1y2-x2y1=0.
问题2:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-4×3=0,所以∥.又直线AB,AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.
新知运用
例2 D 【解析】A选项,∵(-2)×6-3×4=-24≠0,∴a与b不共线;B选项,∵2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a与b不共线;C选项,∵1×14-(-2)×7=28≠0,∴a与b不共线;D选项,∵(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,∴a与b共线.
巩固训练 C 【解析】设点C的坐标是(x,y),结合题意可得,
=8,-(1,-3)=7,,=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),
又因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,
经检验可知点(9,1)符合要求.故选C.
例3 (1)-3 (2)- 【解析】(1)由题意知,-6=2λ,所以λ=-3.
(2)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1),
所以向量=2(1-(-1),-1-2)=(4,-6),
又因为与向量a=(λ,1)共线,所以4×1+6λ=0,解得λ=-.
巩固训练 (1)D (2)- 【解析】(1)因为非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,所以-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,所以m=.
(2)=-=(1-k,2k-2),=-=(1-2k,-3),
由题意可知,∥,所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=-(k=1舍去).
探究3 情境设置
问题1:设
O为坐标原点,如图所示,∵P为线段P1P2的中点,
∴=,∴-=-,
∴=(+)=,,
∴线段P1P2的中点P的坐标是,.
问题2:P是线段P1P2的一个三等分点,分两种情况:
图1 图2
①如图1,当=时,=+=+=+(-)=+=,,即点P的坐标为,;
②如图2,当=时,=+=+=+(-)=+=,,即点P的坐标为,.
问题3:∵=+=+λ=+λ(-)=+λ-λ,
∴==(x1,y1)+(x2,y2)
=x1,y1+x2,y2
=,,
∴点P的坐标为,.
新知运用
例4 【解析】(法一)设点P的坐标为(x,y),∵||=2||,
当点P在线段AB上时,=2,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴点P的坐标为,0.
当点P在线段AB的延长线上时,=-2,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴点P的坐标为(-5,8).
综上所述,点P的坐标为,0或(-5,8).
(法二)设=λ,点P的坐标为(x,y),∵点P在直线AB上,且||=2||,∴λ=2或λ=-2.
当λ=2时,得x==,y==0;
当λ=-2时,得x==-5,y==8.
综上所述,点P的坐标为,0或(-5,8).
巩固训练 【解析】设O为坐标原点,点P的坐标为(x,y),
连接OP,OP1,OP2(图略).
∵||∶||=3∶1,∴||=3||,∴=3或=-3.
当=3,即=-3时,λ=-3,
此时故点P的坐标为(8,-3);
当=-3,即=3时,λ=3,
此时故点P的坐标为(5,0).
综上所述,点P的坐标为(8,-3)或(5,0).
随堂检测·精评价
1.D 【解析】=(-)=(-2,-2)=(-1,-1).故选D.
2.D 【解析】由题意得=(1,2),设a=λ=(λ,2λ)(其中λ<0).结合选项知符合条件的只有D项,故选D.
3.C 【解析】因为A,B,C三点共线,所以∥,所以4k+1=0,即k=-.
4.【解析】因为点G在直线AB上,且=2,
设G(x,y),由题意得λ=2,则x==,y==2,所以点G的坐标为,2.6.3 课时1 平面向量基本定理
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理的含义和基底的含义.(数学抽象)
2.在平面内,当一个基底选定后,会用这个基底来表示其他向量.(数据分析)
3.会用平面向量基本定理,会用“基底分解”解决平面向量问题.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示 依据是什么
2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示 为什么
3.零向量能否作为基底中的向量 为什么
4.平面内任一向量能否用互相垂直的两非零向量表示
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以构成平面内所有向量的一个基底. ( )
(2){0,e}可以作为基底. ( )
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. ( )
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量. ( )
2.设e1,e2是同一平面内的两个向量,那么( ).
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是该平面内所有向量的一个基底
C.对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共线,则对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
3.(多选题)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则下列向量组中可构成该平面其他向量的基底的是( ).
A.与 B.与
C.与 D.与
4.已知向量e1,e2不共线,(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为 .
【合作探究】
平面向量基本定理
如图1,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.如图2,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.
图1 图2
问题1:将a按e1,e2的方向分解,你有什么发现
问题2:若向量a与e1或e2共线,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题3:当a是零向量时,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题4:设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个 .平面内任一向量都可以用同一个基底唯一表示.
3.如果P,A,B三点共线,O是平面内任意一点,若=λ+μ,则λ+μ=1.
一、对基底的理解
(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能构成基底的是( ).
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2
D.e1和e1+e2
【方法总结】判断两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
已知向量a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断{c,d}能否作为基底.
二、用基底表示向量
如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用基底{a,b}表示,,.
【变式探究】本例中若取BC的中点G,则= .
【方法总结】用基底表示向量的两种方法
(1)线性运算法:运用向量的线性运算法则不断对待求向量进行转化,直至待求向量能用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系.
(2)待定系数法:首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后列方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.
如图,在正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则以{a,b}为基底时,可表示为 ,以{a,c}为基底时,可表示为 .
三、平面向量基本定理的应用
(1)如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=( ).
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
(2)在△ABC中,D是线段BC上任意一点,点P满足=3,若存在实数m和n,使得=m+n,则m+n=( ).
A. B. C.- D.-
如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+(m∈R),若AC=2,AB=4,则·= .
【合作探究】
1.如图,在△ABC中,D是AB的中点,则( ).
A.=+
B.=-+
C.=--
D.=-
2.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( ).
A. B.
C.- D.-
3.在△ABC中,若=(+),则下列关系式正确的是( ).
A.BD=2CD
B.BD=CD
C.BD=3CD
D.CD=2BD
4.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底,则= ,= .
参考答案
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
课时1 平面向量基本定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能.依据是向量数乘和平行四边形法则.
2.不一定,当a与e1,e2共线时,向量a可以用e1,e2表示,否则不能用e1,e2表示.
3.不能,因为零向量与任何向量都是共线的.
4.能.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.D 【解析】D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确.
3.AC 【解析】基底中的向量不共线,故A,C正确.
4.3 【解析】∵e1,e2不共线,∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
合作探究·提素养
探究 情境设置
问题1:如图,a==+=λ1e1+λ2e2.
问题2:能,当向量a与e1共线时,a=λ1e1+0e2;当向量a与e2共线时,a=0e1+λ2e2.
问题3:能,a=0e1+0e2.
问题4:假设a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,因为e1,e2不共线,所以λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,即λ1=μ1,且λ2=μ2,所以λ1,λ2唯一.
新知生成
2.基底
新知运用
例1 ACD 【解析】选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,不能构成基底;
选项A,C,D中两向量均不共线,可以构成基底.
巩固训练 【解析】设存在实数λ,使c=λd,
则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,
因为向量a,b不共线,所以2-3λ=2λ-1=0,所以这样的λ是不存在的,
所以c,d不共线,故{c,d}能作为基底.
例2 【解析】因为CD∥AB,AB=2CD,E,F分别是CD,AB的中点,
所以==a,===b,
=+=+=×b-a=b-a.
变式探究 a+b 【解析】=++=-b+a+b=a-b,
所以=+=+=b+a-b=a+b.
巩固训练 a+b 2a+c 【解析】以{a,b}为基底时,=+=a+b;
以{a,c}为基底时,将平移,使点B与点A重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得=2a+c.
例3 (1)B (2)D 【解析】(1)因为=3,
所以=+=+=+(-+)=+.
又因为=a,=b,
所以=a+b.
故选B.
(2)由题意得,=λ+,且0≤λ≤1,
而=3=3(+),
所以3+3=λ+,
即=+,
由已知得则m+n=-.
故选D.
巩固训练 3 【解析】∵=2,∴=.
∵∥,
∴存在实数k,使得=k,
即-=k(-).
又∵=m+,
∴(m-1)+=k-,
∴解得
则·=·(-)=+·-=--·=-×4-×4×2cos =3.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】因为D是AB的中点,所以=,所以=+=+=-.
2.A 【解析】∵AM=1,且=2,∴||=,
∴·(+)=·2=·===.
3.B 【解析】由=(+)得2=+,
即-=-,即=,∴BD=CD.
4.e1+e2 e1+e2 【解析】=+=+
=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=+=+
=+(e2-e1)=e1+e2.6.3 课时2 平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(数学抽象)
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(数学运算)
【自主预习】
1.怎样分解一个向量才是正交分解
2.向量坐标与点的坐标之间的联系是什么
3.如何求两个向量和(差)的坐标
4.一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量的坐标是(0,0). ( )
(2)若两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( )
(3)当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
(4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化. ( )
2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ).
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是( ).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
4.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,且A(1,3),B(2,4),则x= .
【合作探究】
平面向量的正交分解及坐标表示
问题1:如图,分别用给定的一组基底表示同一向量a,你认为选取哪组基底对向量a进行分解比较简单
问题2:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么如何表示坐标平面内的一个向量呢
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相 的向量,叫作把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向 的两个 向量分别为i,j,取{i,j}作为 .对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知, 一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对 叫作向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标,a=(x,y)叫作向量a的坐标表示.
3.向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中,以原点O为起点作=a,则点A的位置由向量a唯一确定.设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是 的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.
特别提醒:(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e1和e2互相垂直.
(2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a=b x1=x2且y1=y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.
(4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
如图所示,若向量e1,e2是一组单位正交向量,且e1=(1,0),e2=(0,1),则向量2a+b在平面直角坐标系中的坐标为( ).
A.(3,4) B.(2,4)
C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4)
【方法总结】求点、向量的坐标的常用方法
(1)求点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于所求点的坐标.
(2)求向量的坐标:①先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标,即得该向量的坐标;②将所求向量用基向量表示,再根据平面直角坐标系,求向量的坐标.
如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.分别求点B,D的坐标和,的坐标.
平面向量的坐标运算
设i,j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题1:根据向量的线性运算性质,分别用基底{i,j}表示向量a+b,a-b.
问题2:向量加、减的坐标运算可以类比数的运算进行吗
1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.重要结论:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
一、平面向量加、减运算的坐标表示
已知点A(0,1),B(3,2),O为原点,向量=(-4,-3),则向量=( ).
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
【方法总结】平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则;
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.
在 ABCD中,AC为其一条对角线,若=(2,4),=(1,3),求的坐标.
二、向量坐标运算的应用
如图,已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标.
【方法总结】应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤
已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为( ).
A.(1,8) B.(-1,8)
C.(3,-2) D.(-3,2)
【合作探究】
1.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),那么可以表示为( ).
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.已知向量a=(2,1),b=(-3,4),则a+b=( ).
A.(6,-3) B.(8,-3)
C.(5,-1) D.(-1,5)
3.如图,已知O为平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,==2=2,则点B的坐标为 ;点C的坐标为 .
4.已知平面上三个点的坐标分别为A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点D的坐标,使得这四个点为平行四边形的四个顶点.
参考答案
课时2 平面向量的正交分解及加、减运算的
坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.正交分解就是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.
2.在平面直角坐标系中,以原点O为起点作=a,设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.
3.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
4.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.B 【解析】由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
3.C 【解析】=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).
4.1 【解析】∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),=a=(2x-1,x2+3x-3),
∴解得x=1.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:a用基底{e1,e2}表示为e1+2e2,用基底{m,n}表示为3m+n,选基底{m,n}对向量a进行分解较为简单.
问题2:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.
新知生成
1.垂直
2.相同 单位 基底 有且只有 (x,y)
3.终点A
新知运用
例1 A 【解析】2a=2e1+e2,b=e1+3e2,
则2a+b=3e1+4e2,又因为e1,e2为单位正交向量,且e1=(1,0),e2=(0,1),所以2a+b的坐标为(3,4).故选A.
巩固训练 【解析】由题意知,∠BOx=∠DOy=30°.
设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得x1=||cos 30°=,y1=||·sin 30°=,x2=-||sin 30°=-,y2=||cos 30°=,
所以B,,D-,,=,,=-,.
探究2 情境设置
问题1:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
问题2:向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行.
新知运用
例2 A 【解析】设C(x,y),则=-=(x,y-1)=(-4,-3),即x=-4,y=-2,故C(-4,-2),则=-=(-7,-4).
巩固训练 【解析】∵=+,∴=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),
∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
例3 【解析】(法一)设顶点D的坐标为(x,y).
因为=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),
又=,所以(1,2)=(3-x,4-y).
即解得
所以顶点D的坐标为(2,2).
(法二)如图,由向量加法的平行四边形法则可知=+=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2).
所以顶点D的坐标为(2,2).
巩固训练 B 【解析】设点B的坐标为(x,y),则=(x,y)-(-2,5)=(1,3),所以(x,y)=(1,3)+(-2,5)=(-1,8),即点B的坐标为(-1,8).
故选B.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】因为A(2,3),B(4,2),所以=(2,-1),所以=2i-j.
2.D 【解析】a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5).
3., , 【解析】
如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,过点B作BE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥BE,垂足为F.
根据题意可知A(2,0),∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°,
所以||=||cos 60°=,||=||sin 60°=,
所以OD=2+=,即B,.
又||=||cos 60°=1,||=||sin 60°=,
所以EF=-1=,点C的纵坐标为+=,
所以C,.
4.【解析】设点D的坐标为(x,y),
①当平行四边形为ABCD时,=,
∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),
即解得∴D(0,-1);
②当平行四边形为ABDC时,同理可得D(2,-3);
③当平行四边形为ADBC时,同理可得D(6,15).
综上所述,点D的坐标可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15).6.3 课时4 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示.(逻辑推理)
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算)
【自主预习】
1.用语言叙述平面向量数量积的坐标表示.
2.如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直关系
1.(原创)判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(m,0),则|a|=m. ( )
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2-y1y2=0.( )
(3)若a·b≠0,则a与b不垂直. ( )
(4)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则a·b=-2. ( )
2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)等于( ).
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( ).
A. B. C.2 D.10
4.已知向量=(4,0),=(2,2),则与的夹角的大小为 .
【合作探究】
平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示.
问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示
问题2:能否用a,b的坐标表示a·b 怎样表示
问题3:若a,b是非零向量,则a⊥b怎样用坐标表示呢 请用精练的语言总结.
问题4:怎样用坐标表示a∥b呢 请用精练的语言总结.
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
一、数量积的坐标运算
已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=( ).
A.10 B.-10 C.3 D.-3
【方法总结】在进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
(1)|a|2=a·a;
(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
(3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、平面向量的垂直问题
设向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),若m⊥n,则实数x的值为( ).
A.-1 B.1 C.2 D.3
【方法总结】用向量数量积的坐标表示解决垂直问题是把垂直条件代数化,方法更简捷,运算更直接,体现了向量问题代数化的思想.
(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( ).
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
平面向量的模和夹角
问题1:若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐标 |a|怎么用坐标表示
问题2:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角,则cos θ如何用坐标表示
问题3:已知非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么 与a垂直的单位向量的坐标是什么
1.向量模的公式
若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
2.两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
3.向量的夹角公式
设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==.
一、向量的模
已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1),求a-2b及其模的大小.
【方法总结】
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于( ).
A. B. C.5 D.25
二、向量的夹角
已知O是坐标原点,点A(-2,4),B(1,a),若∠ABO为钝角,则a的取值范围是( ).
A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【方法总结】利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,利用公式cos θ==(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系:
①若θ为直角,则充要条件为a⊥b,转化为a·b=0 x1x2+y1y2=0;
②若θ为锐角,则充要条件为a·b>0,且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同);
③若θ为钝角,则充要条件为a·b<0,且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反).,当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角.
已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.
【随堂检测】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ).
A.6 B.5 C.1 D.-6
2.若向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则实数m的取值范围是( ).
A.-1,∪,4
B.(-1,4)
C.-4,∪,1
D.(-4,1)
3.已知向量a,b满足|a|=5,b=(3,4),a·b=0,则|a-b|= .
4.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
参考答案
课时4 平面向量数量积的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.(1)若a=(x,y),则|a|=;
(2)设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==,
若a⊥b,则x1x2+y1y2=0.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.A 【解析】由题意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故选A.
3.B 【解析】由题意得a·b=x×1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2,
由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+b|=.
4.90° 【解析】因为=-=(2,2)-(4,0)=(-2,2),所以·=2×(-2)+2×2=0,所以⊥,即与的夹角为90°.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题2:能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
问题3:a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0,对应的坐标相乘之和为0.
问题4:a∥b(b≠0) x1y2-x2y1=0,坐标交叉相乘之差为0.
新知运用
例1 B 【解析】由题意得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
巩固训练 C 【解析】因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),
则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
例2 C 【解析】因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,
所以m·n=(2x-1)×1+3×(-1)=2x-1-3=0,解得x=2.
巩固训练 D 【解析】因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.
探究2 情境设置
问题1:a=(x2-x1,y2-y1),
|a|=.
问题2:cos θ==.
问题3:设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±=±,其中正号、负号分别表示与a同向、反向.
易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±,.
新知运用
例3 【解析】∵a=(3,5),b=(-2,1),
∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),
∴|a-2b|==.
巩固训练 C 【解析】∵a=(2,1),∴a2=5,
又|a+b|=5,
∴(a+b)2=50,
即a2+2a·b+b2=50,
∴5+2×10+b2=50,
∴b2=25,
∴|b|=5.
例4 C 【解析】由题意得,=(-3,4-a),=(-1,-a),
则·=(-3,4-a)·(-1,-a)=3-4a+a2<0,解得1
且与不共线,即3a+4-a≠0,解得a≠-2,
综上,a∈(1,3),故选C.
巩固训练 【解析】∵a=(1,-1),b=(λ,1),
∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1.
又∵a,b的夹角α为钝角,
∴即
解得λ<1且λ≠-1.
∴实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
随堂检测·精评价
1.A 【解析】由题意知2a+b=(3,0),则(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=6,故选A.
2.A 【解析】因为向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,所以a·b>0 m2-3m-4<0 -1综上可知,实数m的取值范围是-1,∪,4.
3.5 【解析】因为|a|=5,b=(3,4),所以b2=32+42=25,
又因为a·b=0,所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=25-2×0+25=50,
所以|a-b|=5.
4.【解析】(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
∴cos===.
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
解得λ=.