8.4 课时1 平面
【学习目标】
1.了解平面的表示方法,了解点、直线与平面的位置关系.(数学抽象)
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.(逻辑推理)
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.(直观想象)
【自主预习】
1.教材中是如何定义平面的
2.平面的表示方法有哪些
3.如果两个不重合的平面有无数个公共点,那么这些公共点有什么特点
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. ( )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A. ( )
(3)空间不同三点确定一个平面. ( )
(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. ( )
2.如图,平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( ).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
3.点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内可以表示为( ).
A.A a,a α,B∈α B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
4.如图,已知D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .
【合作探究】
平面
问题1:湖面、餐桌、教室的课桌给人以怎样的印象
问题2:在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象而来的,那么现在的平面又是怎么来的呢 它有什么特点呢
问题3:一个平面能否把空间分成两部分
1.平面的概念
几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的,是没有宽度和厚度的.
2.平面的画法:(1)常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.如图1,当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向的;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向的.
(2)在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些,如图2.
3.平面的表示法:可以用希腊字母α,β,γ等来表示;也可以用 (表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;或者用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的 )来表示.
一、平面的概念
(1)有下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长为50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度的、可以向四周无限延展的抽象数学概念.其中真命题的个数为 .
(2)下图中的两个平面相交,其中画法正确的是 .(填序号)
【方法总结】平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是向四周无限延展且没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合.
下列说法正确的是 .(填序号)
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面ABCD的面积为100 cm2;
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
二、三种语言的相互转化
用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与平面α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
【方法总结】三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”表示,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意被遮挡的部分画成虚线或者不画.
用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
平面的基本性质
在日常生活中,我们经常看到这样的场景:自行车用一个脚架和两个车轮就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.
问题1:上述是一种什么原理呢
问题2:若直线与平面只有一个公共点,则直线在平面内吗 若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内吗
问题3:把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗
1.平面的基本性质
基本事实 内容 图形 符号表示
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 P∈α,P∈β,α,β不重合
2.推论
推论1:经过一条直线和 ,有且只有一个平面.
推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
一、点、线共面问题
如图,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.
【方法总结】证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论,常用的方法如下:
(1)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(2)纳入平面法:先由条件确定一个平面,再证明有关的点、线在此平面内.
如图,已知A∈l,B∈l,C∈l,D l.求证:直线AD,BD,CD共面.
二、点共线、线共点问题
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩截面A1BC1=P.
(1)求证:B,P,O1三点共线.
(2)若AB=3,BC=4,CC1=6,求DP的长.
【方法总结】1.证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上;
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
(1)首先证明两条直线交于一点;
(2)证明这个点在这两条直线所在的两个平面上,并且这两个平面相交;
(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C,AC1,BD1,B1D四条对角线交于一点.
已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
三、平面的交线问题
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的一点(点E不与点C1重合).试说明D1,A,E三点确定的平面与平面ABCD相交,并画出这两个平面的交线.
【方法总结】基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点.
如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中点,试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
【随堂检测】
1.有以下说法:
①平面是处处平的面;
②平面是向四周无限延展的;
③平面的形状是三角形;
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确说法的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.该图用符号语言可描述为( ).
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.三个平面最多能把空间分为 部分,最少能把空间分成 部分.
4.如图,已知正四棱柱ABCP-A'B'C'P',Q,R分别为棱A'B',B'C'上的点.
(1)请在正四棱柱ABCP-A'B'C'P'中,画出经过P,Q,R三点的截面(无需证明).
(2)若Q,R分别为棱A'B',B'C'的中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点.
参考答案
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
课时1 平面
自主预习·悟新知
预学忆思
1.几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.平面是向四周无限延展的.
2.常用希腊字母α,β,γ等表示平面,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.
3.这些公共点落在同一条直线上.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A 【解析】平面不能用一条边的两个端点表示,但可以表示为平面MP.故选A.
3.B 【解析】点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内表示为A∈a,a α,B∈α.
4.P∈直线DE 【解析】因为P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈平面α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:它们给人以平面的印象.
问题2:平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的.
问题3:能,因为平面是无限延展的,所以一个平面能把空间分成两部分.
新知生成
1.向四周无限延展
3.两个大写的英文字母 四个顶点
新知运用
例1 (1)1 (2)④ 【解析】(1)由平面的概念,可知它是绝对平的、无厚度的、可向四周无限延展的,可以判断命题④是真命题,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①②③是假命题.
(2)两个平面相交,需画出它们的交线,并且被遮挡部分用虚线画出来或不画.可知图④的画法正确.
巩固训练 ② 【解析】①错误,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;③错误,平面不能度量;④错误,看不到的线画成虚线.
例2 【解析】(1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.如图1所示.
(2)用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C 直线AB.如图2所示.
巩固训练 【解析】(1)用符号表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.如图1所示.
(2)用符号表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.如图2所示.
探究2 情境设置
问题1:这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性,其原理就是不在同一条直线上的三点可以确定一个平面.
问题2:若只有一个公共点,则直线一定不在平面内;若有两个公共点,则直线一定在平面内.
问题3:因为平面是向四周无限延展的,所以不可能只有一个公共点,它们应该有一条公共直线.
新知生成
1.不在一条直线上 两个点 l α 公共直线 α∩β=l,且P∈l,l唯一
2.这条直线外一点 相交
新知运用
例3 【解析】(法一:辅助平面法)因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.
因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.
又A∈l,B∈l,所以l α.
因为C∈l,所以C∈α,所以直线a与点C同在平面α内.
因为a∥c,所以直线a,c确定一个平面β.
因为C∈c,c β,所以C∈β,即直线a与点C同在平面β内.
由推论1,可得平面α和平面β重合,则c α.
所以a,b,c和l共面.
(法二:纳入平面法)因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.
因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.
又A∈l,B∈l,所以l α,
则a,b,l都在平面α内,即b在a,l确定的平面内.
同理可证c在a,l确定的平面内.
因为过a与l只能确定一个平面,
所以a,b,c,l共面于a,l确定的平面.
巩固训练 【解析】因为D l,所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD α.
同理,BD α,CD α,所以直线AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
例4 【解析】(1)∵P∈B1D,B1D 平面BB1D1D,∴P∈平面BB1D1D,
又P∈平面A1BC1,平面BB1D1D∩平面A1BC1=BO1,∴根据基本事实3,得P∈BO1,即B,P,O1三点共线.
(2)如图,连接BD1,交DB1于点M,由(1)知P∈BO1,且P∈B1D,
则P为BO1与B1D的交点.
∵DD1 BB1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,∴M是BD1的中点.
又O1是B1D1的中点,
∴P是△BD1B1的重心,∴B1P=B1M=B1D.
∵AB=3,BC=4,CC1=6,∴B1D==,∴DP=B1D=.
巩固训练1 【解析】如
图,A1A∥CC1,且A1A=CC1,所以四边形A1ACC1为平行四边形,则对角线A1C与AC1互相平分,将其交点记为O,则O是A1C和AC1的中点.同理,平行四边形D1DBB1的对角线BD1和B1D也互相平分,设其交点为O1,则O1是BD1和B1D的中点.由AD∥B1C1,且AD=B1C1,得四边形ADC1B1为平行四边形,故对角线B1D与AC1互相平分,因此O,O1都是B1D的中点,所以O,O1必重合为一点,所以A1C,AC1,BD1,B1D四条对角线交于一点O.
巩固训练2 【解析】(法一)∵AB∩α=P,
∴P∈AB,P∈平面α.
又AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证点Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
(法二)∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC 平面APR.
又∵BC∩α=Q,∴Q∈平面APR,Q∈α,∴Q∈PR.
∴P,Q,R三点共线.
例5 【解析】因为A∈平面D1AE,A∈平面ABCD,所以平面D1AE与平面ABCD相交.
延长D1E与DC,设它们相交于点F,连接AF,如图所示,
因为F∈直线D1E,F∈直线DC,直线D1E 平面D1AE,直线DC 平面ABCD,
所以F∈平面D1AE,F∈平面ABCD,
则AF为平面D1AE与平面ABCD的交线.
巩固训练 【解析】如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.
因为M∈D1F,M∈DA,D1F 平面BED1F,DA 平面ABCD,
所以M∈平面BED1F,M∈平面ABCD,
又B∈平面BED1F,B∈平面ABCD,
连接MB,则平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直线MB为所求两平面的交线.
随堂检测·精评价
1.B 【解析】平面是向四周无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,故①②两种说法是正确的,③④两种说法是错误的.
2.A 【解析】平面α与平面β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故该图用符号语言可描述为α∩β=m,n α,m∩n=A.
3.8 4 【解析】三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多可将空间分成8部分.
4.【解析】(1)作直线QR分别交P'A',P'C'的延长线于点M,N,连接MP交AA'于点S,连接PN交CC'于点T,连接SQ,TR,如图1,五边形PSQRT为所求截面.
(2)如图2,连接QR,AC,A'C',则AC A'C',
∵Q,R分别为A'B',B'C'的中点,∴QR∥A'C',QR=A'C',
∴QR∥AC,AC=2QR,可得四边形AQRC为梯形.
设AQ∩CR=O,则O∈AQ,∵AQ 平面A'ABB',∴O∈平面A'ABB',同理O∈平面C'CBB'.
又平面A'ABB'∩平面C'CBB'=BB',∴O∈BB',即AQ,CR,BB'三线共点.8.4 课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习目标】
1.了解空间两直线间的位置关系.(直观想象)
2.理解空间直线与平面的位置关系.(直观想象)
3.掌握空间平面与平面的位置关系.(直观想象)
【自主预习】
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗
2.若直线a在平面α外,则直线a与平面α没有公共点,正确吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. ( )
(2)若两条直线无公共点,则这两条直线平行. ( )
(3)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. ( )
(4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行. ( )
2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ).
A.直线与两个平面都平行 B.直线与两个平面都相交
C.直线在两个平面内 D.直线至少与其中一个平面平行
3.过平面外两点作该平面的平行平面,可以作( ).
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
4.(多选题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,则下列直线与直线C1M是异面直线的是( ).
A.DD1 B.CC1 C.BD1 D.CA1
【合作探究】
空间中直线与直线的位置关系
小明在路边捡到一个六角螺帽,他在六角螺帽的边缘画了两条线,如图所示.
问题1:上图中AB与CD所在直线是什么位置关系
问题2:教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线是否也具有类似特征
1.异面直线:不同在 平面内的两条直线.
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图1,图2所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
3.空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分:
②从是否共面的角度来分:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
【变式探究】已知a,b,c是三条直线,如果a与b是异面直线,b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系 并画图说明.
【方法总结】(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.②重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,用符号语言可表示为A α,B∈α,l α,B l AB与l是异面直线(如图).
在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AB异面的棱有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
空间中直线与平面的位置关系
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B.
问题1:A1B与长方体各面有几种位置关系
问题2:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗
直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 个数 1个 0个
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
(1)下列四个命题中,真命题的个数是( ).
①如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②已知直线a,平面α,且a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,b α,那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,判断下列直线与平面的位置关系.(填“平行”“相交”或“直线在平面内”)
①AM所在的直线与平面ABCD ;
②CN所在的直线与平面ABCD ;
③AM所在的直线与平面CDD1C1 ;
④CN所在的直线与平面A1B1C1D1 .
【方法总结】在判断直线与平面的位置关系时,三种位置关系都要考虑到.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
有下列说法:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中正确说法的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
空间中平面与平面的位置关系
观察拿在手中的两本很薄的书,我们可以想象两本书为两个平面.
问题1:两本书所在的平面可以平行吗 公共点的个数是多少
问题2:两本书所在的平面可以相交吗 公共点的个数是多少
问题3:分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么
两个平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 α∥β α∩β=a
公共点个数 个 个
如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是 .
【变式探究】
1.若本例将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两平面的位置关系如何
2.若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α与β的关系是什么
【方法总结】1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)判断平面与平面相交,关键是以基本事实3为依据找出一个交点;
(2)判断平面与平面平行,关键是证明两个平面没有公共点.
2.常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行;
(2)长方体、正方体的六个面中,三组相对面平行.
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC与其余各面之间有什么位置关系
【随堂检测】
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( ).
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
2.下列说法正确的是( ).
A.两个平面可以只有一个交点
B.一条直线与一个平面最多有一个公共点
C.若两个平面有一个公共点,则它们相交或重合
D.若两个平面有三个公共点,则它们一定重合
3.如图,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中,与直线AB异面的侧棱共有( ).
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列位置关系:
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是 ;
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 .
参考答案
课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不一定.分别在两个平面内的两条直线,既可以是平行直线,也可以是相交直线,还可以是异面直线.
2.不正确.当直线a与平面α相交时,有一个公共点,也称直线a在平面α外.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.D 【解析】直线与两个平面的交线平行,有两种情形,其一是直线分别与这两个平面平行,其二是直线在一个平面内且平行于另一个平面,则直线至少与其中一个平面平行.
3.C 【解析】平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况:①直线与平面相交;②直线与平面平行.
故选C.
4.CD 【解析】由题意可知M为DD1的中点,易知DD1∩C1M=M,C1M∩CC1=C1,故DD1,CC1均与直线C1M为相交直线,A,B错误;BD1∩平面CC1D1D=D1,C1M 平面CC1D1D,D1 直线C1M,故直线BD1与直线C1M为异面直线,同理,直线CA1与直线C1M为异面直线.故选CD.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:不相交,也不平行.
问题2:是.
新知生成
1.任何一个
3.①异面 相交 ②相交 异面
新知运用
例1 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内,故异面.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1,故相交.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内,故异面.
变式探究 【解析】直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面,如图1、图2、图3所示.
图1 图2 图3
巩固训练 C 【解析】画出一个三棱柱,如图所示,易知与AB异面的棱有3条,即A1C1,B1C1,CC1.
探究2 情境设置
问题1:A1B与长方体各面的位置关系有三种:相交、平行、在平面内.
问题2:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
新知生成
无数个
新知运用
例2 (1)B (2)①相交 ②相交 ③平行 ④相交 【解析】
(1)对于①,如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在过BB'的平面ABB'A'内,故命题①是假命题;对于②,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命题②是假命题;对于③,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α相矛盾,故b∥α,即③是真命题.故选B.
(2)①∵A∈平面ABCD,M 平面ABCD,∴AM所在的直线与平面ABCD相交.
②∵C∈平面ABCD,N 平面ABCD,∴CN所在的直线与平面ABCD相交.
③∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,AM 平面ABB1A1,∴AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
④∵CN所在的直线与平面ABCD相交,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交.
巩固训练 B 【解析】对于①,虽然直线l与平面α内无数条直线平行,但直线l有可能在平面α内,故直线l不一定平行于平面α,故①错误;对于②,直线a在平面α外包括a∥α和a与α相交这两种情况,故a和α不一定平行,故②错误;对于③,若a∥b,b α,则a α或a∥α,无论哪种情况,a与平面α内的无数条直线都平行,故③正确.
探究3 情境设置
问题1:可以.无公共点.
问题2:可以.有无数个.
问题3:分别位于两个平行平面内的两条直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面.
新知生成
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新知运用
例3 平行或相交 【解析】在图1、图2中,a α,b β,a∥b.
图1 图2
所以这两个平面可能相交,也可能平行.
变式探究
1.【解析】在图1、图2中,a α,b β,a,b异面.
图1 图2
所以这两个平面可能平行,也可能相交.
2.【解析】在图1、图2中,α内都有无数条直线与平面β平行,
图1 图2
所以平面α与平面β平行或相交.
巩固训练 【解析】∵几何体ABC-A1B1C1为三棱柱,
∴平面ABC∥平面A1B1C1.
∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB,
∴平面ABC与平面ABB1A1相交.
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】若直线a和b没有公共点,则a与b平行或异面.
2.C 【解析】两平面有公共点,包括两平面重合或相交.故选C.
3.C 【解析】根据正六棱柱的性质可得,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的侧棱中,没有与直线AB平行的;与AB相交的有AA',BB',共2条.又正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的侧棱共有6条,所以与直线AB异面的侧棱共有6-2=4条.
4.(1)平行 (2)相交 【解析】(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,故平行.
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B,故相交.
