6.4 课时3 余弦定理
【学习目标】
1.会利用向量法推导余弦定理并掌握余弦定理的两种表示形式.(逻辑推理)
2.能利用余弦定理解决基本的解三角形问题.(数学运算)
3.能运用余弦定理解决有关三角形的等式证明及三角形的形状判断等问题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.用文字语言叙述余弦定理.
2.用符号语言叙述余弦定理.
(1)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一. ( )
(2)在△ABC中,随便给出三边一角中的三个,可求其余一个. ( )
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角. ( )
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角. ( )
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c= ( ).
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=( ).
A. B. C.2 D.3
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则cos C= .
【合作探究】
余弦定理
问题1:在初中数学学习中,判定三角形全等的方法有哪些
问题2:给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的吗 为什么 你能用数学知识解释一下吗
问题3:已知三角形ABC的两边a,b及它们的夹角C,如何求第三边c
问题4:余弦定理的适用范围、结构特征是什么
余弦定理
(1)公式表达:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(2)语言叙述:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=4,若D为BC边的中点,求AD的最大值.
【方法总结】余弦定理是由向量推导出来的,它是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中,边与角的一种数量关系.涉及中线的问题,既可以用余弦定理解决,也可以用向量解决.
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,c=2,则中线AD的长为( ).
A. B. C. D.
利用余弦定理解三角形
问题1:应用余弦定理,我们是否可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题 如何确定
问题2:已知三角形的三个角和三条边中的哪几个元素,我们可以利用余弦定理解这个三角形
1.余弦定理的推论:cos A=,cos B=,cos C=.
2.解三角形
一般地,三角形的 和它们的 叫作三角形的元素.
已知三角形的几个元素求 的过程叫作解三角形.
一、已知两边及一角解三角形
(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A,角C和边a.
【方法总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.
(原创)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,c=2.若tan B=-2,则b= .
二、已知三边解三角形
在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角的大小.
【方法总结】已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角.
在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求最小角的大小.
利用余弦定理判断三角形形状
问题1:在△ABC中,若c2=a2+b2,则C=成立吗 反之,若C=,则c2=a2+b2成立吗 为什么 (利用余弦定理说明)
问题2:在△ABC中,cos C>0,能判断这个三角形是锐角三角形吗
判断三角形形状的常用结论
(1)△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2.
(2)△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形 a2+b2
(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
【方法总结】利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题,一般有两条思路:
(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系;
(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【随堂检测】
1.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的大小为( ).
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A的大小为( ).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若>0,则△ABC( ).
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是直角三角形
4.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,B=120°,则a2+c2+ac-b2= .
参考答案
课时3 余弦定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
2.a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.D 【解析】由余弦定理得c
===7.
故选D.
3.D 【解析】由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去).故选D.
4. 【解析】∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.
又∵c2=a2+b2-2abcos C,∴2cos C=1,∴cos C=.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:在初中数学学习中,判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.
问题2:是唯一确定的.因为两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS),所以给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.
问题3:因为涉及三角形的两边长和它们的夹角,所以可以考虑用向量的数量积来求.c2=||2=(-)2=+-2·=a2+b2-2abcos C.
问题4:余弦定理对任意的三角形都成立.结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
新知运用
例1 【解析】(法一)如
图,设AD=x,∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ.
在△ABD中,由余弦定理,得c2=4+x2-4xcos θ. ①
在△ADC中,由余弦定理,得b2=4+x2-4xcos(π-θ)=4+x2+4xcos θ. ②
由①+②可得b2+c2=8+2x2.
在△ABC中,由余弦定理,得16=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc≥b2+c2-=(b2+c2)=4+x2,当且仅当b=c=4时,等号成立,解得0(法二)由题意可得,=(-)2=+-2·=||2+||2-||||,
所以||2+||2=16+||||. ③
因为=(+),所以4||2=||2+||2+||||, ④
由③+④得4||2=16+2||||,
由③得||2+||2=16+||||≥2||||,
则||||≤16,所以4||2≤16+2×16=48,
当且仅当||=||=4时,等号成立.
所以||≤2,即AD的最大值为2.
巩固训练 D 【解析】如
图,由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DBcos∠ADB, ①
AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC, ②
又cos∠ADB=-cos∠ADC,DB=DC=2,
所以由①+②得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2,即22+32=2DA2+22+22,得DA=.
故选D.
探究2 情境设置
问题1:可以,利用余弦定理先求角的余弦值,再确定角.
问题2:已知两边及一角或已知三边都可以利用余弦定理解这个三角形.
新知生成
2.三个角 对边 其他元素
新知运用
例2 【解析】(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3,所以a=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,
即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.
当a=3时,A=30°,C=120°;
当a=6时,由余弦定理得cos A==0,所以A=90°,又B=30°,所以C=60°.
巩固训练 【解析】因为tan B=-2,所以cos B=-,
所以b2=a2+c2-2accos B=()2+22-2××2×-=13,则b=.
例3 【解析】∵a>c>b,∴A为最大角.
由余弦定理的推论,
得cos A===-.
又∵0°巩固训练 【解析】易知a根据余弦定理的推论,得cos A===.
∵A∈(0°,180°),∴A=30°,∴最小角的大小为30°.
探究3 情境设置
问题1:都成立.因为c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,由余弦定理的推论,得cos C==0,所以C=.反之,若C=,则cos C=0,即=0,所以a2+b2-c2=0,所以c2=a2+b2.
问题2:不能,因为角A,B不一定是锐角.
新知运用
例4 【解析】由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理,
得a·+a·=b+c,
即+=b+c,
整理得(b+c)(a2-b2-c2)=0.
因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
巩固训练 直角 【解析】由余弦定理得c2=bc·+ac·+ab·,
整理得c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C,∴cos C=-,∴C=120°.
2.A 【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A=2b2(1-cos A),
∵a2=2b2(1-sin A),∴cos A=sin A,又cos A≠0,∴tan A=1.
∵A∈(0,π),∴A=.
故选A.
3.C 【解析】由>0得cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.
4.0 【解析】∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.6.4 课时1 平面几何中的向量方法
【学习目标】
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.(数学建模)
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.(逻辑推理)
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.(数学运算)
【自主预习】
1.如何用向量的方法判断两条直线平行或垂直
2.如何用向量的方法求两条直线的夹角
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若B是线段AC的中点,则有+=2. ( )
(2)若∥,则直线AB与CD平行. ( )
(3)若∥,则A,B,C三点共线. ( )
(4)若△ABC为直角三角形,则有·=0. ( )
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是( ).
A.2 B. C.3 D.
3.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC( ).
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
4.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则·= .
【合作探究】
平面向量在几何中的应用
如图所示,水渠横断面是四边形ABCD,=,且||=||.
问题1:如何判断这个四边形的形状
问题2:对于结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”,你有什么体会
问题3:把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗 这种关系可以推广到平行四边形吗
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 运算,研究几何元素之间的关系,解决距离、夹角等问题.
(3)把 “翻译”成几何关系.
一、利用向量解决平面几何中的垂直问题
如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【方法总结】判断两直线垂直的步骤:
(1)选用合适的基底或建立适当的坐标系;
(2)用基底或坐标表示出直线对应的向量;
(3)利用两直线对应向量的数量积为0即可判断两直线垂直.
已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
二、利用向量解决平面几何中的平行问题
如图所示,P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量证明:PQ∥AB.
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【方法总结】用向量方法解决平行问题的步骤:
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,0),B(7,3),C(4,4),D(2,3).
(1)求向量与夹角的余弦值;
(2)证明:四边形ABCD是等腰梯形.
三、利用向量解决平面几何中的长度、夹角问题
(原创)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F 分别是CD,AD的中点,BE,CF 交于点P.
(1)求BE与CF的夹角;
(2)求线段AP的长度.
【方法总结】建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、角度等问题转化为代数运算问题.
在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=,CN与BM交于点P,则cos∠BPN的值为( ).
A. B.- C.- D.
【随堂检测】
1.已知平面内四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为( ).
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
2.已知△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形状( ).
A.是钝角三角形 B.是直角三角形
C.是锐角三角形 D.不能确定
3.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,=(2,),则BD=( ).
A.1 B. C.2 D.3
4.已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2+=0.
(1)用,表示;
(2)若D是OB的中点,证明:四边形OCAD是梯形.
参考答案
6.4 平面向量的应用
课时1 平面几何中的向量方法
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在两条直线上分别任取两点,得到两个向量,若两个向量共线,则两条直线平行;若两个向量垂直,则两条直线垂直.
2.求上述两个向量的夹角,当该角为钝角时,取其补角;当该角为π时,则两条直线的夹角为0.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.B 【解析】由题意得BC的中点为D,6,=-,5,所以||=.
3.C 【解析】(+)·(-)=-=0,即||=||,∴CA=CB,则△ABC是等腰三角形.
4.1 【解析】由已知得A(1,0),C(0,1),所以=(0,1),=(-1,1),所以·=1.
合作探究·提素养
探究 情境设置
问题1:利用向量共线和向量模的定义,证明该四边形是等腰梯形.
问题2:可以用向量方法解决平面几何问题.
问题3:矩形两对角线的平方和等于四边的平方和.可以.
新知生成
(1)向量 向量 (2)向量 (3)运算结果
新知运用
例1 【解析】(法一)设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+,=+=b+,
所以·=b+·-a+=--a·b+=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
(法二)如图所示,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),则=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.
巩固训练 【解析】以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系(图略).
设AC=a,则C(0,0),A(a,0),B(0,a),D,E,所以=,=.
因为·=-a·+·=0,所以⊥,即AD⊥CE.
例2 【解析】(1)∵Q为BD的中点,∴+=2.
∵P为AC的中点,∴=2,
∴2=2-2=+-=++=+.
又向量与共线,∴=λ,
∴2=(1+λ),∴=. ①
在梯形ABCD中,||≠||,∴λ≠-1,∴∥,即PQ∥AB.
(2)∵向量与方向相反,AB=3CD,
∴=-3.
由(1)可知,λ=-,代入①式,得==,
∴PQ∶AB=1∶3.
巩固训练 【解析】(1)因为=(7,3)-(1,0)=(6,3),=(4,4)-(1,0)=(3,4),所以||=3,||=5,
所以cos<,>===.
(2)因为=(4,4)-(2,3)=(2,1),=(6,3),所以=3,所以AB∥CD,且||≠||.
又=(4,4)-(7,3)=(-3,1),=(2,3)-(1,0)=(1,3),
所以||=,||=,所以||=||.
综上,四边形ABCD是等腰梯形.
例3 【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,其中A为坐标原点.
∵AB=2,∴A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).
∵·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴⊥,即BE⊥CF,故BE与CF的夹角为90° .
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理,由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P,,
∴=2+2=4,∴||=2.
巩固训练 D 【解析】
如图,以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),
得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN===.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】由条件知+=+,则-=-,即=,∴四边形ABCD为平行四边形.
2.A 【解析】由条件知∠BAC为钝角,故△ABC为钝角三角形.
3.B 【解析】由题意得||=,由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和,得BD2+AC2=2(AB2+AD2),∴BD2+()2=2×(22+12)=10,∴BD=.
4.【解析】(1)因为2+=0,
所以2(-)+(-)=0,
即2-2+-=0,
所以=2-.
(2)如图,=+=-+=(2-).
故=,即DA∥OC,且DA≠OC,故四边形OCAD是梯形.6.4 课时4 正弦定理
【学习目标】
1.掌握正弦定理的内容及证明方法.(数学抽象、逻辑推理)
2.能利用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题,会判断三角形的形状.(数学运算)
3.能根据正弦定理及题目条件,判断三角形解的个数.(逻辑推理)
【自主预习】
1.正弦定理的内容是什么
2.△ABC外接圆的半径和△ABC的边角之间是什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立. ( )
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B总能成立. ( )
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B. ( )
(4)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. ( )
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则sin B=( ).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,AB=1,AC=,C=,则B=( ).
A. B.或 C. D.或
4.已知△ABC的外接圆半径为2,A=60°,则BC边的长为 .
【合作探究】
正弦定理
如图,在Rt△ABC中,A=30°,斜边c=2.
问题1:试求△ABC其他的边和角,计算,,的值,从中你能发现什么结论吗
问题2:对于其他的直角三角形,问题1中得出的结论是否成立呢 是否能够猜测,问题1中得出的结论对于其他的锐角或钝角三角形都成立呢
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即= = .结论:正弦定理中的比值为定值,即= .
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,证明:===2R(R为△ABC外接圆的半径).
【方法总结】通常利用同一圆中,同弧所对的圆周角相等或圆内接四边形对角之和为180°,以及解直角三角形证明正弦定理.
在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,利用向量法证明:=.
正弦定理的应用
正弦定理的常见变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
一、已知两角及任意一边解三角形
在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,解这个三角形.
【方法总结】1.正弦定理实际上是=,=,=三个等式,每个等式涉及四个元素,所以只要知道每个等式中的三个元素就可以求另外一个.
2.因为三角形的内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角.
在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解这个三角形.
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
【变式探究】若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值
【方法总结】已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角时,可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不一定能被唯一确定.
从几何角度分析,具体情况如下:
图形 关系式 解的 个数
A为 锐角 ①a=bsin A; ②a≥b 一个
bsin AaA为 钝角 或直 角 a>b 一个
a≤b 无解
在△ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有唯一解的是( ).
A.a=25,b=30,A=150°
B.a=7,b=5,A=80°
C.a=30,b=40,A=30°
D.a=14,b=16,A=45°
三、三角形形状的判断
在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:△ABC为等腰直角三角形.
【方法总结】利用正弦定理判断三角形形状的方法
1.化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
2.化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
在△ABC中,已知2sin Acos B=sin C,那么△ABC一定是( ).
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
【随堂检测】
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列各式正确的是( ).
A.=
B.=
C.asin B=bsin A
D.=
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于( ).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上答案都不对
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°.若利用正弦定理解△ABC仅有唯一解,则a的取值范围是 .
参考答案
课时4 正弦定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==.
2.===2R(R为△ABC外接圆的半径).
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.A 【解析】由=,得=,解得sin B=.故选A.
3.D 【解析】由正弦定理得=,∴=,解得sin B=,∴B=或B=.
4.2 【解析】因为=2R(R为△ABC的外接圆半径),所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:B=60°,C=90°,a=1,b=;=2,=2,=2,三者的值相等.
问题2:
对于其他的直角三角形,问题1中得出的结论成立.如图,在Rt△ABC中,sin A=,sin B=,
∴=c,=c.
∵sin C=1,∴==.
可以猜测,问题1中得出的结论对于其他的锐角或钝角三角形都成立.
新知生成
2R(R为△ABC外接圆的半径)
新知运用
例1 【解析】设☉O是△ABC的外接圆,直径BD=2R.
如图1,当A为锐角时,连接CD,则∠BCD=90°,a=2Rsin D.又因为∠D=∠A,所以a=2Rsin A.
如图2,当A为钝角时,连接CD,则∠BCD=90°,a=2Rsin D.
因为A+D=180°,所以sin D=sin(180°-A)=sin A,所以a=2Rsin A.当A为直角时,显然有a=2Rsin A.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有a=2Rsin A.
同理可证b=2Rsin B,c=2Rsin C,
所以===2R.
巩固训练 【解析】由
条件可知,角A,B都是锐角,如图所示,过点A作与AB垂直的单位向量j,则j与的夹角为-A,j与的夹角为-B,
因为+=,所以j·(+)=j·,即j·+j·=j·,
所以|j|||cos +|j|||cos-B=|j|||·cos-A,所以asin B=bsin A,即=.
探究2
新知运用
例2 【解析】根据正弦定理,得b===10.
又C=180°-(30°+60°)=90°,
∴c==20.
巩固训练 【解析】因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
由正弦定理,得==,
解得a==4,c==2+2.
例3 【解析】∵=,
∴sin C===.
∵0°当C=60°时,B=75°,b===+1;
当C=120°时,B=15°,b===-1.
∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
变式探究 【解析】∵=,∴sin A===.
∵c=>2=a,∴C>A.
∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,∴这样的角A只有一个.
巩固训练 B 【解析】对于A,由=,得sin B=>,而0°对于B,由=,得sin B=对于C,由=,得sin B=∈,1,而30°对于D,由=,得sin B=∈,1,而45°故选B.
例4 【解析】∵=,∴=,
又∵=,∴=,∴a2=b2,即a=b.
设===k(k≠0),
则sin A=,sin B=,sin C=,
又∵sin2A+sin2B=sin2C,
∴+=,即a2+b2=c2,
∴△ABC为等腰直角三角形.
巩固训练 B 【解析】(法一:利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理知,2sin Acos B=sin C可化为2a·=c,即a2+c2-b2=c2,即a2=b2,故a=b,所以△ABC是等腰三角形.
(法二:利用角的关系进行判断)因为在△ABC中,A+B+C=π,
即C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B).
由2sin Acos B=sin C=sin(A+B),
得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0.
因为-π所以△ABC是等腰三角形.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】在△ABC中,由正弦定理,得==,
∴asin B=bsin A,==,故A,B,D错误,C正确.
2.C 【解析】∵sin B===,∴B=45°或B=135°.但当B=135°时,A+B>180°,不符合题意,∴B=45°.
3.B 【解析】由正弦定理和a=bsin A,得sin A=sin B·sin A,所以sin B=1,所以B=,所以△ABC一定是直角三角形.
4.(0,2]∪{2} 【解析】由正弦定理得==2,所以a=2sin A,
因为B=45°,所以A+C=180°-45°=135°,
因为△ABC仅有唯一解,所以A,C的值确定.
当A≤45°时,C≥90°,△ABC仅有唯一解,此时0当A=90°时,C=45°,△ABC仅有唯一解,此时a=2;
当45°综上,a的取值范围是(0,2]∪{2}.6.4 课时5 三角形中的几何计算
【学习目标】
1.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(逻辑推理)
2.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.(数学运算)
【自主预习】
1.初中学过的计算三角形面积的公式有哪些
2.解三角形时,正弦定理和余弦定理分别能解哪些类型的题目
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形. ( )
(2)已知三角形的两边及其夹角不能求出其面积. ( )
(3)已知三角形的两角及一边不能求出它的面积. ( )
(4)在△ABC中,A=30°,a=2,b=2,则B=60°. ( )
2.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于( ).
A.6 B.12 C.6 D.12
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,c=2,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为( ).
A. B.2 C.2 D.4
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b-c,sin B=2sin C,则cos A的值为 .
【合作探究】
三角形的面积公式
问题1:如何用三角形的边和角的正弦值表示三角形的面积
问题2:如何用△ABC外接圆的半径R表示△ABC的面积
在△ABC中,a,b,c是△ABC的内角A,B,C所对的边,则△ABC面积的计算公式有:
(1)S△ABC=×底×高;
(2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A;
(3)S△ABC=(a+b+c)r(r是△ABC内切圆的半径);
(4)S△ABC=(R是△ABC外接圆的半径).
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bsin A=a.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,且a=2c,b=2,求△ABC的面积.
【方法总结】对于计算三角形面积的问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:(1)若所求图形为多边形,则可通过作辅助线或其他途径构造三角形,将问题转化为求三角形的面积;(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出其中的两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a=c,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)若c=6,求△ABC的面积.
三角形中的几何计算问题
问题1:你能用坐标法证明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B吗
问题2:应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件并简化运算是解题的要点,应用正弦定理、余弦定理,通过解三角形,能很快解决一般问题.
(2)突破此类问题的关键是发现图形中较隐蔽的几何条件.
如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.
(1)若∠ADC=,求AD的长;
(2)若BD=2DC=4,求的值.
【方法总结】解题时,正弦定理和余弦定理经常结合起来应用.在边角互化过程中,注意正弦定理和余弦定理的变形使用,如=等.
已知在△ABC中,D是边BC上一点,AD=,∠ADC=,∠ACD=.
(1)求AC的长;
(2)若AB=,求△ABC的面积.
【随堂检测】
1.(改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,B=,△ABC的面积为,则b=( ).
A. B.1 C. D.2
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=2,sin A=2sin C,cos B=,则△ABC的面积为( ).
A. B.2
C.1 D.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=1,C=120°.
(1)求角B的大小;
(2)求△ABC的面积S.
参考答案
课时5 三角形中的几何计算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.S=×底×高,S=(a+b+c)r(其中,a,b,c是△ABC的各边长,r是△ABC内切圆的半径).
2.正弦定理:①已知两角和一边,②已知两边和其中一边的对角.
余弦定理:①已知两边及其夹角,②已知两边及一边的对角,③已知三边.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.C 【解析】=bcsin A=×3×8×sin =6.故选C.
3.B 【解析】由正弦定理,得b=2c=4.
由面积公式得S△ABC=bcsin A=×4×2×=2.
4. 【解析】由sin B=2sin C以及正弦定理,得b=2c.
又因为a=2b-c=3c,所以a=c.
由余弦定理的推论,得cos A===.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积公式S△ABC=ah(h为a边上的高)中的高h=bsin C,所以S△ABC=absin C,同理S△ABC=bcsin A=acsin B.
问题2:由正弦定理,得=2R,所以sin C=,所以S△ABC=(其中a,b,c是△ABC的各边长,R是△ABC外接圆的半径).
新知运用
例1 【解析】(1)由正弦定理=,得bsin A=asin B.又bsin A=a,∴sin B=,又B为△ABC的一个内角,
∴B∈(0,π),∴B=或B=.
(2)∵△ABC为锐角三角形,∴B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
∴24=4c2+c2-2c2,解得c=2或c=-2(舍去),
∴a=2c=4,
∴S△ABC=acsin B=×4×2×=4.
巩固训练 【解析】(1)在△ABC中,∵cos C=>0,∴C∈0,,则sin C==.
∵3a=c,∴=,∴由正弦定理=,
可得sin A==×=.
(2)∵3a=c,∴a=c由(1)知sin A=,∴cos A=,
∴sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
∵c=6,
∴a=×6=2,
∴S△ABC=acsin B=×2×6×=12.
探究2 情境设置
问题1:
能.假设已知a,b,C,如图,以△ABC的顶点C为原点,射线CB的方向为x轴正方向,过点C作BC的垂线,以垂线所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则顶点A的坐标为(bcos C,bsin C).
过点A作BC边上的高AE,则根据三角函数的定义可得AE=bsin C,所以S△ABC=BC·AE=absin C.
同理可得S△ABC=bcsin A,S△ABC=acsin B.
故S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
问题2:(1)在△ABC中,A+B+C=π sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;=- sin =cos .
(2)若△ABC为锐角三角形,则A+B>,A+C>,B+C> A>-B sin A>cos B,cos A新知运用
例2 【解析】(1)∵cos B=,∴B为锐角,∴sin B==.
∵∠ADC=,∴∠ADB=.
在△ABD中,由正弦定理得=,即=,解得AD=.
(2)∵BD=2DC=4,
∴DC=2,BC=BD+DC=6.
在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=4+36-2×2×6×=32,∴AC=4.
在△ABD中,由正弦定理,得=.
故sin∠BAD=2sin∠ADB.
在△ACD中,由正弦定理得=,
故sin∠CAD=sin∠ADC.
∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,
∴==4.
巩固训练 【解析】(1)∵∠ADC=,∠ACD=,AD=,
∴在△ADC中,=,
即=,
∴AC=.
(2)在△ABC中,AB=AC=,∠ACD=,
∴△ABC为等腰直角三角形,
故△ABC的面积为AB·AC=××=.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】∵a=2,B=,△ABC的面积为,
∴=acsin B=×2×c×,解得c=1,
∴由余弦定理可得b===.
故选C.
2.A 【解析】∵c=2,sin A=2sin C,∴由正弦定理可得a=2c=4,又cos B=,∴sin B==,
∴S△ABC=acsin B=×4×2×=.
3.【解析】(1)由正弦定理=,得sin B===.
因为b(2)因为A+B+C=180°,
所以A=180°-120°-30°=30°,
所以S△ABC=bcsin A=×1××=.6.4 课时2 向量在物理中的应用举例
【学习目标】
1.掌握用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题.(数学抽象)
2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.(数学运算)
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.(数学建模)
【自主预习】
1.物理中有哪些量是向量
2.当力和位移的夹角为钝角时,力所做的功是正功还是负功
3.向量的数量积与功有什么联系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)功是力F与位移s的数量积. ( )
(2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算. ( )
(3)当力和位移垂直时,力所做的功是0. ( )
(4)人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为v1+v2. ( )
2.如果一架飞机向东飞行200 km,再向南飞行300 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么( ).
A.s>|a| B.s<|a|
C.s=|a| D.s与|a|不能比大小
3.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W= J.
【合作探究】
向量在物理中的应用
这是小明的叔叔在拉单杠时的图片.
问题1:小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么
问题2:向量加法的平行四边形法则、三角形法则,向量的数量积的物理模型分别是什么
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有 等.
(2)向量的加、减法运算体现在 .
(3)动量mv是向量的 运算.
(4)功是 与 的数量积.
一、向量的线性运算在物理中的应用
如图,把一个物体放在倾角为30°的斜面上,物体受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2,且处于平衡状态.已知|G|=100 N,求F1,F2的大小.
帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,已知一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东方向,流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度大小与方向.
【方法总结】利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算;第二种是通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,进行代数运算.
(多选题)在水流速度为自西向东10 km/h的河中,如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则关于船出发时行驶速度的方向和大小,下列说法正确的是( ).
A.方向为北偏西30° B.方向为北偏西60°
C.大小为20 km/h D.大小为30 km/h
二、向量的数量积在物理中的应用
已知力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).求:
(1)力F1,F2分别对质点所做的功(单位:J);
(2)力F1,F2的合力F对质点所做的功(单位:J).
【方法总结】物理上力对物体所做的功实质上就是力与位移两个矢量的数量积.
冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运动中,冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以冰球杆击球,球入对方球门多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-1)移动到点B(1,-1),则F对冰球所做的功为( ).
A.-18 B.18 C.-12 D.12
【随堂检测】
1.已知平面内有作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是( ).
A B
C D
2.一只鹰正从与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上的影子的速度大小为60 m/s,则鹰的飞行速度大小为( ).
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
3.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同时作用于某物体上一点,为使该物体保持平衡,再加上一个力F4,则F4=( ).
A.(-2,-2) B.(2,-2)
C.(-1,2) D.(-2,2)
4.已知河的宽为0.8 km,一条船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速的大小为20 km/h,水流速度的大小为12 km/h,则该船到达B处所需的时间为 min.
参考答案
课时2 向量在物理中的应用举例
自主预习·悟新知
预学忆思
1.物理中有许多量是向量,比如力、速度、加速度、位移等.
2.负功.
3.物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向量的数量积.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.A 【解析】由题意知s=200+300=500(km),|a|==100(km),∴s>|a|.故选A.
3.D 【解析】作=F1,=F2,=-G(图略),
则=+,
当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,
所以∠AOC=60°,从而∠AOB=θ=120°.
4.300 【解析】W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
合作探究·提素养
探究 情境设置
问题1:如
图,可知θ∈[0,π),F=-G,|F|=|F1|cos ,则|F1|=,因为|G|是定值,∈,所以|F1|是θ的增函数,故两臂的夹角越大,拉起来越费力.
问题2:向量加法的平行四边形法则的物理模型是力(或速度)的合成;向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成;向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功.
新知生成
(1)力、速度、加速度、位移 (2)力、速度、加速度、位移等的合成与分解 (3)数乘 (4)力F 物体所产生的位移s
新知运用
例1 【解析】以
O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则F1=(-,0),F2=(0,-).
由已知得G=(100sin 30°,100cos 30°)=(50,50),
且G+F1+F2=0,所以(50,50)+(-|F1|,0)+(0,-|F2|)=(0,0),
所以=50 N,=50 N.
例2 【解析】建
立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度大小为|v1|=20 km/h,水流的方向为正东方向,速度大小为|v2|=20 km/h.
设帆船行驶的速度为v,
则v=v1+v2.
由题意,可得v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10),v2=(20,0),
则v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),
所以帆船行驶的速度大小|v|==20(km/h).
因为tan α==(α为v和v2的夹角,且为锐角),
所以α=30°,
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度大小为20 km/h.
巩固训练 AC 【解析】
如图,设船从O点出发,沿OC方向行驶,才能垂直到达河的对岸,由题意知||=10,||=10,∠AOB=90°,则||==20.
因为cos∠BOC==,所以∠BOC=30°,即船出发时行驶速度的大小为20 km/h,方向为北偏西30°.故选AC.
例3 【解析】(1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J),
∴力F1,F2对质点所做的功分别为-99 J和-3 J.
(2)W=F·=(F1+F2)·=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J),
∴合力F对质点所做的功为-102 J.
巩固训练 D 【解析】因为A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0).又F=(6,24),所以力F对冰球所做的功W=F·=(6,24)·(2,0)=12.
故选D.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3的方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.
故选D.
2.B 【解析】
如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度,=v2表示鹰的飞行速度,
由题意知,||=|v1|=60 m/s,且∠CAB=30°,
所以||=|v2|==40(m/s).
3.D 【解析】因为F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3),
所以F1+F2+F3=(-2,-1)+(-3,2)+(7,-3)=(2,-2),要想使该物体保持平衡,
只需F4 =-(2,-2)=(-2,2),故选D.
4.3 【解析】如图,∵v实际=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,
∴|v实际|===16(km/h).
∴所需时间t==0.05(h)=3(min),
∴该船到达B处所需的时间为3 min.6.4 课时6 余弦定理、正弦定理应用举例
【学习目标】
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.(数学抽象)
2.提高提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.(数学运算)
【自主预习】
1.在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何表达位置和航向的.
2.方位角与方向角是如何定义的
3.仰角和俯角是如何定义的
4.如何不登月测量地月之间的大致距离
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角. ( )
(2)两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解. ( )
(3)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. ( )
(4)高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决. ( )
2.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点之间的距离为( ).
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
3.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为( ).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
4.一船以15 km/h的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为 km.
【合作探究】
测量距离问题
问题1:如图所示,A,B两点在河的两岸,在点A的一侧,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
问题2:如图所示,A,B两点都在河的对岸(不可到达),结合图形,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
1.基线的概念与选择原则
(1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的 叫作基线.
(2)性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的 ,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越 .
2.测量不可到达的两点间的距离,若其中一点可以到达,则利用一个三角形即可解决,一般用正弦定理;若两点均不可到达,则需用3个三角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到.
如图,海岸上建有相距40海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后,调配附近的A船紧急前往救援,雷达站测得的角度数据为α=∠BCA=45°,β=∠ACD=30°,γ=∠BDC=45°,δ=∠ADB=75°.
(1)A船出发时,A船与雷达站C的距离为多少
(2)若A船以30海里/时的速度前往救援B船,则A船能否在3小时内赶到
【方法总结】测量距离的基本类型及方案
类型 图形 方案
不可通或不可视的两点间的距离 先测角C,AC=b,BC=a,再用余弦定理求AB
两点可视,其中一点不可到达的两点间的距离 先测角B,C,BC=a,再用正弦定理求AB
两个不可到达的点之间的距离 测得CD=a,∠BCD,∠BDC,∠ACD,∠ADC的度数,在△ACD中用正弦定理求AC;在△BCD中用正弦定理求BC;在△ABC中用余弦定理求AB
海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=35 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为 m.
测量高度问题
问题:小明要测量底部不能到达的某电视塔的高度.如图,他选定了离地面高度为15 m的一个地点A处,他测得电视塔底B点的俯角为30°,塔顶C点的仰角为62°.由此估测该电视塔的高为多少 (参考数据:sin 62°≈0.88,sin 28°≈0.47,sin 92°≈1,精确到0.1 m)
1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 ,目标视线在水平视线下方时叫 (如图所示).
2.视角:从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的 ,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.
一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿A向北偏东30°方向前进100 m到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( ).
A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
【方法总结】此类问题的特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题
某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶B的仰角为65°,则山的高度约为 m.(精确到1 m,参考数据:≈1.414,sin 35°≈0.574)
测量角度问题
请结合下图,探究下面的问题.
问题:你能用方向角表述图中的角吗
1.方向角
从指定方向线到 方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图1所示).
2.方位角
从正北方向 转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图2所示).
方位角的取值范围: .
甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,则甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇
【方法总结】运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形).
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型.
(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解.
(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
一艘海轮从A处出发, 以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔, 在A处观察灯塔, 其方向是东偏南20°, 在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( ).
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
【随堂检测】
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为( ).
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
2.甲、乙两人(身高忽略不计)在同一地平面上的不同方向观测一根20 m高的旗杆,甲观测旗杆顶端的仰角为50°,乙观测旗杆顶端的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有( ).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°,小高层底部的俯角为45°,那么这栋小高层的高度为 m.
4.如图所示,小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测到B岛屿在C处的正北方向,A岛屿在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 海里.
参考答案
课时6 余弦定理、正弦定理应用举例
自主预习·悟新知
预学忆思
1.用方向角和方位角.
2.(1)方
位角:从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围为0°~360°.
(2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
3.
仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时,视线与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时,视线与水平线的夹角
4.可以在地球上选两点,与月亮(看成一点)构成三角形,测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角,通过解三角形求得地月之间的大致距离.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.A 【解析】在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°,
由=,得AB=100×=50(m).
3.B 【解析】由题图可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC===30(m).
4.30 【解析】如图所示,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,∠BCA=105°,∴∠B=45°.
在△ABC中,=,
∴BC=30 km.
故船与灯塔的距离为30 km.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:测量者在点A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离,∠BAC的大小,∠ACB的大小三个量.
问题2:结合图形,只要测出CD的长,∠BCD的大小,∠BDC的大小,就可以计算出BC的长,同理可以计算出AC的长,再算出AB的长.故只需测量出图中CD的长,角α,β,γ,δ的大小.
新知生成
1.(1)线段 (2)基线长度 高
新知运用
例1 【解析】(1)在△ADC中,因为∠ACD=30°,∠BDC=45°,∠ADB=75°,所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°,∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°,
又DC=40海里,所以由正弦定理可得=,即=,解得AC=120海里,所以A船与雷达站C的距离为120海里.
(2)在△BDC中,根据正弦定理可得=,即=,解得BC=40海里.
在△ABC中,由余弦定理可得AB2=1202+(40)2-2×120×40cos 45°=8 000,解得AB=40海里,因为A船以30海里/时的速度前往救援B船,而=<3,所以A船能在3小时内赶到.
巩固训练 35 【解析】因为∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,所以∠ADC=150°,∠DAC=∠DCA=15°,所以AD=CD=35 m,
又因为∠ACB=120°,所以∠BCD=135°,∠CBD=30°.
在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得BD=35 m.
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,
所以AB2=352+(35)2-2×35×35×-,解得AB=35 m.
探究2 情境设置
问题:过A作BC的垂线,垂足为D,
则∠DAB=30°,∠DAC=62°,BD=15 m,AB===30(m),
所以BC=·sin∠CAB=·sin 92°≈63.8(m),故电视塔的高约为63.8 m.
新知生成
1.仰角 俯角
2.夹角
新知运用
例2 A 【解析】
如图,设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,∠A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×h×100×cos 60°,即h2+50h-5000=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50 m.
巩固训练 812 【解析】如图,过点D作DE∥AC交BC于点E,
因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,
于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.
在△ABD中,由正弦定理,得
AB===1 000(m).
在Rt△ABC中,BC=ABsin 35°≈812(m).
所以山的高度约为812 m.
探究3 情境设置
问题:情境图中AB的方向角是北偏东75°,BC的方向角是北偏东32°.
新知生成
1.目标
2.顺时针 0°~360°
新知运用
例3 【解析】如图所示.
设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,BC=at,AC=at,∠B=180°-60°=120°.由=得sin∠CAB====.
∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°.
∴甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇.
巩固训练 A 【解析】依题意,如图,在△ABC中,
∠BAC=50°-20°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,则∠ACB=45°,AB=40×=20(海里).
由正弦定理得=,即 =,
因此BC==10(海里),
所以B,C两点间的距离是 10海里.
故选A.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】由题意知∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°.由正弦定理得=,即AB===4(m).
2.B 【解析】如图,d1=,d2=,因为tan 50°>1>tan 40°,所以d120 m,故选B.
3.20(1+) 【解析】如
图,设AB为阳台的高度,CD为小高层的高度,AE为水平线.由题意知AB=20 m,∠DAE=45°,∠CAE=60°,故AE=DE=AB=20 m,CE=AE·tan 60°=20(m),所以CD=20(1+)m.
4.10 【解析】在△ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°.
由正弦定理得=,
则AC==
=10(+1)(海里).
在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20海里.
由余弦定理得AB=
==10(海里).