2025二轮复习专项训练25
圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度．
【练前疑难讲解】
一、圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)．
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、椭圆、双曲线的性质
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
三、抛物线的性质
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
3．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ）
A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值
B．当时，
C．有且仅有4个点，使得为直角三角形
D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．设到直线的距离分别为，则
D．若直线的斜率分别为，则
三、填空题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 ；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D ABD BD
1．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
2．D
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.
【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，
于是，
因此，
当且仅当时取等号，则，即，离心率，
所以双曲线离心率的最小值为.
故选：D
3．ABD
【分析】A：先求解出椭圆方程，然后根据焦点三角形的周长等于求得结果；B：先求解出的纵坐标，由此可求，根据椭圆定义可求；C：先计算焦点三角形顶角的最大值，然后再分析点的个数；D：先计算出为定值，然后可计算出.
【详解】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号，
又因为的最大值为，所以，
因为，所以，所以椭圆的方程为，
因为的周长为，故A正确；
对于B：当时，，所以，
所以，所以，
因为，所以，故B正确；
对于C：设椭圆的上顶点为，因为，
所以，所以的最大值为，
所以存在个点，使得，
又因为存在个点使，存在个点使，
所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误；
对于D：因为，设，
则，所以，
所以，
因为，所以，故D正确，
故选：ABD.
4．BD
【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式可判断A；根据重心相关性质即可判断B；根据抛物线的定义可判断C；根据题意求得直线的斜率，代入等式计算可判断D.
【详解】对于A，因为为抛物线上任意三点，且，
所以F为的重心，，
所以
又，即，故A错误；
对于B，延长交于点，
因为为的重心，所以，且是的中点，
因为，在中，有，所以，故B正确；
对于C，抛物线方程为，所以抛物线的准线为，
所以到直线的距离之和，
因为三点不一定共线，所以，
即，故C错误；
对于D，因为，，
两式相减,得：,
所以,
同理可得,,
所以，故D正确.
故选：BD.
5．
【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出的关系即可作答.
【详解】根据题意画出图象如下：
由得，又，所以，
双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离，所以在中，，
由余弦定理得，
即，化简得，即，
解得或，因为，所以.
则双曲线的渐近线方程为．
故答案为：.
6．
【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，得到，再抛物线的定义，求得，不妨设，得出的直线方程为，联立方程组，结合焦点弦长，即可求解.
【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为，
且恰过，，三点中的两点，
因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点，
又因为在第一象限，在第三象限，
即抛物线不可能同时过和两点，
所以抛物线经过与两点，
设抛物线的方程为，则，解得，即，
过抛物线的交点的直线与交于两点，且到的距离为，
由抛物线的定义，可得，解得，
则，可得，
结合抛物线的对称性，不妨设，
因为抛物线的焦点为，则的直线方程为，
联立方程组，整理得，可得，
则.
故答案为：；.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陕西商洛·三模）已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等
C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平
10．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
11．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
三、填空题
13．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 .
14．（2023·广东深圳·一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
15．（2024·湖南长沙·一模）已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则 .
16．（2023·四川成都·一模）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2021·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
19．（2021·四川·二模）已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B B C D C BCD BD
题号 11 12
答案 AC AD
1．D
【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.
【详解】由可知，设，则，,,
则由余弦定理可得
化简可得，故，（舍去），
又,
所以，化简可得，故，
故选：D
2．D
【分析】由椭圆的定义得到，再结合，得到当时，取得最大值，从而得到，即可求出，从而得解.
【详解】由椭圆的定义得，
所以．
又，
所以当时，取得最大值，，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：D．
3．A
【分析】利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可
【详解】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．
故选：A．
4．B
【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程.
【详解】由焦距为4可得，即，又，
所以，可得，即；
则的渐近线方程为.
故选：B
5．B
【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】因为，为的中点，
所以，，
所以，又， ，
所以，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】结合图象利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，得到，求得即得.
【详解】
如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，
同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得，
又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故.
故选：C．
7．D
【分析】由椭圆离心率为列式求得参数，进一步将抛物线方程化为标准方程即可得焦点坐标.
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，解得，
则抛物线的标准方程为，它的焦点坐标为.
故选：D.
8．C
【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.
【详解】因为点在抛物线上，，
所以，所以，
所以，所以，解得.
故选：C
9．BCD
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
10．BD
【分析】不妨设椭圆方程为，设，，求出和椭圆的离心率后，可得答案.
【详解】不妨设椭圆方程为，
设，，则，
所以，，，
所以，
因为为定值，所以M的值与Р点在椭圆上的位置无关，故A不正确，B正确；
椭圆的离心率，
所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确，D正确.
故选：BD
11．AC
【分析】根据题意 ，利用双曲线的几何性质，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确；
对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误；
对于C中，由，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误．
故选：AC
12．AD
【分析】根据双曲线方程先求解出，然后再逐项分析即可.
【详解】因为双曲线方程，所以，
对于A：实轴长为，故A正确；
对于B：因为，所以焦点坐标，故B错误；
对于C：因为，所以渐近线方程，故C错误；
对于D：因为，所以离心率，故D正确；
故选：AD.
13．
【分析】设，从而根据可得，联立椭圆的方程可解出的值，从而得出点到轴的距离．
【详解】由椭圆方程得，，，设，
则：，；
由得： （1）；
又点在椭圆上，可得（2）；
（1）（2）联立消去得，；即；
故点到轴的距离是．
故答案为：．
14．
【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，代入条件即可求解.
【详解】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案为：.
15．
【分析】根据双曲线的定义，点在以，为焦点的双曲线上，有且只有一个点，即是指直线与双曲线只有一个公共点即可.
【详解】由，且，
知点在以，为焦点的双曲线上，.
设，因，则
，由于， .
若直线与双曲线的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点.
所以，解得.
故答案为：.
16．
【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到离心率.
【详解】化为，圆心为，半径为1，
的渐近线方程为，
则，解得：，即，
故离心率为2.
故答案为：2.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.
（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
18．(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，
.
19．（1）；（2）证明见解析.
【分析】(1)由题设条件分析讨论，再用抛物线定义即可得解；
(2)求出点A坐标，利用抛物线方程设出点C，D坐标，由条件探求出这两点纵坐标关系即可得解.
【详解】（1）依题意，线段的长度等于到的距离，由抛物线定义知，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为；
（2）将代入得，则，，如图：
设抛物线E上动点，显然直线AC，AD斜率存在，
，同理，因为，则，
，
直线的斜率，
即直线的斜率为定值-1.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知是椭圆的左 右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·湖北武汉·三模）已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·天津·一模）已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．或4 B． C．或4 D．4
二、多选题
10．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线的斜率为
C．为等腰三角形
D．
11．（2024·全国·模拟预测）关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点，过点作轴的垂线，垂足为．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则双曲线的渐近线方程为
B．若点为线段的三等分点，则双曲线的离心率为3
C．若点为线段的三等分点，，则双曲线的方程为
D．若的面积为1，则双曲线的焦距长的最小值为4
13．（2024·广西贺州·一模）“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点作垂直的延长线于H，则
三、填空题
14．（2024·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为 .
15．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
16．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为 ．
17．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
四、解答题
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
19．（2024·吉林白山·一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率．
(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
(2)若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
（ⅰ）求；
（ⅱ）记，求数列的前项和．
22．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一 三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A C B B C A ACD
题号 11 12 13
答案 AD BD ACD
1．A
【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率.
【详解】
由题意结合椭圆定义可知：的周长为，，
又因为，
所以，又由，知，
故，因此椭圆的离心率为.
故选：A
2．D
【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解.
【详解】
因为椭圆：，所以，，所以，
所以，，
因为点 在上，所以，所以，，
又，，所以，
又，，
所以，
因为大于，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：.
3．B
【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
【详解】因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.
4．A
【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解.
【详解】如图，
因为双曲线，所以，
由双曲线的对称性知，
所以，
由双曲线定义可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故选：A
5．C
【分析】双曲线的左顶点，设，根据图形特征求出点坐标，从而可求的面积.
【详解】由题意得，点B和点C在双曲线的左支上，
若是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A为直角顶点，
设，由对称性有，
则有 ，代入双曲线方程，解得，，
则有等腰直角三角形的斜边，三角形的高，
所以.
故选：C.
6．B
【分析】直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得到，结合是MN的中点，可得，由抛物线的定义可将转化为，当三点在一条直线时，可求得的最小值.
【详解】圆C：的圆心，
当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，
设直线的方程为，化简为：，
，消去可得：，
设，，所以，
因为是MN的中点，所以，解得：，
故，，由抛物线的定义可知，过点作交于点，
过点作交于点，
所以，所以，
当三点在一条直线时取等.
故选：B.
7．B
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，
由，直线的倾斜角为，得，则，，
又，则为正三角形，，因此点，
双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
8．C
【分析】根据向量关系可得，进而可得，，利用三角形相似可得，将其代入抛物线方程即可求解.
【详解】设双曲线的焦距为，
抛物线的准线过双曲线的焦点，
，
又到的距离，即，
，，
，则，
，得，
过作轴，则，
故，
因此
由于在抛物线上，所以即，
，故，
故．
故选：C．
9．A
【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解.
【详解】双曲线的右顶点坐标为，焦点为，
渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，
所以题中圆的方程为，
因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，
所以两点关于轴对称，
不妨设点在第一象限，设，则，
则，所以，
因为点在圆上，
所以，解得或，
所以或，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于轴对称，得出两点关于轴对称，求得点的坐标，是解决本题的关键.
10．ACD
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可.
【详解】对于A，连接，，，
，，
，
在中，，
故有，解得，则，
而在中，，，故A正确，
对于B，而的倾斜角为，而，
则，故B错误.
对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确，
对于D，因为，则，故，
易知的方程为，设，
联立方程组，解得或，
故，又，即，
由两点距离公式得，
而，，故D正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】当时，表直线，求出直线方程即可判断A；根据双曲线的形式，即可判断B；化为标准方程，根据椭圆方程形式，即可判断C；设出的坐标，表示出，结合椭圆的方程，即可判断D.
【详解】对于A项，当，即时，方程为，解得，因此可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A选项正确；
对于B项，若为双曲线，则，即，故为钝角或平角，故B选项错误；
对于C项，若为锐角，则，即.
将原方程化为标准方程为，因此为焦点在轴上的椭圆，故C选项错误；
对于D项，若为椭圆，则为锐角，
设椭圆方程为，则，
不妨设，
将点的坐标代入椭圆方程得，即，
故，故选项正确.
故选：AD．
12．BD
【分析】根据知为等边三角形，据此求出渐近线斜率，可判断A，设点坐标得出点坐标，根据点在圆上求出点为双曲线的右顶点，据此求离心率判断B，由B求出，得出双曲线方程判断C，由，再利用均值不等式求最值判断D.
【详解】由题意得圆的方程为.
对于A，不妨设点在第一象限，则，若，则为等边三角形，
所以直线的斜率为，所以双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于B，不妨设点在第一象限，点的坐标为，，则，
因为点在圆上，所以，所以，
又，所以，所以（负值已舍去），
则点为双曲线的右顶点.又点为线段的三等分点，所以，即，
所以双曲线的离心率，故B正确；
对于C，由选项B可知，则，，所以，
所以双曲线的标准方程为，故C错误；
对于D，不妨设点在第一象限，联立，得，所以点的坐标为，
因为，所以，所以，
当且仅当时等号成立，所以，则双曲线的焦距长的最小值为4，故D正确.
故选：BD.
13．ACD
【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.
【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得，
于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确.
B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误.
C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确.
D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，因此.故D正确.
故选：ACD
14．
【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，
显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得，
于是，
当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
15．
【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可.
【详解】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
16．
【分析】由题意可知双曲线为等轴双曲线，四边形为矩形，设双曲线的半焦距为，利用双曲线的定义和勾股定理，及的面积为2，求出与的值即可得双曲线的焦距.
【详解】双曲线为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为，则
由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，，
不妨设点在的右支上，，则，
所以，得，
所以，得，
又，所以的焦距为．
故答案为：．
17．
【分析】由直线EF与渐近线方程联立求出E的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．
【详解】直线EF与渐近线方程联立得解得，，
∴EF中点M的坐标为，
又M点在双曲线上，代入其标准方程，得，
化简得，∴，．
故答案为：．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；
（2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可；
（3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可.
【详解】（1）由题设得，解得，
所以的方程为；
（2）由题意可设，设，，
由，整理得，
．
由韦达定理得，，
由得，
即，
整理得，
因为，得，解得或，
时，直线过定点，不合题意，舍去；
时，满足，
所以直线过定点．
（3））由（2）得直线，所以，
由，
整理得，，
由题意得，
因为点与连线的斜率为，所以，所以，
令，，
所以，在上单调递减，
所以的范围是．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据以及整体代换法求得结果；
（2）设直线,与椭圆方程联立得出韦达定理，再表示，结合韦达定理求出结果.
【详解】（1）设，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距为，可得，则，
结合，∴，，
∴双曲线的标准方程为：．
（2）如图，
由（1）知，，设，．
因为不与重合，所以可设直线．
联立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
20．(1)椭圆:，抛物线:
(2)
【分析】（1）根据焦点求出可得抛物线方程，代入点以及关系可得椭圆方程；
（2）利用导数求出抛物线的切线方程，将切线方程联立可得点坐标，再求出，点到的距离，表示出，消元，利用二次函数的性质求最值.
【详解】（1）由，得，故抛物线的标准方程为，
由，得，得，
由椭圆过点，得，
得，，
故椭圆的标准方程为；
（2）设，，由得，，
故抛物线在点处的切线方程为，化简得，
同理可得抛物线在点处的切线方程为．
联立得，得，
易得直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，得，，
故，，
因此，由于点在椭圆上，故．
又，
点到直线的距离，
故．
令，又，
故，其中，
因此当时，最大，则，
所以，
即的面积的最大值为．
21．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）根据椭圆的离心率得到之间的关系，再结合椭圆过点，求出的值，从而得到椭圆的方程.
（2）（ⅰ）利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点的坐标，再根据三点共线得之间的关系；（ⅱ）求得，并利用等比数列的前项和公式求得.
【详解】（1）因为，，所以，
所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线与轴重合，不符合题意.
故直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，,
联立方程，消去并整理得，
因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以，
根据韦达定理得，，
则，
同理可得，
因为三点共线，所以，
易知，
则，
因为，所以.
（ⅱ）结合（ⅰ）可知，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和三点共线，求出点的坐标，从而得到.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据距离公式列等量关系即可求解，或者利用抛物线的定义求解，
（2）根据点差法可得斜率关系，联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解长度，由点到直线的距离公式表达面积，即可利用导数求解函数的最值.
【详解】（1）解法一：设，易知，
根据题意可得，化简得，
所以的方程为.
解法二：因为点到定点的距离比到定直线的距离小，
所以点到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义可知，点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）证明：设，直线的斜率为，线段的中点为，
因为平行四边形MANB对角线的交点在第一 三象限的角平分线上，
所以线段的中点在直线上，
设，所以
所以，
又
所以，即.
设直线的方程为，
即，
联立整理得，
所以，解得，
，
则
.
又点到直线的距离为，
所以，
记，
因为，所以，
所以.
令，则，
令，可得，
当时，在区间,内单调递增，当时，在区间上单调递减，
所以当，即时，取得最大值，即，
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
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圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度．
【练前疑难讲解】
一、圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)．
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、椭圆、双曲线的性质
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
三、抛物线的性质
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
3．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ）
A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值
B．当时，
C．有且仅有4个点，使得为直角三角形
D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．设到直线的距离分别为，则
D．若直线的斜率分别为，则
三、填空题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 ；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陕西商洛·三模）已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等
C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平
10．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
11．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
三、填空题
13．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 .
14．（2023·广东深圳·一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
15．（2024·湖南长沙·一模）已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则 .
16．（2023·四川成都·一模）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2021·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
19．（2021·四川·二模）已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知是椭圆的左 右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·湖北武汉·三模）已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·天津·一模）已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．或4 B． C．或4 D．4
二、多选题
10．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线的斜率为
C．为等腰三角形
D．
11．（2024·全国·模拟预测）关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点，过点作轴的垂线，垂足为．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则双曲线的渐近线方程为
B．若点为线段的三等分点，则双曲线的离心率为3
C．若点为线段的三等分点，，则双曲线的方程为
D．若的面积为1，则双曲线的焦距长的最小值为4
13．（2024·广西贺州·一模）“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点作垂直的延长线于H，则
三、填空题
14．（2024·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为 .
15．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
16．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为 ．
17．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
四、解答题
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
19．（2024·吉林白山·一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率．
(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
(2)若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
（ⅰ）求；
（ⅱ）记，求数列的前项和．
22．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一 三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.
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