8.6 课时3 直线与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握空间中线面垂直的性质定理.(直观想象)
2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在的直线与平面ABCD的位置关系如何
2.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗
3.在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.每排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直,这些电线杆之间的位置关系是什么
4.如果直线a∥直线b,直线a⊥平面α,那么直线b也垂直于平面α吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行. ( )
(2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ( )
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行. ( )
(4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( )
2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为( ).
A.1 B.
C.2 D.2
3.如图所示,正四面体A-BCD的棱长为1,则点A到平面BCD的距离为 .
第3题图 第4题图
4.如图,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF= .
【合作探究】
直线与平面垂直的性质
世界上的高楼大厦太多了,如上海中心大厦,如图所示.
问题1:上海中心大厦外墙的每列玻璃所在的直线与地面有何位置关系
问题2:每列玻璃所在的直线是什么位置关系
问题3:过一点有几条直线与已知平面垂直
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行; ②作平行线
特别提醒:(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法;(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的点,N是A1C上的点,且MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.
【方法总结】证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义:证明共面且无公共点.
(2)利用三条直线平行的基本事实:证明两条直线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面垂直.
如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:EF∥BD.
点、线、面到面的距离问题
如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=2,AA1=2,点B1在底面ABCD上的射影为BC的中点H.
问题1:点B1到平面ABCD的距离是多少
问题2:点C1到平面ABCD的距离是多少
线面距离、平行平面间的距离
(1)一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.
(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 ,我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
如图1,已知在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿对角线BD将其翻折,使∠ABC=90°,设此时AC的中点为O,如图2.
(1)求证:点O是点D在平面ABC上的射影.
(2)求点A到平面BCD的距离.
【方法总结】从平面外一点作一个平面的垂线,这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时,可利用线面平行、面面平行的性质进行转化,比如从与已知平面等距离的点作垂线,然后计算,也可以利用等体积法转换求解.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4.
(1)证明:AC1⊥平面BCD.
(2)求点D到平面ABC1的距离.
直线与平面垂直关系的综合应用
如图,已知△ABC为直角三角形,AB为斜边,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足.
(1)求证:EF⊥PB.
(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.
【方法总结】线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,以此分析题设,观察图形,找到解题突破口.
(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
如图所示,已知AF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.求证:
(1)AC⊥平面BCE;
(2)AD⊥AE.
【随堂检测】
1.(多选题)《蝶恋花·春景》是北宋苏轼写的一首词作.其下阕为:“墙里秋千墙外道.墙外行人,墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄,多情却被无情恼.”假如将墙看作一个平面,墙外的道路和墙内的秋千绳、秋千板近似看作直线,那么道路和墙面可看作线面平行,当秋千静止时,秋千板与墙面可看作线面垂直,秋千绳与墙面可看作线面平行.在佳人荡秋千的过程中,( ).
A.秋千绳与墙面始终线面平行
B.秋千绳与道路始终线线垂直
C.秋千板与墙面始终线面垂直
D.秋千板与道路始终线线垂直
2.在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的( ).
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
3.如图, ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE= .
4.如图所示,已知平面α∩平面β=EF,A为α,β外一点,AB⊥α于点B,AC⊥β于点C,CD⊥α于点D.求证:BD⊥EF.
参考答案
课时3 直线与平面垂直的性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.棱AA',BB'所在的直线都与平面ABCD垂直.
2.一定共面,由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
3.平行.
4.是的,直线b也垂直于平面α.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.B 【解析】如
图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO的长度.
∵AB=2,∴AC=2,∴CO=AC=.
3. 【解析】如
图,设O是底面△BCD的中心,则AO⊥平面BCD,则线段AO为点A到平面BCD的距离.又因为BO 平面BCD,所以AO⊥BO,又正四面体A-BCD的棱长为1,所以BO=××1=,AO===.
4.6 【解析】∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.
∵AF=DE,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴EF=AD=6.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:垂直.
问题2:平行.
问题3:有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与两条直线过同一点相矛盾,故只有一条直线.
新知生成
平行 a∥b
新知运用
例1 【解析】因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
巩固训练 【解析】∵PA⊥平面ABD,BD 平面ABD,∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BCD,BD,EF 平面BCD,∴PC⊥BD,PC⊥EF.
∵PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
又EF⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC 平面PAC,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD.
探究2 情境设置
问题1:由题知B1H⊥平面ABCD,所以点B1到平面ABCD的距离为B1H的长度,又B1H==,所以点B1到平面ABCD的距离为.
问题2:因为B1C1∥BC,B1C1 平面ABCD,BC 平面ABCD,所以B1C1∥平面ABCD,
所以点C1到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离相等,所以点C1到平面ABCD的距离为.
新知生成
(1)任意一点 (2)都相等
新知运用
例2 【解析】(1)如图所示,连接DO,因为DA=DC,O为AC的中点,所以DO⊥AC.
已知菱形ABCD的边长为2,又因为∠ABC=90°,所以AC=2,连接BO,则BO=.
因为DA=DC=2,AC=2,所以DA2+DC2=AC2,所以DA⊥DC,
所以DO=,又BD=2,所以DO2+OB2=DB2,所以DO⊥OB,
又AC∩OB=O,AC,OB 平面ABC,所以DO⊥平面ABC,
所以点O是点D在平面ABC上的射影.
(2)设点A到平面BCD的距离为h,
由(1)得BD=BC=DC=2,则∠DCB=60°,
所以△BCD的面积为BC·DC·sin 60°=×2×2×=,则VA-BCD=S△BCD·h=h.
由题意得△ABC的面积为BC·AB=×2×2=2,
由(1)知,DO⊥平面ABC,DO=,所以VD-ABC=S△ABC·DO=×2×=.
由VA-BCD=VD-ABC,得h=,所以h=,即点A到平面BCD的距离为.
巩固训练 【解析】(1)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以CC1⊥BC.
因为BC⊥AC,AC∩CC1=C,AC,CC1 平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,又AC1 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.
因为AB=4,AC=BC,所以AC=2.
又D是AA1的中点,AA1=4,所以=,所以△ADC∽△CAC1,则AC1⊥CD.
因为BC∩CD=C,BC,CD 平面BCD,所以AC1⊥平面BCD.
(2)由(1)知,BC⊥平面ACC1A1,所以=·BC=××2×2×2=.
因为AC1==2,BC1==2,所以AC1=BC1,所以=AB·=4.
设点D到平面ABC1的距离为d,由=,得d=,解得d=,
即点D到平面ABC1的距离为.
探究3
例3 【解析】(1)因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC.
因为△ABC为直角三角形,AB为斜边,
所以BC⊥AC,又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为AF 平面PAC,所以BC⊥AF.
又AF⊥PC,且PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC,所以AF⊥PB.
因为AE⊥PB,且AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
所以PB⊥平面AEF.
因为EF 平面AEF,所以EF⊥PB.
(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,
又l⊥平面AEF,所以PB∥l.
巩固训练 【解析】(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,
所以AC=BC=2,
所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD,AF∥BE,
所以BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC.
又BE∩BC=B,BE,BC 平面BCE,
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以AF⊥AD.
又∠DAB=90°,所以AB⊥AD.
又AF∩AB=A,AF,AB 平面ABEF,
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF,所以AD⊥AE.
随堂检测·精评价
1.ACD 【解析】在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终线面平行,但与道路所在直线所成的角在变化.而秋千板与墙面始终线面垂直,故与道路也始终线线垂直,故选ACD.
2.A 【解析】如
图,设点P在平面ABC内的射影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC.
连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
又PA=PB=PC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
则OA=OB=OC,∴O为△ABC的外心.
3. 【解析】因为AF⊥平面ABCD,AF∥ED,所以ED⊥平面ABCD,又CD 平面ABCD,所以ED⊥CD,所以△EDC为直角三角形,故CE==.
4.【解析】∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面.
∵AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,∴AB⊥EF,AC⊥EF.
又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABDC,∴EF⊥平面ABDC.
∵BD 平面ABDC,∴BD⊥EF.8.6 课时2 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.借助长方体,通过直观感知,理解空间中直线与平面的垂直关系.(直观想象)
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理.(逻辑推理)
3.理解直线与平面所成的角.(数学运算)
【自主预习】
1.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化 若不变,夹角大小为多少
2.空间两条垂直直线一定相交吗
3.我们知道线面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α. ( )
(2)若直线与平面所成的角为α,则0°<α≤90°. ( )
(3)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. ( )
(4)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. ( )
2.(多选题)如果一条直线垂直于一个平面内的( ),那么能保证该直线与平面垂直.
A.三角形的两边 B.梯形的两边
C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于 ;AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ;AB1与平面DCC1D1所成的角等于 .
【合作探究】
直线与平面垂直的定义
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头上有画直角的矩,但它用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成了一把叫作曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图,如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗
问题2:问题1说明了直线与平面垂直的条件是什么
问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)记法:l⊥α.
(3)有关概念:直线l叫作平面α的 ,平面α叫作直线l的 ,它们唯一的公共点P叫作 .
(4)画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离.
下列命题中,真命题的个数是( ).
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法总结】对直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性,既是判定又是性质.判定,指它是判定直线与平面垂直的方法;性质,指如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线,即“l⊥α,a α l⊥a”,这是证明线线垂直的一种方法.
若直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能( ).
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
直线与平面垂直的判定
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).如图,观察折痕AD与桌面的位置关系.
问题1:折痕AD与桌面一定垂直吗
问题2:当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直
直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直.
(2)符号语言:a α,b α, ,l⊥a,l⊥b l⊥α.
(3)图形语言:
如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
(1)求证:PC⊥平面AEF.
(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.
【方法总结】线线垂直和线面垂直的相互转化
如图在四面体PABC中,已知BC=6,PC=10,PB=2.F是线段PB上一点,CF=,点E在线段AB上,且
EF⊥PB.求证:PB⊥平面CEF.
直线与平面所成的角
如图,斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻结构重量,节省材料.
问题1:图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗
问题2:能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗
问题3:直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗
直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交,但不和平面α垂直,如图中
斜足 斜线和平面的 , 如图中
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ,过 和 的直线叫作斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为
直线与平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,如图中 . 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ,则
如图,这是四棱锥P-ABCD的平面展开图,四边形ABCD是矩形,ED⊥DC,FD⊥DA,DA=3,DC=2,∠FAD=30°,则在四棱锥P-ABCD中,BP与平面PDC所成角的正切值为( ).
A. B. C. D.
【方法总结】求直线与平面所成角的步骤:(1)寻找过斜线上斜足以外的一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求;(3)把该角放在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
【随堂检测】
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
2.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是( ).
A.α∥β,且m α B.m∥n,且n⊥β
C.m⊥n,且n β D.m⊥n,且n∥β
3.已知在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则直线OA与平面OBC所成角的正弦值为( ).
A. B.
C. D.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.
参考答案
课时2 直线与平面垂直的判定
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不变,90°.
2.不一定相交.空间两条直线垂直分为两种情况:一种是相交垂直,一种是异面垂直.
3.不一定.当这两条直线平行时,直线可能与平面平行或相交或在平面内,所以不一定垂直.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.AC 【解析】三角形的两边必相交,圆的两条直径必相交,而梯形、正六边形中的两边不一定相交,由线面垂直的判定定理知,应选AC.
3.C 【解析】由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
4.45° 45° 0° 【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,且∠B1AB=45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,且∠B1AA1=45°;显然,AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:不能.
问题2:直线垂直于平面内的两条相交直线.
问题3:不一定.
新知生成
1.(1)任意一条 (3)垂线 垂面 垂足
新知运用
例1 B 【解析】当l与α内的无数条直线垂直时,若这无数条直线为平行直线,则l与α不一定垂直,故①错误;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与α垂直,故②错误;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③错误,④正确.故选B.
巩固训练 A 【解析】因为直线l⊥平面α,所以l与α相交.
又因为m α,所以l与m可能相交或异面.
由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m,故l与m不可能平行.
探究2 情境设置
问题1:不一定.
问题2:当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直.
新知生成
(1)两条相交直线 (2)a∩b=P
新知运用
例2 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC.
由底面ABCD为矩形,得AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为AE 平面PAB,所以AE⊥BC.
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,所以AE⊥平面PBC,因为PC 平面PBC,所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF,又AG 平面AEF,所以PC⊥AG.
因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD.
又PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD.
因为AG 平面PAD,所以CD⊥AG.
又PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,所以AG⊥平面PCD,因为PD 平面PCD,所以AG⊥PD.
巩固训练 【解析】在△PCB中,∵PC=10,BC=6,PB=2,CF=,
∴PC2+BC2=PB2,∴△PCB为直角三角形,PC⊥BC.
又PC·BC=PB·CF,∴PB⊥CF.
又EF⊥PB,EF∩CF=F,EF,CF 平面CEF,∴PB⊥平面CEF.
探究3 情境设置
问题1:不同.
问题2:能.
问题3:能.
新知生成
直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO ∠PAO
90° 0° 0°≤θ≤90°
新知运用
例3 D 【解析】如图,在四棱锥P-ABCD中,由题意得PD⊥DA,PD⊥DC,又DA∩DC=D,
DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD,
又BC 平面ABCD,所以PD⊥BC.
又四边形ABCD是矩形,所以BC⊥DC.
因为PD∩DC=D,PD,DC 平面PDC,
所以BC⊥平面PDC,故∠BPC为BP与平面PDC所成的角,
其中BC=DA=3,∠PAD=30°,所以PD=DAtan 30°=3×=,
又DC=2,PD⊥DC,所以PC==,
所以tan∠BPC===.
巩固训练 【解析】(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.
设A1A=1,则AC=,∴tan∠A1CA=.
故直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为.
(2)如
图,连接A1C1交B1D1于点O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又∵BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BDD1B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O,连接BO,
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°.故直线A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】因为梯形两腰所在的直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.故选A.
2.B 【解析】A中,由α∥β,且m α,知m∥β,A不符合题意;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,B符合题意;C,D中,可得m β或m∥β或m与β相交,C,D不符合题意.故选B.
3.D 【解析】根
据题意,设O,A,B,C是正四面体O-ABC 的4个顶点,
则点A在平面OBC上的射影是正△OBC的中心D,如图.
设OB=1,则OA=1,可得OD=×1×sin =,
则高AD===,
设直线OA与平面OBC所成的角为θ,则sin θ=.故选D.
4.【解析】如
图,连接AC,BD,显然AC⊥BD.
∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A 平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC.
又∵A1C 平面A1AC,∴BD⊥A1C.
同理可得BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.8.6 课时1 直线与直线垂直
【学习目标】
1.借助长方体,通过直观感知,理解空间中直线与直线垂直的关系.(直观想象)
2.会求两异面直线所成的角.(数学运算)
【自主预习】
1.异面直线所成的角的定义是什么
2.异面直线所成的角的范围是什么
3.异面直线垂直的定义是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与通过平移转化后两直线的交点O的位置有关,即点O位置不同时,该角的大小也不同. ( )
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°. ( )
(3)如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条直线也与第三条直线垂直.( )
(4)空间中两条直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°.( )
2.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ).
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能
3.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的大小为 .
【合作探究】
异面直线所成的角
问题1:如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗 如果不同,如何表示这种差异呢
问题2:异面直线有没有夹角呢 若有,那如何找出这个夹角
异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间 一点O作直线a'∥a,b'∥b,则直线a'与b'所成的角就是异面直线a与b所成的 (或 ).
(2)空间中两条异面直线所成角θ的取值范围: .特别地,当θ= 时,a与b互相垂直,记作 .
特别提醒:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,可通过转化为相交直线所成的角来求解.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.
在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.若AC=BD=2,且AC与BD所成的角为60°,求EG的长.
【方法总结】求两条异面直线所成角的三个步骤
(1)根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;
(2)证明作出的角就是要求的角;
(3)求角的值,常利用解三角形的方法求解.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
如图所示,在长方体ABCD-EFGH中,AB=AD=2,AE=2.
(1)求直线BC和EG所成的角;
(2)求直线AE和BG所成的角.
直线与直线垂直
问题1:什么是直线与直线垂直
问题2:两条直线垂直,一定相交吗
异面直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
直线a与直线b垂直,记作a⊥b.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
【方法总结】证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
(2)在平面几何图形中,利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形底边的中线和底边垂直进行证明.
已知对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,判定四边形MNPQ的形状.
【随堂检测】
1.设P是直线l外的一个定点,过点P且与l成30°角的异面直线( ).
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线与B1D1垂直的是( ).
A.BC1 B.A1D
C.AC D.BC
3.在四面体ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是 .
参考答案
8.6 空间直线、平面的垂直
课时1 直线与直线垂直
自主预习·悟新知
预学忆思
1.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.设θ为异面直线a与b所成的角,则0°<θ≤90°.
3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.D 【解析】如
图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DC⊥CC',BC⊥CC',BC与DC相交;
DA⊥CC',BC⊥CC',DA与BC平行;
A'C'⊥CC',BC⊥CC',BC与A'C'互为异面直线.故选D.
3.B 【解析】因为a∥OA,且异面直线所成的角为锐角或直角,
所以a与OB所成的角为60°.
4.60° 【解析】依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角就是异面直线BD与AC所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:不同,可以通过角度表示.
问题2:有,通过平移,用同一平面内两直线的夹角来刻画异面直线所成的角.
新知生成
(1)任 角 夹角 (2)0°<θ≤90° 90° a⊥b
新知运用
例1 【解析】
如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,
由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1(或其补角)就是异面直线A1B与AC1所成的角.
设AB=a,∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=AC=AA1,
∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a.又∠BAC=90°,
在矩形ABDC中,AD=a,
∴A1D1=a,∴A1+A1B2=B,
∴∠BA1D1=90°,在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.
例2 【解析】如图,连接HE,HG,在△ABD中,因为H,E分别为AD,AB的中点,所以HE∥BD,HE=1.
在△ACD中,因为H,G分别为AD,CD的中点,所以HG∥AC,HG=1,因为AC与BD所成的角为60°,所以∠EHG=60°或∠EHG=120°.
当∠EHG=60°时,△EHG为等边三角形,所以EG=1.
当∠EHG=120°时,由余弦定理可得EG2=1+1-2×1×1×-=3,即EG=.
所以EG的长为1或.
巩固训练 【解析】(1)连接AC(图略).
∵EG∥AC,∴∠ACB就是BC和EG所成的角.
∵在长方体ABCD-EFGH中,AB=AD=BC=2,
∴∠ACB=45°,
∴直线BC和直线EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF,∴∠FBG就是AE和BG所成的角.
易知tan∠FBG=,又∵∠FBG∈0,,∴∠FBG=60°,
∴直线AE和BG所成的角是60°.
探究2 情境设置
问题1:直线与直线垂直是指两直线所成的角是直角.
问题2:不一定.当两条异面直线所成的角为90°时,这两条异面直线垂直,但不相交.
新知运用
例3 【解析】
如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥DB1,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.
巩固训练 【解析】如图所示,
∵M,N,P,Q分别是四条边的中点,
∴MN∥AC,且MN=AC,PQ∥AC,且PQ=AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,
∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】过点P且与l成30°角的异面直线有无数条,并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.
2.C 【解析】连接BD(图略),∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD.
∵B1D1∥BD,∴AC⊥B1D1,故选C.
3.A 【解析】如图,取AD的中点H,连接FH,EH,∵E,F分别
为AC,BD的中点,∴EH∥CD,HF∥AB,∴∠HEF为直线EF与CD所成的角(或其补角),在△EFH中,∵EF⊥AB,∴∠EFH=90°,∵CD=2AB,∴HE=2HF,
∴∠HEF=30°,故选A.
4.60° 【解析】
连接AD1,如图所示,则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,
连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,
∴∠CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.8.6 课时4 平面与平面垂直
【学习目标】
1.借助长方体,通过直观感知,理解空间中平面与平面的垂直关系.(直观想象)
2.了解二面角的相关概念,平面与平面垂直的定义.(数学抽象)
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
【自主预习】
1.二面角的定义是什么
2.二面角的平面角的定义是什么
3.二面角的平面角α的取值范围是什么
4.面面垂直是怎样定义的
5.面面垂直的判定定理的内容是什么
6.面面垂直的性质定理的内容是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
(2)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直. ( )
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β. ( )
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线也垂直于另一个平面. ( )
2.若直线l⊥平面α,l 平面β,则α与β的位置关系是( ).
A.平行 B.可能重合
C.垂直 D.相交但不垂直
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是 .
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的正切值为 .
【合作探究】
二面角的概念
随手打开一本书,每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.
问题1:根据上述问题,你发现两个半平面形成的角有何特点
问题2:两个半平面所成的角θ的范围是什么
问题3:二面角的平面角的大小是否与角的顶点在棱上的位置有关
1.二面角的定义:从一条直线出发的 所组成的图形.
相关概念:①这条直线叫作二面角的 ;②两个半平面叫作二面角的 .
2.二面角的画法:
二面角的记法:可记为二面角 或 或 或P-AB-Q.
3.二面角的平面角:若O l,OA α,OB β,OA l,OB l,则二面角α-l-β的平面角是 .
特别提醒:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小可以用它的平面角来度量,体现了由空间图形向平面图形转化的思想;(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
【方法总结】求二面角的大小关键是作出该二面角的平面角,求二面角的大小的步骤:(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求二面角A-BD-C的大小.
平面与平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.
问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系
问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法
1.平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.
2.平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直.
(2)符号语言:l⊥α, α⊥β.
(3)图形语言:
特别提醒:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”.
如图,四边形ABCD为正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分别为PB,PC的中点,点E在MB上.求证:平面EFG⊥平面PDC.
【方法总结】证明面面垂直的方法
(1)定义法:证明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法:若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于此平面.
如图,P为圆锥PO的顶点,A,B为底面圆O上的两点,∠AOB=,E为PB的中点,点F在线段AB上,且AF=2FB.证明:平面AOP⊥平面OEF.
平面与平面垂直的性质
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.
问题1:在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗
问题2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直
问题3:如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系呢 如果直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直吗
平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,如果 有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面
符号 语言 a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 垂直; ②作面的垂线
如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB.
【方法总结】证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑使用面面垂直的性质定理.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于两平面的交线.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AC=BC=CC1,D是AA1的中点,且∠ACB=90°,∠DAC=60°.证明:AA1⊥平面CBD.
【随堂检测】
1.已知平面α,β,若α⊥β,α∩β=l,点P∈α,点P l,则下列说法正确的是( ).
①过点P且垂直于l的平面垂直于β;
②过点P且垂直于l的直线垂直于β;
③过点P且垂直于α的直线平行于β;
④过点P且垂直于β的直线在α内.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论错误的是( ).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
3.如图,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B.若∠APB=80°,则二面角α-l-β的大小为 .
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.证明:平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
参考答案
课时4 平面与平面垂直
自主预习·悟新知
预学忆思
1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.
2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.
3.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
4.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
5.如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
6.两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.C 【解析】由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.
3.平行 【解析】因为α⊥β,α∩β=l,n β,n⊥l,所以n⊥α.
又m⊥α,所以m∥n.
4. 【解析】
如图,连接AB1,B1C,AC,取AC的中点O,连接B1O,BO.
由AB=BC,得BO⊥AC.由AB1=B1C,得B1O⊥AC.故∠B1OB为二面角B-AC-B1的平面角.不妨设正方体的棱长为1,则在△ABC中,BO=AC=.因为B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥BO,所以∠B1BO=90°.又B1B=1,所以tan∠B1OB==.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:可以是零角、锐角、直角、钝角、平角.
问题2:0°≤θ≤180°.
问题3:
无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
新知生成
1.两个半平面
2.①棱 ②面
4.α-l-β α-AB-β P-l-Q
5.∈ ⊥ ⊥ ∠AOB
新知运用
例1 【解析】
如图,取CD的中点为M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知,∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
设H是△BCD的重心,
则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,则cos∠AMB==.
故二面角A-CD-B的余弦值为.
巩固训练 【解析】因为AC⊥平面BCD,BD 平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC为二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△ACD中,因为AC=AD,所以∠ADC=30°,即所求二面角的大小为30°.
探究2 情境设置
问题1:垂直.
问题2:可以,只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可.
新知生成
2.(1)垂线 (2)l β
新知运用
例2 【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D,PD,DC 平面PDC,
∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中,G,F分别为PB,PC的中点,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
巩固训练 【解析】设圆O的半径为r,在△AOB中,OA=OB=r,∠AOB=,所以∠OAB=,故AB=r.
又AF=2FB,所以AF=.
在△AOF中,由余弦定理得OF2=OA2+AF2-2OA·AF·cos∠OAF=r2.
因为OA2+OF2=AF2,所以OA⊥OF.
在圆锥PO中,因为PO⊥平面OAB,OF 平面OAB,所以PO⊥OF.又OA∩OP=O,OA,OP 平面AOP,所以OF⊥平面AOP.
又OF 平面OEF,所以平面AOP⊥平面OEF.
探究3 情境设置
问题1:不一定,也可能平行、相交(不垂直).
问题2:只要保证所画的线与两平面的交线垂直即可.
问题3:平行或相交;如果直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直.
新知生成
一个平面内 交线 垂直 a α a⊥l ①线面
新知运用
例3 【解析】(1)如图,连接PG,BD,
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形.
∵G为AD的中点,
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.
又PG∩BG=G,PG,BG 平面PBG,∴AD⊥平面PBG.又PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
巩固训练 【解析】如图,连接CA1,由题意可知,△ACA1为等边三角形,且D是AA1的中点,所以CD⊥AA1.
因为平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面ACC1A1.因为AA1 平面ACC1A1,所以BC⊥AA1.又CD∩BC=C,CD,BC 平面CBD,所以AA1⊥平面CBD.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】当过点P且垂直于l的直线不在α内时,该直线与β不垂直,故②不正确;①③④正确.
2.C 【解析】由题意及面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,故A,B,D正确.
3.100° 【解析】设所求的角为θ,
∵PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,
∴θ+∠APB=180°,∴θ=100°.
4.【解析】因为A1C⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以A1C⊥BC.
因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.
又因为A1C,AC 平面ACC1A1,A1C∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BCC1B1,
所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
