8.3 课时3 球的表面积和体积
【学习目标】
1.了解球的表面积与体积公式,并能利用它们求球的表面积及体积.(数学运算)
2.会求简单组合体的表面积与体积.(数学运算)
【自主预习】
1.硬币在桌面上快速旋转,我们看到的图形是什么
2.从旋转的角度来分析,硬币围绕着它垂直于桌面的直径所在的直线旋转一周所形成的轨迹是什么 它的区域大小与哪个量有关
3.如何用球的半径来表示球的体积和表面积
4.若要加大球体的体积,则球体的半径会发生什么变化
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)球的体积是一个关于球的半径的函数. ( )
(2)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4. ( )
(3)球的表面积等于它的大圆面积的2倍. ( )
(4)球的表面积是球的体积的6倍. ( )
2.直径为1的球的体积是( ).
A.1 B. C. D.π
3.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( ).
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
4.表面积为8π的球的半径是 .
【合作探究】
球的表面积与体积
从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子近似于球体,其外表皮近似于球面,这种曲面不能展开成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢 古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得的圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.
问题1:球面为什么不能展开成平面图形
问题2:类比利用圆的周长求圆的面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.如此,我们可以得到球的体积公式是什么
问题3:求球的表面积和体积需要什么条件
1.球的表面积
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
2.球的体积
设球的半径为R,则球的体积V=πR3.
一、球的表面积和体积
(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为,求它的表面积.
【方法总结】计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径.
将一个底面半径为3,高为4的圆柱形铁块熔化为铁水,恰好制成一个实心铁球,则该实心铁球的半径是( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
二、球的截面问题
如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为 .
【方法总结】
球的截面问题的解题技巧:(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题;(2)解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 .
三、球的切、接问题
(1)若长方体的三个相邻面的面积分别是8,8,16,则该长方体外接球的体积为( ).
A.24π B.32π
C.36π D.48π
(2)一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上,且该四棱柱的底面面积为3,高为,则球O的体积为( ).
A.16π B. C.10π D.
【方法总结】(1)正方体的内切球:球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为a,则内切球的半径r1=,过在一个平面上的四个切点作截面,如图1.
(2)长方体的外接球:长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,过球心作长方体的体对角线,则球的半径r2=,如图2.
(3)正四面体的外接球:正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为R=a.
已知棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切,则该球的表面积为( ).
A.4π B.2π
C. D.π
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,∠BAC=,则该三棱柱外接球的体积为 .
四、几何体的内切球
(2020年全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
【方法总结】求解几何体的内切球问题,一般要先确定球心,再把半径放入到过球心的截面中加以求解,即将空间几何问题转化为平面几何问题.
如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为( ).
A. B.
C. D.
【随堂检测】
1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( ).
A. B. C. D.
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ).
A. B.16π C.9π D.
3.若一个圆柱的底面半径为1,侧面积为10π,球O是该圆柱的外接球,则球O的表面积为 .
4.若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为 .
参考答案
课时3 球的表面积和体积
自主预习·悟新知
预学忆思
1.球体.
2.球体.区域大小只与硬币的半径有关.
3.球的体积和表面积公式:半径是R的球的体积V球=πR3,表面积S=4πR2.
4.球体的半径变大.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.B 【解析】半径R=,故体积V=πR3=×π×=.
3.A 【解析】设两个球的半径分别为r,3r,则表面积的比值为=.故选A.
4. 【解析】S=4πR2=8π,解得R=.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:球没有底面,球的表面不能展开成平面图形.
问题2:当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球的半径R.设O-ABCD是其中一个“小锥体”,它的体积是VO-ABCD≈S四边形ABCD·R.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,V球=S球·R=×4πR2·R=πR3.
由此,我们得到V球=πR3.
问题3:已知球的半径即可.
新知运用
例1 【解析】(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,
所以球的体积V=πR3=π×43=.
(2)设球的半径为R,则πR3=,解得R=5,
所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
巩固训练 B 【解析】由题意,可得圆柱的体积V=πr2h=π×32×4=36π,设该实心铁球的半径为R,则πR3=36π,解得R=3.
例2 cm3 【解析】
如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm),
BM=AB=×8=4(cm).
设球的半径为R cm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,
解得R=5,所以V球=π×53=(cm3).
巩固训练 4π 【解析】如
图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任意一点,则OO'=,O'M=1,所以OM==,
即球的半径为,
所以V=π()3=4π.
例3 (1)C (2)B 【解析】(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则ab=16,bc=8,ac=8,解得a=b=4,c=2,所以长方体外接球的半径R==3,所以外接球的体积V=πR3=36π.故选C.
(2)设该正四棱柱的底面边长为a,高为h,则a2=3,h=,解得a=,
所以该正四棱柱的体对角线为球O的直径.设球O的半径为R,所以2R===4,即R=2,所以球O的体积为×23=.故选B.
巩固训练1 A 【解析】如
图所示,在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A-BCD,显然正四面体的棱切球为正方体的内切球,故球的半径r=1,则该球的表面积S=4πr2=4π.
巩固训练2 【解析】由正弦定理可知,棱柱底面△ABC的外接圆的直径2r==4,则r=2,所以该三棱柱外接球的半径R==,所以该三棱柱外接球的体积V=πR3=.
例4 【解析】易知圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球,
如图,圆锥母线BS=3,底面半径BC=1,则其高SC==2.
不妨设该内切球O与母线BS切于点D,令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得=,即=,解得r=,
所以圆锥内半径最大的球的体积V=πr3=.
巩固训练 C 【解析】平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆,如图.
∵正方体的棱长为1,∴AC=CD1=AD1=.
∴内切圆的半径r=AE·tan 30°=×=.
∴截面的面积S=πr2=π×=.故选C.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长相等,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,所以其体积为×π×13=.
2.A 【解析】如
图,设球心为O,球的半径为r,则在Rt△AOE中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,∴该球的表面积为4πr2=4π×=.
3.29π 【解析】设圆柱的高为h,其外接球的半径为R,因为圆柱的底面半径为1,侧面积为10π,所以2πh=10π,解得h=5.由圆柱和球的对称性可知,球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处,所以R==,所以球的表面积S=4πR2=29π.
4.3∶2 【解析】画
出轴截面,如图所示,设球的半径为r,则OD=r,PO=2r,∠PDO=90°,∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°,∴CB=PC=r,PB=2r,∴圆锥的侧面积S1=π×r×2r=6πr2,球的表面积S2=4πr2,∴S1∶S2=3∶2.8.3 课时2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.(数学运算)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积.(数学运算)
【自主预习】
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式分别是什么
3.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长. ( )
(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等,则圆柱的侧面展开图是正方形. ( )
(3)锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高).( )
(4)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关. ( )
2.圆台的上、下底面半径分别为3,4,母线长为6,则其表面积等于( ).
A.72 B.42π C.67π D.72π
3.已知圆锥的底面圆的面积为3π,侧面展开图为一个扇形,其面积为9π,则该圆锥的母线长为( ).
A.9 B. C.3 D.
4.一个高为2的圆柱的底面周长为2π,则该圆柱的表面积为 .
【合作探究】
圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1:回顾棱柱、棱锥、棱台的表面积计算方法,你认为旋转体圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样计算的呢
问题2:我们已经知道圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,如何计算它们的侧面积呢
问题3:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系
与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.
图形 侧面积与表面积公式
圆柱 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆锥 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆台 侧面积:S侧= . 表面积:S=
如图所示,在边长为4的正△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
【方法总结】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这些曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
已知一个圆柱的底面半径为2,高为3,上底面的同心圆半径为1,以这个圆面为上底面,圆柱下底面为下底面的圆台被挖去,则剩余几何体的表面积等于( ).
A.(9+3)π B.(14+3)π
C.(5+2)π D.(15+3)π
圆柱、圆锥、圆台的体积
下面两图为同一个健身哑铃的结构图,它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的,中间的连杆圆柱为实心.
问题1:你能计算出健身哑铃的体积吗
问题2:结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗
1.圆柱的体积公式: (r是底面半径,h是高).
2.圆锥的体积公式: (r是底面半径,h是高).
3.圆台的体积公式: (其中r',r分别是上、下底面的半径,h是高).
(1)(多选题)已知圆柱的侧面展开图是长为12 cm,宽为8 cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是( ).
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
(2)某圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则该圆锥的体积是( ).
A. B.
C.64π D.128π
【方法总结】求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面,准确求出几何体的高和底面积.
如图所示,该图形由一个矩形和一个扇形组合而成,其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图,且矩形的长为3,宽为2,扇形的圆心角为,半径等于矩形的长,圆柱的高为3,则圆柱和圆锥的体积之比为( ).
A.72∶37 B.72∶35
C.72∶ D.72∶
【随堂检测】
1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ).
A.4π B.3π C.2π D.π
2.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ).
A.7 B.6 C.5 D.3
3.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,则圆锥过轴的截面面积、圆柱的底面半径分别为( ).
A.2,1 B.4,2
C.2,2 D.4,1
4.《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物,书中所提麦门冬,别名麦冬,临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等.一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥,如图所示,则该麦门冬的体积约为 .
参考答案
课时2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
自主预习·悟新知
预学忆思
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环(大扇形截去小扇形余下的部分).
2.圆柱:S侧=2πrl(r是底面半径,l是母线长).圆锥:S侧=πrl(r是底面半径,l是母线长).圆台:S侧=πl(r+r')(r',r分别是上、下底面半径,l是母线长).
3.V柱体=ShV台体=(S'++S)hV锥体=Sh.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.C 【解析】S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.故选C.
3.C 【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥的母线长为l,由题意可得解得所以该圆锥的母线长为3.
4.6π 【解析】由底面周长为2π,可得底面半径为1,所以S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.
问题2:根据它们的展开图计算,圆柱的侧面积利用矩形的面积公式计算,圆锥的侧面积利用扇形的面积公式计算,圆台的侧面积利用大扇形面积减去小扇形面积计算.
问题3:当圆台的上底面半径等于下底面半径时,圆台的表面积公式为圆柱的表面积公式;当圆台的上底面半径等于0时,圆台的表面积公式为圆锥的表面积公式.
新知生成
2πrl 2πr(r+l) πrl πr(r+l) πl(r'+r) π(r'2+r2+r'l+rl)
新知运用
例1 【解析】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,
则R=2,r=1,l=4,h=.
所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,
圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×=2π.
所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2π=(12+2)π.
巩固训练 D 【解析】剩余几何体的表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积,由题意知同心圆半径r=1,圆柱底面半径R=2,圆柱高h=3,所以圆环的面积S1=π(R2-r2)=3π,圆台母线l===,所以圆台的侧面积S2=πl(R+r)=3π,圆柱的侧面积S3=2πRh=12π,所以剩余几何体的表面积等于S1+S2+S3=(15+3)π.
探究2 情境设置
问题1:根据圆柱的体积公式计算即可.
问题2:V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高),
V锥体=Sh(S为底面积,h为锥体高),
V台体=(S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).
新知生成
1.V圆柱=πr2h
2.V圆锥=πr2h
3.V圆台=πh(r2+rr'+r'2)
新知运用
例2 (1)AB (2)A 【解析】(1)当圆柱的高为8 cm时,V=π×2×8=(cm3);
当圆柱的高为12 cm时,V=π×2×12=(cm3).
(2)作圆锥的轴截面,如图所示:
由题意知,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB.
设圆锥的高为h,底面半径为r,则h=r,PB=r.
由S侧=π·r·PB=16π,得πr2=16π,解得r=4,则h=4.
故圆锥的体积V圆锥=πr2h=.
巩固训练 D 【解析】因为矩形的长为3,宽为2,圆柱的高为3,所以圆柱的底面半径为1,所以圆柱的体积为πr2h=π×12×3=3π.因为扇形的圆心角为,半径等于矩形的长,所以半径为3,根据弧长公式可以得到扇形的弧长为×2π×3=π.又扇形的弧长等于底面圆的周长,所以圆锥底面圆的半径为=,所以根据勾股定理得到圆锥的高为=,所以圆锥的体积为×π×2×=,所以圆柱和圆锥的体积之比为3π∶=72∶.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】易知该几何体为圆柱,且底面圆半径为1,母线长为1,故侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π.故选C.
2.A 【解析】设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
3.D 【解析】圆锥的高h==2,圆锥过轴的截面面积为×4×2=4,设圆柱的底面半径为r,由相似知识可得=,解得r=1.
4. 【解析】由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2,高为4的圆锥的体积之和,
故该麦门冬的体积V=×π×12×4×2=.8.3 课时1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【学习目标】
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(数学运算)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积.(数学运算)
【自主预习】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积如何求
3.棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. ( )
(2)棱锥的体积等于底面面积与高的积. ( )
(3)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差. ( )
(4)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积是确定的. ( )
2.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为( ).
A.2 B.4 C.6 D.12
3.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该棱台的表面积为148,则侧棱长为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为 ,表面积为 .
【合作探究】
棱柱、棱锥、棱台的表面积
李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠.本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具,后又作为计量粮食的工具.某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研究“斗”的相关几何性质.
问题1:你能画出这个“斗”的展开图吗
问题2:棱台的侧面展开图是由什么构成的 如何计算棱台的表面积
问题3:若该四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,高为1,如何求该四棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积的和.
特别提醒:表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积,侧面积是指所有侧面的面积之和,与表面积不同.一般地,表面积=侧面积+底面积.
某工厂需要制作一个如图所示的模型,该模型为长方体ABCD-A'B'C'D'挖去四棱锥O-EFGH后得到的几何体,其中O为长方体ABCD-A'B'C'D'的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=4,AA'=2,求该模型的表面积.
【方法总结】求多面体的表面积的方法
(1)对于简单几何体,我们可以利用公式,直接求出其表面积,而在求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补全成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
(2)求解棱锥的表面积时,注意棱锥的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱长.注意它们组成的直角三角形的应用.
某校高一学生进行创客活动,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后得到的几何体,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,为增强其观赏性和耐用性,现在该模型表面镀上一层金属膜,每平方厘米需要金属膜2 mg,不考虑损耗,所需金属膜的质量为 mg.
棱柱、棱锥、棱台的体积
问题1:还记得以前学过的特殊棱柱(正方体和长方体)的体积公式吗 它们可以统一为一个公式吗
问题2:取一摞书放在桌面上,并改变它们的位置,高度、书中每页纸的面积和顺序不变,观察改变前后的体积是否发生变化.
问题3:棱锥的体积与同底等高的棱柱的体积之间有什么关系
1.棱柱的体积公式:一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么 ;
2.棱锥的体积公式:一般地,如果棱锥的底面积是S,高是h,那么 ;
3.棱台的体积公式: (其中S',S分别为棱台上、下底面面积,h为高).
(1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B1-ABC的体积为( ).
A. B.
C. D.
(2)正四棱台的两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积.
【方法总结】求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上底面边长、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用的两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决问题.
已知正四面体A-BCD的棱长为2.用平行于底面BCD的平面截这个棱锥,得到一个小棱锥和一个棱台,若截面与底面之间的距离为,则棱台的体积为 .
【随堂检测】
1.若一个正三棱锥的高为3,侧棱长为2,则这个正三棱锥的体积为( ).
A. B.
C. D.
2.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( ).
A.32 B.28
C.24 D.20
3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为 .
4.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为 .
参考答案
8.3 简单几何体的表面积与体积
课时1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
自主预习·悟新知
预学忆思
1.都相等.
2.因为棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,所以可以先求它们各个面的面积,然后相加即可.
3.棱柱的体积公式为V=Sh(S为底面面积,h为高);
棱锥的体积公式为V=Sh(S为底面面积,h为高);
棱台的体积公式为V=h(S'++S)(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为高).
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.B 【解析】正四棱锥的底面积为2×2=4,则其体积为×4×3=4.
3.C 【解析】设正四棱台侧面的高为h,则22+82+·h·4=148,得h=4,所以侧棱长为=5.
4.6 6+ 【解析】正三棱柱的底面为正三角形,侧面为三个全等的矩形,所以侧面积为3×1×2=6,又S底面=×1×=,所以它的表面积为6+.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:正四棱台的展开图如图所示.
问题2:棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的.表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和.
问题3:根据题意可知,该四棱台的侧面都是上底面边长为2,下底面边长为4的等腰梯形,
所以侧面的高h'==,则等腰梯形的面积为(2+4)××=3,上、下底面面积分别为2×2=4,4×4=16,所以该四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
新知运用
例1 【解析】由题意可得OE=OF=OG=OH==,HG=FG=EF=EH==2,故S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=×2×=,
故该模型的表面积S=4×4×2+4×4+4××2×2+4=56+4.
巩固训练 282+54 【解析】由题意可知,长方体ABCD-A1B1C1D14个侧面的面积和为4×4×6=96(cm2),底面积为6×6=36(cm2),
正方形EFGH的面积为3×3=9 (cm2),
梯形ABFE的高为==(cm),
故正四棱台4个侧面的面积和为4××(3+6)×=27(cm2),
故该模型的表面积为96+36+9+27=141+27(cm2),
故所需金属膜的质量为2×(141+27)=282+54(mg).
探究2 情境设置
问题1:长方体的体积V=abc(a,b,c分别为长方体的长、宽、高);正方体的体积V=a3(a为正方体的棱长).能,V=Sh(S为底面积,h为高).
问题2:没有变化.因为该摞书的底面积和高没有变化,所以体积也不变.
问题3:如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
新知生成
1.V棱柱=Sh
2.V棱锥=Sh
3.V棱台=h(S++S')
新知运用
例2 (1)D 【解析】(1)设三棱锥B1-ABC的高为h,则=S△ABC·h=××3=.
(2)正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高.
设O1,O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2),
∴EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中,
O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm,
∴O1O==12(cm).
故该正四棱台的体积V=×12×(102+202+)=2 800(cm3).
巩固训练 【解析】如
图,过点A作AT⊥平面BCD,AT交平面BCD于点T,交平面FMN于点O,则AT为正四面体A-BCD的高,AO为三棱锥A-MNF的高,且T,O分别为△BCD,△MNF的重心.连接DT并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点,
连接NO,则△ANO∽△ADT.因为正四面体A-BCD的棱长为2,所以DQ=,DT=DQ=,故AT===.
由题意知OT=,故AO=AT-OT=.
由=得==,解得AN=,
因为A-MNF也是正四面体,所以NF=MF=MN=,
故S△MNF=×2=,S△BCD=×22=,
故棱台的体积为×++×=.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】由题意可知,该正三棱锥底面正三角形的边长为2××=3,所以V正三棱锥=××32×3=.故选D.
2.B 【解析】设正六棱台上、下底面的面积分别为S1,S2,因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成的,所以S1=6××2×=6,S2=6××4×2=24,所以六棱台的体积V=h(S1++S2)=28.
3. 【解析】==××1×1×1=.
4.12 【解析】
如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,高OP=,底面边长AB=2.
过点O作OG⊥BC,垂足为G,连接PG,则斜高PG==2.
故正四棱锥的表面积S=2×2+4××2×2=12.
