2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆中相似与锐角三角函数综合问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆中相似与锐角三角函数综合问题
1．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线（提示：利用DE是直角三角形斜边的中线进行证明）；
（2）若BD＝8，CD＝6，DE＝4，求∠EOC的正切值．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作弦DE分别交AB，BC于点F，G，且点C是的中点，连结CD，BD．
（1）若∠ABC＝α，则∠BCD＝　 　．（用含α的代数式表示）
（2）若AB⊥ED，当△GCD为等腰三角形时，求∠ABC的度数．
（3）若，求的值．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的动点，连结AD，AG，DG，CG．DG与AB交于点P，延长AG，DC相交于点F．
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知CDAB，
①若AB＝10，tan∠F，求△CGF的周长；
②在点G的运动过程中，当△APG成为以AP为腰的等腰三角形时，求的值．
4．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求BC的长和⊙O的半径．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ABC＝2∠ADE；
（2）若，BC＝9，求⊙O的半径．
6．如图，△ABE的顶点A，B在⊙O上，AE，BE与⊙O分别交于点F，D，AC为⊙O的直径，D为的中点，连接CD，DF．
（1）求∠DFE的度数．
（2）若AB＝4，，求AE的长．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝6，，求⊙O的半径．
8．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）若AB＝10，，求⊙O的半径；
（3）若F是AB中点，直接写出BD、CE与AF的数量关系．
9．四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O直径，连结BD，过A作AH⊥BD于点H．
（1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAH；
（2）如图2，延长AH交CD于点G，连结OD，且OD∥AB；
①求证：BD＝CD；
②若cos∠BAC，AH＝3，求CG的长．
10．如图，BC为圆O的直径，已知AD⊥BC，点P在CB延长线上，AB平分∠PAD．
（1）求证：PA是圆O的切线；
（2）若，圆的半径为5，求PA，PB的长．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，且AD⊥CD于点D，延长DA交⊙O于点M，连结CM交AB于点F．
（1）如图1，作CE⊥AB于点E，
①求证：△CDA≌△CEA；
②若AE＝EF，CF＝3，求FM的长．
（2）若，求tan∠AMC．
12．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记顶角∠BAC为α，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若α＝50°，求的度数．
（2）若sinα，BC＝2，求直径AB的长．
13．⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，⊙O的直径为10，点D是弧ACB上的一点，连结BD，AD，过点A作AE⊥BD于点E．
（1）如图1，若点D在上，∠EAD＝α，求∠BAC的度数（用含α的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，若tanα，求S△ABC．
（3）若弦BD经过圆心O，连结CD，且，求DE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CO平分∠BCD，过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，，求AD的长．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠BAC，交BC于点O．以O为圆心，OC为半径作⊙O，分别交AO，BC于点E，F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）延长AO交⊙O于点D，连接CD，CE，若AD＝6，AC＝2，求tanD的值．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD于点H．
（1）求的值；
（2）求证：BH﹣HD＝CD；
（3）若tan∠ABC＝3，求的值.
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点H，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，，求BC和AH的长．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，连接OA，过B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：∠DBC＝∠BAD；
（2）若，，求⊙O半径的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
由题意可得：AC⊥OC，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线
（2）解：∵BD＝8，CD＝6，
∴，
∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
即，
∴
连接OE，则OE∥AB，
∴∠EOC＝∠B，
∴．
2．【解答】解：（1）如图a所示，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵点C是的中点，
∴∠ABC＝∠DBC＝α，即∠ABD＝2α，
∴∠BAD＝90°﹣2α，
又∵∠BAD与∠BCD所对弧为弧BD，
故∠BCD＝90°﹣2α，
故答案为：90°﹣2α．
（2）当△GCD为等腰三角形时，可分为GD＝CD或CG＝CD或GC＝GD三类情形：
设∠ABC＝α，
∵AB⊥ED，
则有①当GD＝CD时，∠CGD＝∠BCD，如图b所示，
∴∠FGB＝90°﹣α＝∠CGD，
由（1）知∠BCD＝90°﹣2α，
即90°﹣α＝90°﹣2α，无解，故此种情形不成立；
②当CG＝CD时，有∠CGD＝∠CDG，如图c所示，
同理得∠CGD＝90°﹣α，连接AD，
∵∠CDA＝∠ABC＝α，
由（1）知∠BAD＝90°﹣2α，从而知∠ADE＝2α，
故∠CDG＝α+2α＝3α，
即90°﹣α＝3α，解得α＝22.5°；
③当GC＝GD时，有∠GCD＝∠GDC，如图d所示，连接AD，
∵∠GCD＝90°﹣2α，同理得∠GDC＝3α，
即90°﹣2α＝3α，解得α＝18°，
综上，∠ABC＝22.5°或18°．
（3）如图e所示，
∵tan∠BAC，设AC＝2k，BC＝3k，则由勾股定理有AB，
∴sin∠ABC＝sin∠CBD，
∵点C是的中点，
∴AC＝DC，
又∵CD＝CG，
∴AC＝DC＝CG＝2k，
∴BG＝BC﹣CG＝3k﹣2k＝k．
延长BD至H，
从而有AC＝HC．
设∠ABC＝α，由（1）可得∠BCD＝90°﹣2α，
∵四边形ABDC为⊙O内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
又∵∠BDC+∠CDH＝180°，
∴∠CDH＝∠BAC＝90°﹣α，
∵CD＝CG，
∴∠GDC45°+α，
∴∠GDB＝180°﹣∠CDH﹣∠GDC＝45°．
作GM⊥BD于点M，
∵sin∠CBD，
∴GMk，
∴GD．
连接EB，
∵∠BEG＝∠DCG，∠EGB＝∠CGD，
∴△EBG∽△CDG，
∴，
∴EG，
∴DE＝EG+DG，
∴．
3．【解答】（1）证明：连接BG，如图：
∵CD⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠F+∠BAF＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAF＝90°，
∴∠ABG＝∠F，
∵，
∴∠ADG＝∠ABG，
∴∠ADG＝∠F；
（2）解：①连接BG，OD，如图：
∵AB＝10，CDAB，
∴CD10＝6，
∵CD⊥AB，
∴DECD6＝3，
∵ODAB＝5，
∴OE4，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9，
∴AD2＝DE2+AE2＝32+92＝90，
∴AD＝3，
由（1）知，∠ABG＝∠F，
∵tanF，
∴tan∠ABG，
∴，
设AG＝3x，则BG＝4x，
∵∠AGB＝90°，AB＝10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得x＝2（负值已舍去），
∴AG＝3x＝3×2＝6，
∵∠DAG＝∠FAD，∠ADG＝∠F，
∴△ADG∽△AFD，
∴，即，
∴AF＝15，
∴GF＝AF﹣AG＝15﹣6＝9，
∵四边形ADCG为圆的内接四边形，
∴∠GCF＝∠DAF，
∵∠F＝∠F，
∴△GCF∽△DAF，
∴，
∴，
解得CG，CF＝9，
∴CF+GF+CG＝9+918，
∴△CGF的周长为18；
②连接OD，BD，如图：
设AB＝10k，
∵CDAB，
∴CD10k＝6k，
∵CD⊥AB，
∴DECD6k＝3k，
∵ODAB＝5k，
∴OE4k，
∴AE＝OA+OE＝9k，BE＝OB﹣OE＝k，
∴BDk，AD3k，
（Ⅰ）当AP＝AG时，
∴∠AGP＝∠APG＝∠DPB，
∵，
∴∠AGP＝∠ABD，
∴∠DPB＝∠ABD，
∴PD＝BDk，
∴PEk，
∴AP＝AE﹣PE＝9k﹣k＝8k＝AG，BP＝BE+PE＝k+k＝2k，
由相交弦定理可得AP BP＝PD PG，
∴PGk，
∴DG＝PD+PGkkk，
∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG，
∴△GCF∽△GAD，
∴；
（Ⅱ）当AP＝GP时，如图：
∵AP＝GP，
∴∠PAG＝∠PGA．
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠PGA＝∠ADC，
∴∠PAG＝∠ADC．
∵∠ADC+∠DAE＝90°，
∴∠PAG+∠DAE＝90°，
∴∠DAG＝90°，
∴DG为⊙O的直径，
∴DG＝AB＝10k，AGk，
∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG，
∴△GCF∽△GAD，
∴10；
综上所述，的值为或10．
4．【解答】（1）证明：连接OC并延长交⊙O于点M，连接MD，
则：∠M＝∠A，∠CDM＝90°，
∴∠M+∠MCD＝90°，
∵∠BAC＝∠BCD，
∴∠M＝∠BCD，
∴∠BCD+∠MCD＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD．
∴，即BC2＝AB BD；
∵，D为AB中点，
∴，
∴BC2＝AB BD＝16，
∴BC＝4．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中，．
∵，
∴DE＝1．
∴．
∵△BAC∽△BCD，
∴．
设CD＝x，则，CE＝CD﹣DE＝x﹣1．
∵AC2＝CE2+AE2，
∴，
解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去）．
∴CD＝2，，
∵，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为．
5．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
由切线性质可知：OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠ADE＝∠DBE，
∵∠C＝∠ADO＝90°，
∴BC∥OD，
∴∠CBD＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBE，
∴∠CBD＝∠DBE，即∠ABC＝2∠DBE，
∴∠ABC＝2∠ADE；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ACB中，，
∴，
由条件可知OD∥BC，
∴∠ADO＝∠ACB，∠AOD＝∠ABC，
∴△ADO∽△ACB，
∴，即，
解得，
即⊙O的半径为．
6．【解答】解：（1）如图，连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为的中点，
∴，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∵，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵四边形ABDF是圆内接四边形，
∴∠B+∠AFD＝180°，
∵∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠B＝45°；
（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，
由（1）知，∠B＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴，
∵，
∴设AE＝5x，则EH＝3x，
∴AH2+EH2＝AE2，
即，
解得（负值已舍去），
∴．
7．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴DC⊥OC，
∵AE⊥DC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴AC平分∠BAE．
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥OC于点C，
∴∠ACB＝∠OCE＝90°，
∴∠OCB＝∠ACE＝90°﹣∠OCA，
∵OC＝OB，AC＝6，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠ACE，
∴tanB＝tan∠ACE，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB6，
∴OAAB＝3，
∴⊙O的半径长为3．
8．【解答】（1）证明：连OD，如图1，
在△AOC和△AOD中，
，
∴△AOC≌△AOD（SSS），
∴∠ACO＝∠ADO，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O切线；
（2）解：连接OD，如图2，
∵，
∴设BC＝3x，则CA＝4x，
∴（4x）2+（3x）2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
设OD＝OC＝a，则OB＝6﹣a，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O半径为；
（3）解：AF＝BD+CE，理由如下：
连接OD，DE，如图3，
由（1）可知：△AOC≌△AOD，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FCB﹣∠FBC＝180°﹣2∠FCB＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝BD+CE．
9．【解答】（1）证明：∵AC为⊙O直径，AH⊥BD于点H，
∴∠ABC＝∠AHD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAH+∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠BAC＝∠DAH．
（2）①证明：∵OD∥AB，
∴∠AOD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠AOD＝∠BDC，
∵∠OAD＝∠DBC，
∴△OAD∽△DBC，
∴∠ODA＝∠DCB，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD．
②解：如图2，作DL⊥AC于点L，则∠OLD＝∠ALD＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠AHD＝90°，∠BAC＝∠DAH，
∴cos∠AHD＝cos∠BAC，
∵AH＝3，
∴ADAD3＝5，
∴AGAD5，
∴DG，
设OD＝OA＝5m，
∵∠AOD＝∠BAC，
∴cos∠AOD＝cos∠BAC，
∴OLOD5m＝3m，
∴AL＝OA﹣OL＝5m﹣3m＝2m，DL4m，
∴tan∠CAD2，
∴CD＝2AD＝2×5＝10，
∴CG＝CD﹣DG＝10，
∴CG的长是．
10．【解答】（1）证明：连接OA，则∠AOB＝2∠C，
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴，∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠C，
∵AB平分∠PAD，
∴∠PAD＝2∠DAB＝2∠C，
∴∠PAD＝∠AOB，
∴∠OAP＝∠PAD+∠OAD＝∠AOB+∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠PAB＝∠DAB＝∠C，
∴tanC＝tan∠PAB，
∵∠PAB＝∠C，∠P＝∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
∴PC＝2PA，PA＝2PB，
∴PC＝4PB，
∵⊙O的半径为5，
∴BC＝2×5＝10，
∴PB+10＝4PB，
∴PB，
∴PA＝2，
∴PA的长为，PB的长为．
11．【解答】（1）①证明：∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCA+∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CE⊥AB，CD⊥DM，
∴∠D＝∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠OAC＝90°，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵AC＝AC，
∴△CDA≌△CEA（AAS）；
②解：如图1中，连接OM．
∵∠D+∠DCO＝180°，
∴OC∥DM，
∴∠OCM＝∠DMC，
∵AE＝EF，CE⊥AF，
∴CA＝CF，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵DC是切线，
∴∠DCA＝∠DMC．
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACD＝∠ACE＝∠ECF＝∠OCM＝22.5°，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC＝∠DMC＝22.5°，
∴∠AMO＝45°，
∴AMOAOC，
∵OC∥AM，
∴，
∵CF＝3，
∴FM＝3；
（2）解：如图2中，过点O作OH⊥AM于点H．
∵CO∥DM，
∴，
设OA＝OC＝13k，则AM＝10k，
∵AB是直径，AB＝26k，
∴∠AMB＝90°，
∴BM24k，
∵OH⊥AM，
∴∠AHO＝∠AMB＝90°，
∴OH∥BM，
∵AO＝OB，
∴AH＝HM＝5k，
∴OHBM＝12k，
∵∠D＝∠DCO＝∠OHD＝90°，
∴四边形CDHO是矩形，
∴CO＝DH＝13k，CD＝OH＝12k，
∴DM＝DH+HM＝13k+5k＝18k，
∴tan∠AMC．
12．【解答】解：（1）连接AD，OE，
∵以腰AB为直径作半圆，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC为α，α＝50°，
∴∠BOE＝2∠BAC＝2α＝100°，
∴∠AOE＝80°，
∴的度数为80°；
（2）∵sinα，
∴设AB＝AC＝5x，则BE＝4x，
在Rt△ABE中，AE3x，
∴CE＝AC﹣AE＝2x，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴16x2+4x2＝4，解得x（负值舍去），
∴AB＝5x，
∴直径AB的长为．
13．【解答】解：（1）连接AO并延长，交BC于点H，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAHBAC．
∵∠ADB＝∠ACB，∠AED＝∠AHC＝90°，
∴△ADE∽△ACH，
∴∠DAE＝∠CAH＝α，
∴∠BAC＝2∠CAH＝2α；
（2）连接AO并延长，交BC于点H，交⊙O于点F，连接FC，如图，
由（1）知：∠DAE＝∠CAH＝α，
∵tanα，
∴tan∠CAF，
∵AF为⊙O的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴tan∠CAF，
设FC＝a，则AC＝2a，
∵FC2+AC2＝AF2，
∴a2+（2a）2＝102，
∵a＞0，
∴a＝2，
∴AC＝4，FC＝2，
∵，
∴CH4，
∴BC＝2CH＝8，AH8，
∴S△ABC32；
（3）连接AO并延长交BC于点G，如图，
∵，
∴设AC＝2k，则CD＝3k，AB＝AC＝2k，
∵AB＝AC，
∴，
∴AG⊥BC，
∴BG＝GCBC．
∵弦BD经过圆心O，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴DC⊥BC，
∴OG∥DC，
∵OB＝OD，
∴OGCDk，
∵⊙O的直径为10，
∴BD＝10，OA＝5，BC，
∴AG＝5，BG，
∵BG2+AG2＝AB2，
∴，
∴k＝2或k．
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
∴k＝2，
∴AB＝4，
∴AD2，
∵，
∴AE4，
∴DE2．
14．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD（角平分线的定义），
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠OCE+∠E＝180°，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，，
∴BC，
∴，
∵∠OCE＝∠BCA＝90°，
∴∠ACE＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠ACE＝∠B，
∴△ACE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，，
∵∠DEC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【解答】（1）证明：如图，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
由条件可知OC＝OM，
∴OM为⊙O半径，且OM⊥AB，
∴AB是⊙O切线．
（2）解：∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCO＝∠ACE，
∴∠D＝∠DCO，
∴∠ACE＝∠D，且∠EAC＝∠DAC，
∴△ACE∽△ADC，
∴．
∵AD＝6，AC＝2，
∴．
16．【解答】（1）解：如图1，
作射线AO，交BC于E，连接OB，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝∠CAE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE+∠ACB＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BHC＝90°，
∴∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAE＝∠CAD，
∴2；
（2）证明：如图2，
作射线AO，交BD于F，连接CF，连接OA，OB，
由（1）知，
∠CAF＝∠CAD，AF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∵∠AHF＝∠AHD＝90°，
∴∠AFH＝∠ADH，
∴AF＝AD，
∴FH＝DH，
∴CF＝CD，
∴BH﹣HD＝BH﹣FH＝BF＝CD；
（3）解：如图3，
作射线AO，交BD于F，交BC于E，连接CF，连接OA，OB，
由（1）（2）知，
AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE＝∠CAD＝∠CBD，AF＝AD，CD＝CF＝BF，
∴∠BFE＝∠ABC，
∴tan∠BFE＝tan∠ABC，
∴，
设EF＝a，则BE＝3a，AE＝9a，BFa，
∴AD＝AF＝AE﹣EF＝9a﹣a＝8a，CD，
∴．
故答案为：．
17．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴AC∥OD，
∴∠ODE＝∠F．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠ACB＝∠ODE＝90°，
即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：∵，
设⊙O的半径为r，则．
由条件可知∠ABC＝∠E．
∵，
在Rt△OED中，，
即，
解得r＝5，
∴，
∴，根据勾股定理，得．
∵，
∴AC＝6，AF＝8．
根据勾股定理，得．
∴DF＝EF﹣DE＝4，
根据勾股定理，得AD＝4，
由平行线性质可知：，
即，
解得．
18．【解答】（1）证明：连接OB，则OB＝OA，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥OB，
∴∠OBD＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∴∠AOB＝∠OBD，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴OA∥BD，
∴∠OAE＝∠D，
∴∠BAD＝∠OAB﹣∠OAE＝45°﹣∠D，
∴∠DBC＝∠ACB﹣∠D＝45°﹣∠D，
∴∠DBC＝∠BAD．
（2）解：设OB交AD于点E，OA＝OB＝4m，
∵∠AOE＝∠EBD＝90°，∠OAE＝∠D，
∴tan∠OAE＝tanD，
∴OEOA＝3m，
∴AE5m，BE＝OB﹣OE＝4m﹣3m＝m，
∴BDBEm，
∴DEm，
∴AD＝AE+DE＝5mmm，
∵∠DBC＝∠BAD，∠D＝∠D，BC＝2，
∴△BCD∽△ABD，
∴，
∴AB＝5BC＝5×210，
∵ABOA＝10，
∴OA＝10，
∴⊙O半径的长为10．
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