7.2 课时2 复数的乘、除运算
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的乘法与除法运算,并会简单应用.(数学抽象)
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,掌握虚数单位“i”的幂值的周期性,并能应用周期性进行化简与计算.(数学运算、逻辑推理)
3.掌握共轭复数的运算性质,并能运用其解决实系数一元二次方程在复数范围内的解集问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.复数的加、减运算类似于多项式的加、减运算,复数相乘是否类似于多项式相乘
2.复数的乘法法则是什么
3.复数a+bi(a,b∈R)的共轭复数如何表示 这两个复数之积是实数还是虚数
4.复数的除法是乘法的逆运算吗
5.(1) i2= ;i3= ;i4= .
(2)in的值会按周期出现吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,再加减. ( )
(2)两个共轭复数的和与积都是实数. ( )
(3)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( )
2.复数(1+i)2(2+3i)的值为( ).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.1+i+i2+i3+…+i2 025= .
【合作探究】
复数的乘法运算法则
问题1:“计算(1-2i)(3+4i)”需要知道哪几个问题
问题2:你能计算(1-2i)(3+4i)吗 是如何计算的
问题3:复数的乘法与多项式的乘法有何不同
问题4:|z|2=z2,正确吗
1.复数乘法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
计算下列各题:
(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
【方法总结】(1)两个复数代数形式的乘法运算步骤
①按多项式的乘法展开;
②将i2换成-1;
③进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a±bi)2=a2-b2±2abi(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=( ).
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
复数的除法运算法则
类比根式除法的分母有理化,比如=,探究复数的除法法则.
问题1:类比上述根式运算,你能写出复数的除法法则吗
问题2:复数除法的实质是分母实数化,即把分子和分母同乘一个什么样的数
复数除法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0,且a,b,c,d∈R),
则==+i.
(1)实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化相类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.
知识拓展:虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方,i有如下性质:
i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1(n∈N*).
特别提醒:①上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4.
②n可推广到整数集.
③4k(k∈Z)是i的周期.
④与i有关的几个结论:
(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i.
(1)已知z=,则z在复平面内对应的点的坐标为( ).
A.-,1 B.,1
C.,-1 D.1,
(2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=( ).
A.-i B.i C.0 D.1
【方法总结】(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①将除式写为分式;
②将分子、分母同乘分母的共轭复数;
③将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
(2)常用公式
①=-i;②=i;③=-i.
(1)设复数z满足=i,则|z|=( ).
A.1 B. C. D.2
(2)计算:①;②.
复数运算的综合问题
问题1:若z=,则z是什么数 这个性质有什么作用
问题2:若z≠0且z+=0,则z是什么数 这个性质有什么作用
问题3:三个实数|z|,||,z·具有怎样的关系
问题4:在复数范围内,如何求方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0,Δ<0)的根
1.i的乘方具有周期性
i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i,=i,=-i.
3.复数的模与共轭复数的关系:z·=|z|2=||2.
4.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
(改编)已知x=1+i是方程x2+bx-ci6=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是不是此方程的根.
【方法总结】(1)当题目中含比较复杂的复数运算时,可先按复数的四则运算法则进行运算,注意复数的周期性的应用;(2)当涉及实系数一元二次方程根的问题时,注意虚根会成对出现.
已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求实数p,q的值.
【随堂检测】
1.(2023年新高考全国Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.复数=( ).
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
3.在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知3i-2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
参考答案
课时2 复数的乘、除运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.是.
2.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
3.复数a+bi的共轭复数可表示为a-bi,因为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,所以两个共轭复数之积为实数.
4.是.
5.(1)-1;-i;1.
(2)会按周期出现,且最小正周期是4.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.D 【解析】(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故选D.
3.B 【解析】+(1+i)2=i++1-3+2i=-++2i,对应点的坐标为-,+2,该点位于第二象限.
4.1+i 【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0,
所以1+i+i2+i3+…+i2 025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+i2 025=1+i506×4+1=1+i.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:(1)实数与纯虚数如何相乘;(2)纯虚数与纯虚数如何相乘;(3)复数的四则运算法则.
问题2:能,类比多项式乘多项式.
问题3:复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
问题4:不正确.例如,|i|2=1,而i2=-1.
新知运用
例1 【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i
=53+23i.
巩固训练 D 【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
探究2 情境设置
问题1:能,==+i(c+di≠0,且a,b,c,d∈R).
问题2:进行复数的除法运算时,分子、分母同乘分母的共轭复数.
新知运用
例2 (1)B (2)A 【解析】(1)由题意得z====+i,
所以z在复平面内对应的点的坐标为,1.
故选B.
(2)因为z====-i,所以z-=-i.故选A.
巩固训练 (1)A 【解析】(1)由=i,得1+z=i(1-z)=i-zi,
则z====i,
故|z|=1.
(2)①===1-i.
②===-1-3i.
探究3 情境设置
问题1:z= z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数.
问题2:若z≠0且z+=0,则z为纯虚数,利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数.
问题3:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
所以|z|=,||==,
z·=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2,
所以|z|2=||2=z·.
问题4:该方程可化为x2+x+=0,配方得x+2=-==,
所以x=-±i=-±i.
新知运用
例3 【解析】(1)方程x2+bx-ci6=0,即x2+bx+c=0,
因为1+i是方程x2+bx+c=0的一个根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,
所以解得
(2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程,则x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,
显然方程成立,所以x=1-i也是此方程的根.
巩固训练 【解析】由根与系数的关系可得
即
因为p,q均为实数,所以
解得从而有
随堂检测·精评价
1.A 【解析】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,
所以所求复数对应点的坐标为(6,8),该点位于第一象限.
故选A.
2.A 【解析】===1+i.
3.D 【解析】z===1+i,其共轭复数为1-i,对应的点的坐标为(1,-1),该点位于第四象限.
4.【解析】∵3i-2是方程2x2+px+q=0的一个根,
∴-3i-2是该方程的另一个根,
∴解得7.2 课时1 复数的加、减运算及几何意义
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的加、减法运算法则,能熟练地运用复数的加、减法运算法则进行复数的运算.(数学运算)
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义,能解决相关的问题.(直观想象)
【自主预习】
1.多项式的加、减运算实质是合并同类项,类比思考:复数z1=1+2i与z2=3+i如何加减
2.两个实数之和仍是一个实数,两个复数之和仍是一个复数,那么两个虚数之和仍是一个虚数吗
3.复数的加法满足交换律和结合律吗
4.怎样作出与复数z1-z2对应的向量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数. ( )
(2)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部. ( )
(3)复数与复数相加减得到的结果只能是实数. ( )
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形. ( )
2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=( ).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
3.在复平面内,向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是( ).
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
4.复数z1=a+4i,z2=3+bi(a,b∈R),若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则= .
【合作探究】
复数的加、减运算
随着生产发展的需要,我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能,复数不同于实数,它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体.
问题1:复数如何进行加、减运算呢
问题2:类比多项式的加、减运算,想一想复数又如何进行加、减运算
问题3:两个复数的和或差得到的结果是什么
问题4:复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形吗
1.复数加、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.复数的加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
(1)交换律:z1+z2=z2+z1.
(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加,虚部与虚部相加.复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.
(1)计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
(2)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2.
【方法总结】解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减).
计算:(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R).
已知复数z满足|z|+z=1+3i,则z= .
复数加法、减法的几何意义
我们知道向量加、减运算的几何意义是三角形法则、平行四边形法则.你能说出复数加、减的几何意义吗
问题1:类比绝对值|x-x0|的几何意义,|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么
问题2:复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗
如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.
如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别是0,3+2i,-2+4i.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数;
(3)对应的复数.
【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的;
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
已知在平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数.
复数模的最值问题
问题1:在复平面内,满足|z|=1的所有复数z对应的点组成什么图形
问题2:在复平面内,若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点组成什么图形
1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示的是复平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离,它是实数的绝对值概念的扩充,因此有|z|≥0,并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
2.两个复数的差的模就是复平面内这两个复数对应的两点之间的距离.设复平面内任意两点A,B所对应的复数分别为z1,z2,则|z1-z2|=|AB|.运用这个性质,可以通过数形结合的方法解决有关问题.
若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【方法总结】|z1-z2|表示z1,z2在复平面内对应的两点之间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,再利用数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
设复数z满足|z+1|=|z-i|(i为虚数单位),则|z-i|的最小值为 .
【随堂检测】
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于( ).
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
2.已知复数z1=3+i,z2=1-i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( ).
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .
参考答案
7.2 复数的四则运算
课时1 复数的加、减运算及几何意义
自主预习·悟新知
预学忆思
1.类比多项式合并同类项,两个复数相加减就是其实部与实部、虚部与虚部分别相加减,即(1+2i)+(3+i)=4+3i,(1+2i)-(3+i)=-2+i.
2.不一定,如i+(-i)=0.
3.满足.
4.z1-z2可以看作z1+(-z2),再根据其在复平面内的坐标作出对应的向量.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.D 【解析】∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
3.C 【解析】+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故+对应的复数为0.
4.5 【解析】因为z1+z2=a+4i+3+bi=(a+3)+(b+4)i为实数,所以b=-4.
因为z1-z2=(a-3)+(4-b)i为纯虚数,所以a=3.
故===5.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:类比向量加、减的坐标运算进行运算.
问题2:两个复数相加(减)就是把实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).
问题3:结果仍然是复数.
问题4:可以.
新知运用
例1 【解析】(1)原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,
所以所以
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
巩固训练1 -a+(4b-3)i 【解析】(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.
巩固训练2 -4+3i 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=,
所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i,
所以解得
所以z=-4+3i.
探究2 情境设置
问题1:|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0之间的距离.
问题2:能.设,分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,
则=(a,b),=(c,d).
由平面向量的坐标运算,
得+=(a+c,b+d),
所以+与复数(a+c)+(b+d)i对应,复数的加法可以按照向量的加法来进行.
新知运用
例2 【解析】(1)因为=-,
所以对应的复数为-3-2i.
(2)因为=-,
所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+,
所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
巩固训练 【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以=+,所以=-.
因为(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
所以对应的复数是-2+2i.
(2)因为=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
所以对应的复数是5.
探究3 情境设置
问题1:满足|z|=1的所有复数z对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上.
问题2:设复数z对应的点为Z,∵|z-1|=|z+1|,∴点Z到点(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.
新知运用
例3 【解析】Z表
示复平面内复数z对应的点,因为满足|z++i|≤1的点Z的集合是以M(-,-1)为圆心,1为半径的圆及其内部,如图所示,而|z|表示点Z到原点O的距离,||==2,所以|z|max=||=2+1=3,|z|min=||=2-1=1.
巩固训练 【解析】设z=a+bi,a,b∈R.
∵|z+1|=|z-i|,∴|a+1+bi|=|a+(b-1)i|,
∴(a+1)2+b2=a2+(b-1)2,化简得a=-b,
∴|z-i|=|a+(b-1)i|===,
∴当b=时,|z-i|min=.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.
2.A 【解析】∵z1-z2=(3+i)-(1-i)=2+2i,∴z1-z2在复平面内对应的点位于第一象限.
3.D 【解析】在平行四边形ABCD中,==-=3+i-(-1+3i)=4-2i.故选D.
4.9π 【解析】由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,3为半径的圆,故其面积S=9π.
