8.1 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】
1.通过对实物模型的观察,归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(数学建模)
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(逻辑推理)
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.(数学运算)
【自主预习】
1.构成空间几何体的基本元素是什么
2.面数最少的多面体是什么
3.观察下列多面体,它们有什么共同特点
4.观察下列多面体,它们有什么共同特点
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱的两个底面是全等的多边形. ( )
(2)棱柱最多有两个面不是四边形. ( )
(3)棱锥的所有面都可以是三角形. ( )
2.一个几何体,由五个面围成,只有一个面不是三角形,则这个几何体为( ).
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
3.下列说法正确的是( ).
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱的长度就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
4.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台(仅填相应的序号).
【合作探究】
空间几何体
观察下面两组物体:
(1)
(2)
问题1:你能说出各组物体的共同点吗
问题2:构成多面体的面最少有多少个
1.空间几何体的概念:如果只考虑物体的 和 ,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的 叫作空间几何体.
2.多面体:由若干个 围成的几何体叫作多面体(如图),围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;相邻两个面的 叫作多面体的棱;棱与棱的 叫作多面体的顶点.
3.一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体,其中这条定直线叫作旋转体的轴.
中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,“半正多面体”体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的“半正多面体”,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该“半正多面体”共有 个面,其棱长为 .
图1 图2
(多选题)在如图所示的几何体中,关于其结构特征,下列说法正确的是( ).
A.该几何体是多面体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
小明用包装盒做了几个几何体,如图所示:
问题1:你能说出这些几何体的名称吗
问题2:棱柱的侧面一定是平行四边形吗
问题3:有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗
问题4:棱台的上、下底面互相平行,各侧棱的延长线一定相交于一点吗
1.棱柱的结构特征
定义 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫作棱柱
图示及相 关概念 底面:两个互相平行的面. 侧面:底面以外的其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱……
2.棱锥的结构特征
定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
图示及相 关概念 底面:多边形. 侧面:有公共顶点的各个三角形面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
3.棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台
图示及相 关概念 上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:除上、下底面以外的面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱台、四棱台……
一、棱柱的结构特征
(1)有下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行;④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的是 (填写序号).
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱,为什么 如果不是,请说明理由.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中MN∥BC,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
【方法总结】棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义:判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面是否都是四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合的例子,排除不正确的说法.
(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是( ).
A.所有的棱柱的两个底面都互相平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边互相平行
C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
二、棱锥、棱台的结构特征
(1)有下列三种说法:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)下列说法正确的是( ).
①棱锥的各个侧面都是三角形;
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
【方法总结】判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台的结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
有下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确的是 (填写序号).
三、多面体的表面展开图
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF的周长的最小值.
【方法总结】多面体的表面展开图问题的解题策略
(1)绘制表面展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由表面展开图复原几何体:若是给出多面体的表面展开图,判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可能有多个表面展开图.
提醒:解决多面体表面上两点间的最短距离的问题,常常要转化为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体的侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
如图,这是三个几何体的表面展开图,请问它们各是什么几何体
【随堂检测】
1.在满足下列条件的棱柱中,一定是直棱柱的是( ).
A.底面是矩形
B.有一个侧面与底面垂直
C.有一个侧面是矩形
D.相邻两个侧面是矩形
2.如图,这是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( ).
A B
C D
3.如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是( ).
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体的表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为 .
参考答案
8.1 基本立体图形
课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
自主预习·悟新知
预学忆思
1.构成空间几何体的基本元素是点、线、面.
2.四面体.围成一个多面体至少要四个面,所以面数最少的多面体是四面体.
3.(1)至少有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)在侧面中,每相邻的两个四边形的公共边都互相平行.
4.(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.B 【解析】根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
3.A 【解析】棱柱的两个底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有互相平行的面(如正方体),故B错误;对齐后立在一起的一摞书可以看作一个四棱柱,当把这摞书推至倾斜时,它的侧棱长度就不是棱柱的高,故C错误;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.
4.①③④ ⑥ ⑤
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:第(1)组中的每个物体都是由多个平面多边形围成的,第(2)组中的每个物体都是由平面图形旋转得到的.
问题2:三棱锥是面最少的多面体,共有3个侧面和1个底面,故构成多面体的面最少有4个.
新知生成
1.形状 大小 空间图形
2.平面多边形 公共边 公共点
新知运用
例1 26 -1 【解析】
由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知,其上部分有9个面,中间部分有8个面,下部分有9个面,共有2×9+8=26个面.
作中间部分的横截面,由题意知,该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH,如图,设其边长为x.连接AF,过点H,G分别作HM⊥AF,GN⊥AF,垂足分别为M,N,则AM=MH=NG=NF=x.
又AM+MN+NF=1,所以x+x+x=1,
解得x=-1,所以“半正多面体”的棱长为-1.
巩固训练 ABC 【解析】平面ABCD是它的一个截面而不是它的一个面,故D不正确.
探究2 情境设置
问题1:能,它们分别是四棱柱、三棱柱、五棱柱、六棱柱.
问题2:根据棱柱的概念可知,棱柱的侧面一定是平行四边形.
问题3:不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
问题4:根据棱台的定义可知其侧棱的延长线一定交于一点.
新知运用
例2 (1)③④ 【解析】(1)①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误,三棱柱的底面是三角形.
③正确,由棱柱的定义易知.
④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
所以说法正确的是③④.
(2)①长方体是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行,符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
巩固训练 ABD 【解析】A,B,D显然是正确的.对于C,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫作棱柱,显然C中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱,所以C错误.故选ABD.
例3 (1)A (2)B 【解析】(1)①中
的平面不一定平行于底面,所以不一定是棱台,故①错误;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点的几何体不是棱台,故②③错误.
(2)由棱锥的定义,知棱锥的各个侧面都是三角形,故①正确;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面,故②正确;棱锥的侧棱交于一点,不平行,故③错误.
巩固训练 ①② 【解析】①正
确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由四个平面围成的封闭图形是四面体,即三棱锥;
③错误,如图,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
例4 【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长就是△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,
∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,∴AA1=4,
∴△AEF的周长的最小值为4.
巩固训练 【解析】将表面展开图还原为立体图形,如图,①为五棱柱;②为五棱锥;③为三棱台.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】
如图所示,这是一个斜四棱柱,
其中底面ABCD是矩形,侧面ABB1A1与底面ABCD垂直,侧面ADD1A1是矩形,故A,B,C错误;
当相邻两个侧面是矩形时,这两个侧面的交线与底面垂直,即得到侧棱与底面垂直,则该棱柱一定是直棱柱,故D正确.
2.A 【解析】由原正方体的特征可知,含有数字4,6,8的三个面一定相交于一点,而选项B,C,D中,经过折叠后含有数字4,6,8的三个面不相交于一点.故选A.
3.B 【解析】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
4.2 【解析】如
图,将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长为所求,AC1=2.8.1 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(数学抽象)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)
3.了解简单组合体的概念及结构特征.(直观想象)
【自主预习】
1.圆柱的轴截面有 个,它们 (填“全等”或“相似”),圆柱的母线有 条,它们与圆柱的高 .
2.圆锥的轴截面有多少个 母线有多少条 圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗
3.圆台的轴截面有多少个 母线有多少条 圆台上底面任一点和下底面圆周上任意一点的连线都是母线吗
4.球能否由圆面旋转而成
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一直角边所在的直线旋转一周得到的旋转体是圆锥. ( )
(2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. ( )
(3)夹在一圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱. ( )
(4)半圆面绕其直径所在的直线旋转一周得到的旋转体是球. ( )
2.下列说法错误的是( ).
A.用一个平面去截一个圆台,得到的截面的形状可能是梯形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周,所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线
3.(多选题)下列说法正确的是( ).
A.球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段
B.连接球面上任意两点的线段是球的直径
C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球
4.观察下列四个几何体,其中可看作由两个棱柱组合而成的是 .(填序号)
【合作探究】
圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征
小明说,他利用右图旋转一周就能得到圆锥、圆柱、圆台.
问题1:小明说的正确吗
问题2:圆柱是由几个平面围成的吗 若不是,它又是怎么构成的呢
问题3:圆锥是以直角三角形的任意一条边所在直线为轴旋转而成的吗
问题4:用一个平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗
1.圆柱的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱
图示及相关概念 轴: 叫作圆柱的轴. 底面: 的边旋转而成的圆面. 侧面: 的边旋转而成的曲面. 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, . 柱体:
2.圆锥的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥
图示及相关概念 轴: 叫作圆锥的轴. 底面: 的边旋转而成的圆面. 侧面: 旋转而成的曲面. 母线:无论旋转到什么位置, . 锥体:
3.圆台的结构特征
定义 用 的平面去截圆锥, 之间的部分叫作圆台
图示及相关概念 轴:圆锥的 . 底面:圆锥的底面和 . 侧面:圆锥的侧面在 之间的部分. 母线:圆锥的母线在 之间的部分. 台体:
4.球的结构特征
定义 半圆以 所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作球面,球面所围成的旋转体叫作球体,简称球
图示及相关概念 球心:半圆的 叫作球的球心. 半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径. 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径
判断下列结论是否正确.
(1)圆柱的母线都平行于轴;
(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
(4)到定点的距离等于定长(>0)的点的集合是球.
【方法总结】简单旋转体的结构特征问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类问题的关键.
(2)解题时要注意明确两点:①明确是由哪个平面图形旋转而成的;②明确旋转轴是哪条直线.
下列结论正确的是( ).
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;
②球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段;
③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;
④球面上任意三点可能在一条直线上;
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②③ B.②③④
C.②③⑤ D.①④⑤
组合体的结构特征
如图,这是蒙古族牧民居住的一种房子,又称蒙古包.
问题1:你能说出上图是由哪些几何体构成的吗
问题2:我们知道球与圆柱、圆锥、圆台都不一样,它没有一个面是平面,它是由什么几何图形绕着什么轴旋转而成的呢
1.简单组合体的定义: .
2.简单组合体的两种基本形式:(1)由简单几何体拼接而成;(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成.
(1)请描述下图所示的几何体是如何形成的.
(2)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD【方法总结】(1)解决简单组合体的结构特征相关问题,首先要熟练掌握各类几何体的特征,其次要有一定的空间想象能力.
(2)判断旋转体形状的关键是旋转轴的确定,看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得的,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ).
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
几何体中的计算问题
问题1:圆柱、圆锥、圆台中平行于底面的截面是什么图形
问题2:圆柱、圆锥、圆台中过轴的截面分别是什么图形
问题3:经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形
1.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
2.当用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体时,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构建相关几何变量的方程(组),求解方程(组)即可.
如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.
【方法总结】与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形的三边关系或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长之间的等量关系,求解即可.
一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求:
(1)圆台的高;
(2)将圆台还原为圆锥后,圆锥的母线长.
【随堂检测】
1.下列几何体中不是旋转体的是( ).
A B C D
2.铜钱又称方孔钱,是古代钱币中最常见的一种.如图1,这是清朝的一枚“嘉庆通宝”钱币,它的示意图如图2,若将其绕旋转轴(虚线)旋转半周,则形成的几何体( ).
图1 图2
A.是一个球
B.是由一个球挖去一个圆柱而成的
C.是一个圆柱
D.是由一个球挖去一个正方体而成的
3.下列说法正确的是( ).
A.图中有圆柱、圆锥、圆台和球
B.图中有圆柱、球和圆锥
C.图中有球、圆柱和圆台
D.图中有棱柱、棱锥、圆锥和球
4.在社会主义新农村建设中,某村统一进行旧村改造,其每户的住宅房的效果图如图所示,其主要的结构特征是 .
参考答案
课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
自主预习·悟新知
预学忆思
1.无穷多 全等 无穷多 相等
2.圆锥的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.
3.圆台的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;不一定是母线.
4.能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体为球.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.C 【解析】当平面与圆台的轴平行时,得到的截面的形状是梯形,故A选项正确;由圆台的定义可知,B选项正确;直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体,不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,故C选项错误;在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线,故D选项正确.
3.AC 【解析】A正确;B错误,只有连接两点的线段经过球心时才为直径;C正确;球面和球是两个不同的概念,以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面,球面围成的几何体叫作球,故D错误.
4.①④ 【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:不正确,他得到的是一个组合体,这个组合体是由圆锥、圆柱、圆台组成的.
问题2:不是.圆柱的面不都是平面,如侧面就是曲面.它是以矩形的一条边所在直线为旋转轴,其余三条边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题3:不是,它是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题4:不一定,只有当平面与圆锥的底面平行时,才能截得一个圆锥和一个圆台.
新知生成
1.矩形的一边 旋转轴 垂直于轴 平行于轴 平行于轴的边
圆柱和棱柱统称为柱体
2.直角三角形的一条直角边 旋转轴 垂直于轴 直角三角形的斜边 不垂直于轴的边 棱锥和圆锥统称为锥体
3.平行于圆锥底面 底面与截面 轴 截面 底面与截面 底面与截面 棱台和圆台统称为台体
4.它的直径 圆心
新知运用
例1 【解析】(1)正确,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线都平行于轴.
(2)错误,直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
(3)正确.
(4)错误,应为球面.
巩固训练 C 【解析】当球面上两点与球心在一条直线上时,无法作出过这三个点的圆,故①错误;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
探究2 情境设置
问题1:能,它是由圆柱、圆台、圆锥构成的.
问题2:球是由半圆面绕直径所在的直线旋转一周形成的几何体.
新知生成
1.由简单几何体组合而成的几何体
新知运用
例2 【解析】(1)①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体;③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
(2)如图所示,旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后得到的组合体.
巩固训练 D 【解析】图1是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体为一个组合体,如图2,它是由一个圆柱、两个圆锥组成的.
探究3 情境设置
问题1:圆面.
问题2:分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形.
问题3:因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体,所以任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.
新知运用
例3 【解析】设
圆台的母线长为l cm.由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图所示,
则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm,
所以=,
即==,解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
巩固训练 【解析】
(1)设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,过点A作AM⊥BC,垂足为M,如图所示.
由已知可得O1A=2 cm,OB=5 cm,AB=12 cm,
所以圆台的高AM==3(cm).
(2)如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S.
设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,
则由△SAO1∽△SBO,可得=,即=,解得l=20,
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】很明显D不可能是旋转体.
2.B 【解析】圆及其内部绕旋转轴旋转半周后所得几何体为球,而矩形及其内部绕旋转轴旋转半周后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转半周形成的几何体是由一个球挖去一个圆柱而成的.
3.B 【解析】根据题中图形可知,①是球,②是圆柱,③是圆锥,
④不是圆台.
4.由一个三棱柱和一个长方体拼接而成的组合体 【解析】将
该住宅房抽象成如图所示的组合体,则该住宅房的上部分是一个三棱柱,下部分是一个长方体.
