8.5 课时2 直线与平面平行
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步利用定理解决问题.(数学建模)
2.掌握直线与平面平行的性质定理,知道如何由线面平行推出线线平行.(逻辑推理)
【自主预习】
1.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系
2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行,那么该直线和平面有何位置关系
3.直线与平面平行的性质定理是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线a与平面α不平行,则a与α相交. ( )
(2)若直线l与平面α内的无数条直线不平行,则直线l与平面α不平行. ( )
(3)若直线l不平行于平面α,则直线l不平行于平面α内的任意一条直线. ( )
2.能保证直线a与平面α平行的条件是( ).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
3.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是棱SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( ).
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,N是AD的中点.求证:
(1)BC∥AD;
(2)CN∥平面PAB.
【合作探究】
直线与平面平行的判定
门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,只要不关门,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在的直线都与门框存在不变的位置关系.
问题1:情境中存在着不变的位置关系是指什么
问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗
问题3:若一直线与平面内的直线平行,则该直线一定与该平面平行吗
直线与平面平行的判定定理
(1)文字语言:若 一条直线与 的一条直线 ,则该直线与此平面平行.
(2)符号语言: , , l∥α.
(3)图形语言:
特别提醒:利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
一、线面平行判定定理的理解
如果直线a,b和平面α满足a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是( ).
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
【方法总结】线面平行的判定定理必须满足三个条件:
(1)直线a在平面α外,即a α;
(2)直线b在平面α内,即b α;
(3)两直线a,b平行,即a∥b.
这三个条件缺一不可.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则下列直线中与平面ACE平行的是( ).
A.BA1 B.BD1 C.BC1 D.BB1
二、直线与平面平行的判定
如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.
【方法总结】应用判定定理证明线面平行的步骤
提醒:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”;
(2)不能利用题目条件顺利地找到与已知直线平行的直线.
如图,在三棱台DEF-ABC中,AC=2DF,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
直线与平面平行的性质
平面束属于一种空间图形,是一组有特殊位置关系的平面的集合,即有一条公共直线的所有平面的集合.
问题1:如图,直线l∥平面α,直线a 平面α,那么直线l与直线a一定平行吗 为什么
问题2:如图,直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=b,满足以上条件的平面β有多少个 直线a,b有什么位置关系
直线与平面平行的性质定理
(1)文字语言:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面 ,那么该直线与交线 .
(2)符号语言:a∥α, a∥b.
(3)图形语言:
一、直线与平面平行性质的应用
如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
【变式探究】如图所示,四边形ABCD是矩形,P 平面ABCD,过BC作另一平面BCFE,交AP于点E,交DP于点F.求证:四边形BCFE是梯形.
【方法总结】运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线,然后确定线线平行.
如图,点A,B分别位于异面直线a,b上,过AB的中点O的平面α与a,b都平行,M,N分别是a,b上异于点A,B的另外两点,MN与平面α交于点P.求证:P是MN的中点.
二、与线面平行性质定理有关的计算问题
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,若SA∥平面BEF,求实数λ的值.
【方法总结】利用线面平行的性质定理解决有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系;
(2)在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理等推出有关线段的关系;
(3)利用所得关系计算求值.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在线段CD上,若EF∥平面AB1C,求线段EF的长度.
【随堂检测】
1.(多选题)若直线a平行于平面α,则( ).
A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内存在无数条与a不平行的直线
D.平面α内任意一条直线都与a平行
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是( ).
A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.异面或相交
3.若M,N分别是△ABC中边AB,AC的中点,则直线MN与过直线BC的平面β的位置关系是( ).
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN与β相交或MN β
4.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G,A,P的平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
参考答案
课时2 直线与平面平行
自主预习·悟新知
预学忆思
1.CD∥α.
2.直线与平面平行或直线在平面内.
3.一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)×
2.D 【解析】由线面平行的判定定理可知,D正确.
3.B 【解析】∵平面SBC∩平面ABC=BC,EF 平面SBC,又EF∥平面ABC,∴EF∥BC.故选B.
4.【解析】(1)∵BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BC∥AD.
(2)由(1)知,BC∥AN,∵N是AD的中点,BC=AD,∴BC=AN,
∴四边形ABCN是平行四边形,∴CN∥AB.
又CN 平面PAB,AB 平面PAB,∴CN∥平面PAB.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:平行.
问题2:可以,只需在平面内找一条直线与平面外的直线平行即可.
问题3:不一定,要强调直线在平面外.
新知生成
(1)平面外 此平面内 平行 (2)l∥a a α l α
新知运用
例1 D 【解析】由a∥b,且a∥α,知b∥α或b α.
巩固训练 B 【解析】如图所示,连接BD,AC,AE,CE,BD1,设AC∩BD=O,
则易知O是BD的中点,连接OE,
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,∴OE∥BD1,
又OE 平面ACE,BD1 平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
例2 【解析】如图,连接AN并延长,交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC,所以=,
又因为=,
所以=,所以MN∥SP,
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
巩固训练 【解析】如图,连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台DEF-ABC中,因为AC=2DF,G为AC的中点,所以DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形,所以O为CD的中点.又H为BC的中点,所以OH∥BD.又OH 平面FGH,BD 平面FGH,所以BD∥平面FGH.
探究2 情境设置
问题1:不一定,因为还可能是异面直线.
问题2:无数个.a∥b.
新知生成
(1)相交 平行 (2)a β,α∩β=b
新知运用
例3 【解析】因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理可得AB∥PQ.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.
变式探究 【解析】因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,
因为AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD=EF,且BC 平面BCFE,所以BC∥EF.
因为AD=BC,AD≠EF,所以BC≠EF,
所以四边形BCFE是梯形.
巩固训练 【解析】如图,连接AN,设它与平面α交于点Q,连接OQ,PQ,因为OQ是平面ABN与平面α的交线,
b 平面ABN,b∥α,所以OQ∥BN,同理,QP∥AM,在△ABN中,O是AB的中点,OQ∥BN,所以Q是AN的中点,又因为QP∥AM,所以P是MN的中点.
例4 【解析】如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,
则平面SAC∩平面BEF=FG.
∵SA∥平面BEF,SA 平面SAC,平面SAC∩平面BEF=FG,
∴SA∥FG,∴=.
∵AE∥BC,∴△GEA∽△GBC,
∴==,
∴==,
即SF=SC,∴λ=.
巩固训练 【解析】∵EF∥平面AB1C,
又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF 平面ADC,
∴EF∥AC.
∵E是AD的中点,∴F为CD的中点.
∵AC=AB=2,
∴EF=AC=×2=.
随堂检测·精评价
1.BC 【解析】过直线a可作无数个平面与α相交,由线面平行的性质定理可知,这些交线都与a平行,所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条,故A不正确,B正确;若直线a平行于平面α,则直线a与平面α内的直线有两种位置关系,分别为平行或异面,所以平面α内存在与a不平行的直线,且有无数条,故C正确,D不正确.故选BC.
2.B 【解析】由AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,得CD∥α,
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
3.C 【解析】若平面β是△ABC所在的平面,则MN β;若MN β,因为MN∥BC,BC β,所以MN∥β.故选C.
4.【解析】如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又因为M是PC的中点,
所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM,OM 平面BDM,
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM=GH,AP 平面PAHG,
所以AP∥GH.8.5 课时1 直线与直线平行
【学习目标】
1.会判断空间两直线的位置关系.(逻辑推理)
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.空间中两条直线有几种位置关系
2.已知在同一平面内的三条直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,该结论在空间中是否成立
3.如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线一定平行吗
4.等角定理中,什么情况下两角互补
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. ( )
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等. ( )
(3)如果两条直线都和第三条直线成等角,那么这两条直线平行. ( )
(4)如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. ( )
2.已知a,b是异面直线,直线c∥a,那么c与b( ).
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
3.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( ).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
4.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则直线MN与A'C'的位置关系是 .
【合作探究】
空间中两条直线的位置关系
问题1:观察上图台阶,每个台阶的边沿所在的直线有什么关系
问题2:
如图,将一张长方形的纸对折几次后打开,观察这些折痕有怎样的位置关系 并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立.
基本事实4(平行定理)
(1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)符号语言:a∥b,b∥c a∥c.
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:四边形BFD1E是平行四边形.
如图1所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到达C'D'的位置(如图2),G,H分别为AD',BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
图1 图2
【方法总结】基本事实4表述的性质通常叫作空间直线平行的传递性,利用该事实解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,求证:GH∥MN.
等角定理
观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'.
问题1:这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系
问题2:测量一下,这两个角的大小关系如何
等角定理
(1)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言:对于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1F=∠E1CF1.
【方法总结】(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补.
(2)证明角相等,一般采用三种途径:①利用等角定理及推论;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
【随堂检测】
1.已知空间中的两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β=( ).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( ).
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
3.如果两个三角形不在同一平面内,但它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ).
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为AA1,BB1,CC1的中点.求证:∠MC1N=∠APB.
参考答案
8.5 空间直线、平面的平行
课时1 直线与直线平行
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相交、平行、异面.
2.成立.
3.不一定,这两条直线可能相交、平行或异面.
4.若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,则这两个角互补.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.C 【解析】假设c与b平行,由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b,与a,b是异面直线矛盾,故c与b不可能是平行直线.
故选C.
3.C 【解析】当∠B'A'C'与∠BAC的两组对应边方向相同时,∠B'A'C'=30°,当一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反时,∠B'A'C'=150°.故选C.
4.平行 【解析】如
图所示,∵M,N分别为CD,AD的中点,
∴MN∥AC,且MN=AC.
由正方体的性质可得AC A'C',
∴MN∥A'C',且MN=A'C',
即直线MN与A'C'平行.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:平行.
问题2:平行.成立.
新知运用
例1 【解析】如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE.
因为F为CC1的中点,
所以BG∥FC1,且BG=FC1,
所以四边形BFC1G是平行四边形,
所以BF∥GC1,BF=GC1.
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1,
所以四边形EGC1D1是平行四边形,
所以ED1∥GC1,ED1=GC1,
所以BF∥ED1,BF=ED1,
所以四边形BFD1E是平行四边形.
例2 【解析】在题图1中,∵四边形ABCD为梯形,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,
∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
在题图2中,易知C'D'∥EF∥AB.
∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),
∴GH∥EF,GH=EF,∴四边形EFGH为平行四边形.
巩固训练 【解析】如图,取PA的中点Q,连接BQ,CQ,则M,N分别在BQ,CQ上.
∵M,N分别为△PAB,△PAC的重心,
∴==,
∴MN∥BC.
又G,H分别为PB,PC的中点,
∴GH∥BC,
∴GH∥MN.
探究2 情境设置
问题1:分别对应平行.
问题2:相等.
新知运用
例3 【解析】如图
所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,F1M,则BF=A1M.
又∵BF∥A1M,∴四边形A1FBM为平行四边形,∴A1F∥BM.
∵F1,M分别为C1D1,A1B1的中点,
∴F1M C1B1.
又C1B1 BC,∴F1M BC,
∴四边形F1MBC为平行四边形.
∴BM∥CF1.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
同理,取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,
∴∠EA1F=∠E1CF1.
巩固训练 【解析】
因为F为BB1的中点,所以BF=BB1.
因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.
又BB1 DD1,所以BF D1G,
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB,同理可得D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的两条对应边分别平行且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】∵空间中的两个角α,β的两边分别对应平行,
∴这两个角相等或互补.
∵α=60°,∴β=60°或β=120°.
故选D.
2.A 【解析】∵E,F分别是SN,SP的中点,
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,
∴EF∥HG.
故选A.
3.D 【解析】由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.故选D.
4.【解析】因为N,P分别是BB1,CC1的中点,所以BN∥C1P,BN=C1P,
所以四边形BPC1N为平行四边形,所以C1N∥BP.
同理可证C1M∥AP,又∠MC1N与∠APB的方向相同,所以∠MC1N=∠APB.8.5 课时3 平面与平面平行
【学习目标】
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.(数学抽象)
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.(逻辑推理)
【自主预习】
1.应用面面平行判定定理时应具备哪些条件
2.如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗
3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行. ( )
(2)两个平面同时与第三个平面相交,若两交线平行,则这两个平面平行. ( )
(3)夹在两平行平面间的平行线段的长度相等. ( )
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,则l∥m. ( )
2.已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,下列说法正确的是( ).
A.若m∥n,n∥α,则m∥α B.若m∥α,n α,则m∥n
C.若α∥β,m α,则m∥β D.若m∥n,m α,n β,则α∥β
3.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是( ).
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
4.如图,若过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l,则l与B1D1的位置关系为 .
【合作探究】
平面与平面平行的判定
如何判断桌子的桌面是否水平 工人师傅将水平仪在桌子上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的,否则桌面就不是水平的,这是为什么呢 (注:当水平仪的气泡居中时,水平仪所在的直线就是水平线)
问题1:情境中给出的判断两平面平行的方法是什么
问题2:若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
问题3:若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
问题4:平面平行有传递性吗
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号语言 a α,b α,a∩b=P,a∥β,b∥β α∥β
图形语言
特别提醒:判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
一、平面与平面平行判定定理的理解
已知α,β是两个不重合的平面,则下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( ).
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
【方法总结】1.在判定两个平面是否平行时,一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件,线不在多,相交就行.
2.对于平面与平面平行的判定问题,可以借助常见的几何体(如正方体)来进行分析.
设α,β是两个不同的平面,m是直线且m α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加的条件是( ).
A.n是直线且n α,n∥β
B.n,m是异面直线且n∥β
C.n,m是相交直线且n α,n∥β
D.n,m是平行直线且n α,n∥β
二、平面与平面平行的证明
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.
【方法总结】平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行:若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2,DE=BF,BF∥DE,M为棱AE的中点.求证:平面BMD∥平面EFC.
平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
问题1:平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗
问题2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,则m∥n吗
问题3:若过BC的平面交平面A1B1C1D1于DE,DE与BC是什么关系
平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 .
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b .
(3)图形语言:
使用平面与平面平行的性质定理时,下列三个条件缺一不可:
①两个平面平行,即α∥β;
②第一个平面与第三个平面相交,即α∩γ=a;
③第二个平面与第三个平面也相交,即β∩γ=b.
一、平面与平面平行性质定理的应用
如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.
【方法总结】应用面面平行的性质定理的基本步骤
如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在 A'B'C'D'所确定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形.
二、面面平行的性质定理有关的计算
设平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB与直线CD交于点S,且S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,求SD的长.
【方法总结】关于平行平面分线段成比例定理
类比平面内的平行直线分线段成比例定理,在空间中也有平行平面分线段成比例定理.
如图,已知α∥β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB与α,β分别相交于点A,B,直线PD与α,β分别相交于点C,D.
(1)求证:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.
三、线线、线面、面面平行的转化
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形,D,E分别是棱AB,A1B1的中点,N为线段C1E上的一点.证明:BN∥平面A1DC.
【方法总结】空间中各种平行关系相互转化的示意图
注意:判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系;性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB,G,H分别是EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
【随堂检测】
1.下列命题正确的是( ).
A.如果一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行
2.“平面α与平面β平行”的充分条件是( ).
A.α内有无数条直线都与β平行
B.直线a α,直线b β,且a∥β,b∥α
C.α内的任何一条直线都与β平行
D.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点为P,过点A1作与截面PBC1平行的
截面,则该截面的面积为 .
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P 时,A1P∥平面BCD.(答案不唯一,填一个满足题意的条件即可)
参考答案
课时3 平面与平面平行
自主预习·悟新知
预学忆思
1.①平面α内两条相交直线a,b,即a α,b α,a∩b=P;②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.
2.不是.
3.平行.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C 【解析】若m∥n,n∥α,则m∥α或m α,A不正确;
若m∥α,n α,则m∥n或m与n异面,B不正确;
若α∥β,则α与β没有公共点,又因为m α,所以m与β没有公共点,所以m∥β,C正确;
若m∥n,m α,n β,则α∥β或α与β相交,D不正确.
3.A 【解析】因为平面ABCD∥平面A'B'C'D',所以EF∥E'F'.故选A.
4.平行 【解析】如图所示,连接D1P,B1P,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,所以l∥B1D1.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面即可.
问题2:不一定,也可能相交.
问题3:不一定,也可能相交.
问题4:有.若α,β,γ为三个不重合的平面,则α∥β,β∥γ α∥γ.
新知生成
两条相交直线
新知运用
例1 D 【解析】A,C不正确,因为两个平面可能相交;B不正确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行;D正确,因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种,又因为两个平面不相交,所以这两个平面必定平行.故选D.
巩固训练 C 【解析】要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,n,m是相交直线且n α,n∥β,m α,m∥β,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
例2 【解析】(1)因为B1B DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,
所以B1D1∥BD,又BD 平面B1D1C,B1D1 平面B1D1C,
所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD=D,A1D,BD 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1,B1D1 平面EB1D1,BD 平面EB1D1,得BD∥平面EB1D1.
如图,取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G,
又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形,
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD,
又因为GF=AD,
所以四边形ADFG是平行四边形,所以AG∥DF,
所以B1E∥DF,
又B1E 平面EB1D1,DF 平面EB1D1,
所以DF∥平面EB1D1.
因为BD∩DF=D,BD,DF 平面FBD,所以平面EB1D1∥平面FBD.
巩固训练 【解析】如图,连接AC,交BD于点N,连接MN,则N为AC的中点,
因为M为AE的中点,所以MN∥CE.
因为MN 平面EFC,CE 平面EFC,
所以MN∥平面EFC,因为BF∥DE,BF=DE,
所以四边形BDEF是平行四边形,所以BD∥EF.
因为BD 平面EFC,EF 平面EFC,
所以BD∥平面EFC.
因为BD∩MN=N,BD,MN 平面BMD,
所以平面BMD∥平面EFC.
探究2 情境设置
问题1:是的.
问题2:不一定,也可能异面.
问题3:平行.
新知生成
(1)平行 (2)a∥b
新知运用
例3 【解析】因为BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC=B,BE 平面BCE,BC 平面BCE,
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
巩固训练 【解析】在 A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',
∵A'B' 平面C'D'DC,C'D' 平面C'D'DC,
∴A'B'∥平面C'D'DC.
同理可得A'A∥平面C'D'DC.
又A'A∩A'B'=A',A'A,A'B' 平面A'B'BA,
∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.
∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,
平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
例4 【解析】根据题意作出图形,如图所示.
∵AB,CD交于点S,∴AB与CD确定一个平面,记为平面γ,则平面γ∩平面α=AC,平面γ∩平面β=BD,
又∵平面α∥平面β,∴AC∥BD,
∴△SAC∽△SBD,
∴=,
∵AS=8,BS=6,CS=12,
∴=,∴SD=9.
巩固训练 【解析】(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和直线PD确定一个平面,记为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=BD,
又α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD,所以=,
即=,解得CD=,
所以PD=PC+CD=.
(3)如图,由(1)得AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD,
所以=,
即=,
所以=,解得PD=.
所以CD=PC+PD=3+=.
例5 【解析】连接BE,BC1,DE,如图所示.因为AB∥A1B1,且AB=A1B1,D,E分别是棱AB,A1B1的中点,所以BD∥A1E,且BD=A1E,所以四边形BDA1E为平行四边形,所以A1D∥EB,又A1D 平面A1DC,EB 平面A1DC,所以EB∥平面A1DC.
因为DE∥BB1∥CC1,且DE=BB1=CC1,
所以四边形DCC1E为平行四边形,所以C1E∥CD,
又CD 平面A1DC,C1E 平面A1DC,所以C1E∥平面A1DC.
因为C1E∩EB=E,C1E,EB 平面BEC1,所以平面BEC1∥平面A1DC.
因为BN 平面BEC1,所以BN∥平面A1DC.
巩固训练 【解析】
如图,取FC的中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF.
因为EF∥DB,所以GI∥DB.
因为BD 平面ABC,GI 平面ABC,所以GI∥平面ABC.同理,HI∥平面ABC.
因为GI∩HI=I,GI 平面GHI,HI 平面GHI,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI,所以GH∥平面ABC.
随堂检测·精评价
1.B 【解析】如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,那么两平面平行.
2.C 【解析】C选项是面面平行的定义,对于A,B,D,当平面α与平面β相交时都有可能满足.
3.2 【解析】
过点A1与截面PBC1平行的截面为菱形A1MCN,如图所示,其中M为AB的中点,N为D1C1的中点.
易知MN=2,A1C=2,
故菱形A1MCN的面积S=×2×2=2.
4.在CC1的中点F与BB1的中点E的连线线段上 【解析】设CC1,BB1的中点分别为F,E,连接A1E,A1F,EF(图略),则EF∥BC,A1F∥CD,∴EF∥平面BCD,A1F∥平面BCD,又EF∩A1F=F,EF,A1F 平面A1EF,∴平面A1EF∥平面BCD,故线段EF上的任意一点与A1的连线都平行于平面BCD.
