2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆的证明与计算（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆的证明与计算
1．如图，点D在△ABC的BC边上，CD＝2BD，顶点A在以CD为直径的⊙O上，过D作DE⊥BC交CA的延长线于点E，交AB于点F，FE＝FA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，求阴影部分面积．
2．如图，AB为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为点B，点D为⊙O上一点，连接CD并延长交BA的延长线于点E，CD＝CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，DE＝4，求⊙O的半径长．
3．如图1，在⊙O中，直径AB＝6，P是线段AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，D是⊙O上一点，切PC＝PD，连接AC，BD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当∠CPD＝90°时（如图2），求BP的长；
（3）若四边形ACPD是菱形（如图2），求弧CD与线段PC，PD围成的阴影图形的面积．
4．如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小明同学思路如下：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，B，C两点分别落在A，E两点处，易证C，A，E三点在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以，从而得到结论：．
（1）在图1中，若AC＝4，BC＝8，则CD＝　 　；
（2）在图2中，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），连接CA，CB，∠ACB的角平分线CD交⊙O于点D，求证：；
（3）在图2中，若AB＝17，BC＝8，求CD的长．
5．如图，△ABC内接于⊙O，连结AO交CB于点D，交⊙O于点E，已知∠1+∠2＝90°．
（1）求证：；
（2）若CD＝3，AC＝4，求AB的长；
（3）若CA＝CB，设⊙O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）．
6．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D，AI＝2ID＝10，连接CD．
（1）求证：CD＝ID；
（2）求DF的长；
（3）取弦AC的中点E，连接IE，IC，若IC＝6，求IE的长．
7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 　．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，⊙O过点A，B，C，且与BD相交于点E．
（1）如图①，求证：AD是⊙O的切线．
（2）如图②，连接AE，若AB＝AD＝5，BE．
（Ⅰ）求AE的长．
（Ⅱ）直接写出CD的长．
9．如图，在五边形ABCDE中，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，BD平分∠ABC．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）求证：BD＝BA+BC；
（3）若∠AED＝45°，AC＝2，求△ADE面积的最大值．
10．如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使∠DBC＝∠DAB，过点D作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）若，BC＝3，求BD的长；
（3）若圆O的半径为1，设PA＝x，，试求y关于x的函数表达式．
11．如图，已知AB是⊙O的直径．点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BCAB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N．若AB＝6，求MN MC的值．
12．如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．
（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．
（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．
13．如图，AM，BN是⊙O的切线，切点为A、B，AM∥BN，点D，C分别是AM，BN上的点，OD平分∠ADC，⊙O的半径是6，设AD＝x，BC＝y．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）梯形ABCD的面积为78cm2，求AD的长．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为上一点，连结AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G，连结CB交AF于点H．
（1）求证：∠AFC＝∠CAB；
（2）当AF⊥CB时，求证：△CFG是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，若BF＝4，AC＝8，求AF的长．
15．如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，OC＝4，求PA的长．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
16．如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，连结DG交AB于点H，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）①连结BD，若AG∥BD，求HE：CG的值；
②连结AD，若CG∥AD，OH＝2，BE＝1，求⊙O的半径r．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交边AB，BC于点E，F，连结EF交CD于点K，已知BF＝CF．
（1）求证：∠B＝∠DCB；
（2）若，EF＝2，求AC和DE的长；
（3）设，①若，求证：∠B＝30°；
②设tanB＝x（0＜x＜1），请直接写出y关于x的函数解析式．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数．
（2）求证：△ACF∽△OGF．
（3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示）
参考答案
1．【解答】（1）证明：如图，连接OA，AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAF+∠DAF＝90°，∠E+∠ADE＝90°．
∵FE＝FA，
∴∠FAE＝∠E．
∴∠DAF＝∠ADE．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵DE⊥BC，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
∴∠OAD+∠DAF＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为⊙O的半径，
∴⊙O与AB相切；
（2）解：由（1）知：OA⊥AB，
∵CD＝2BD，CD＝2DO，
∴BD＝OD，
∴ADOB＝OD，
∴OD＝OA＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝∠ODA＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵AD⊥EC，
∴AEDE＝1，AD．
∴OA＝OD．
过点A作AH⊥BC于点H，则DH＝OH，
∴AH，
∴阴影部分面积＝S△ADE﹣S弓形AD
AD AE﹣（S扇形OAD﹣S△OAD）
1 OD AH
．
2．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，
∴CB⊥AB，
∴∠B＝90°，
∵CD＝CB，OD＝OB，
∴CD2+OD2＝CB2+OB2＝OC2，
∴△ODC是直角三角形，且∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ODE＝∠B＝90°，
∴DE2+OD2＝OE2，
∵AE＝2，DE＝4，OD＝OA，
∴42+OA2＝（2+OA）2，
解得OA＝3，
∴⊙O的半径长为3．
3．【解答】（1）证明：在⊙O中，P是线段AB延长线上的一点，如图1，连接OC、OD，则OC＝OD．
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠OCP＝∠ODP，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°，即PD⊥OD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：在⊙O中，直径AB＝6，P是线段AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，如图2，连接 OC、OD，由（1）可知，∠ODP＝∠OCP＝90°．
当∠CPD＝90°时，四边形OCPD为矩形．
又∵OC＝OD，
∴四边形OCPD为正方形．
∵AB＝6，
∴OB＝OC＝3，即OD＝OP＝OC＝3，
∴，
∴；
（3）解：在⊙O中，直径AB＝6，P是线段AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，四边形ACPD是菱形，如图3，连接OC、OD，设∠OAC＝α，则∠POC＝2α，
∴∠CPO＝∠OAC＝α．则∠OOP＝2α，
∵PC是⊙O的切线，即∠OCP＝90°．
∴∠COP+∠OPC＝2a+a＝90°，即α＝30°．
∴∠POC＝2α＝60°，
∴∠CPO＝30°，
∵OC＝3，
∴，
∴．
4．【解答】（1）解：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，B，C两点分别落在A，E两点处，
∴BC＝EA，∠ADB＝∠CDE＝90°，CD＝ED，∠CBD＝∠EAD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CBD+∠CAD＝180°，
∴∠CAD+∠EAD＝180°，
∴点C，A，E三点在同一条直线上，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CECD，
∵CE＝AC+EA＝AC+BC，
∴AC+BCCD，
∵AC＝4，BC＝8，
∴CD＝12，
∴CD＝6，
故答案为：6；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
如图，将△DAC绕点D逆时针旋转90°到△DBF处，A，C两点分别落在B，F两点处，
∴CD＝FD，∠CDF＝90°，AC＝BF，CD＝DF，
∵90°＝∠ACB＝∠ADB，
∴180°＝∠CBD+∠CAD，
∴180°＝∠FBD+∠DBC，
∴点C，B，F三点在同一条直线上，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CFCD，
∵CE＝AC+BC＝AC+EA，
∴AC+BCCD；
（3）解：由（2）得：AC+BCCD，∠ACB＝90°，
∴AC15，
∴18+8CD，
∴CD．
5．【解答】（1）证明：如图1，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AEC＝∠2，
∴CD＝CE，
∵tan∠1，
∴；
（2）解：如图2，过点C作CM⊥AE于M，
∵CD＝CE＝3，AC＝4，∠ACE＝90°，
∴AE5，
∴S△ABE3×45CM，
∴CM，
由勾股定理得：EM，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DE＝2EM，
∴AD＝5，
∵∠ADB＝∠2，∠B＝∠E，∠2＝∠E，
∴∠ADB＝∠B，
∴AB＝AD；
（3）解：如图3，连接CO并延长交AB于F，连接OB，
∵CA＝CB，
∴，∠CAB＝∠CBA，
∴CF⊥AB，
∴∠AFO＝∠BFO＝90°，AF＝BF，
由（2）知：∠2＝∠E＝∠ADB＝∠CBA，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
在Rt△AOB中，AF＝BF，
∴OFAB＝AF＝BF，
设AF＝a，则OF＝a，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝a2+a2，
∴ra，
∵S△ABC AB CF，
∴S△ABC 2a（a+r）＝a2+ay．
6．【解答】解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠BCI＝∠ACI，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠BCD，
又∵∠DIC＝∠CAD+∠ACI，∠DCI＝∠BCD+∠BCI，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴CD＝ID．
（2）∵AI＝2ID＝10，
∴AD＝15，ID＝5，
∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠DAC，
∴△DCF∽△DAC，
∴，即CD2＝DF AD
∴52＝DF×15，解得：．
（3）延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM，
∵DI＝DC，
∴DI＝DC＝DM，
∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，
∴IM是直径，
∴∠ICM＝90°，
∴，
∵AI＝2ID＝10，AE＝EC，
∴AI＝IM，．
7．【解答】（1）解：如图，连接BD，OD，
∵，
∴∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝110°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝55°，
∴∠AEB＝125°，
故答案为：70°，125°；
（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
8．【解答】（1）证明：如图①，连接AO，并延长交⊙O于T，交BC于K，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AO⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：（I）如图②，连接AO，并延长交⊙O于T，连接TE，
∴∠ABD＝∠T，
∵AT为直径，
∴∠AET＝90°＝∠TAD，
∴∠T＝90°﹣∠TAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴，
∵，
∴，
解得：DE＝3（负根舍去），
∴AE＝DE＝3；
（II）连接AO，并延长交⊙O于T，连接TE，过A作AN⊥BD于N，过C作CM⊥AD于M，如图③，
由（1）得：AK⊥BC，AK⊥AD，
∴四边形AKCM为矩形，
∴AM＝CK，AK＝CM，
∵AB＝AD＝5，，
∴，，
在直角三角形ABN中，由勾股定理得：，
∵AE＝DE＝3，∠AKC＝∠ANE＝90°，AB＝AC＝AD＝5，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形ACK中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
9．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝60°，
∵，，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）证明：延长AB至F，使BF＝BC，如图1，
∴△BCF是等腰三角形，
∵∠CBF＝180°﹣∠ABD﹣∠CBD＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴CF＝CB，∠FCB＝60°，
由（1）知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠FCB+∠BCA＝∠ACD+∠BCA，
即∠FCA＝∠BCD，
在△FCA和△BCD中，
，
∴△FCA≌△BCD（SAS），
∴FA＝BD，
∵FA＝AB+BF＝AB+BC，
∴BD＝AB+BC；
（3）解：设△ADE的外心为M，连接AM，DM，
∴AM＝MD，
∵∠AED＝45°，
∴∠AMD＝90°，
∴点M为定点，
∵AD＝AC＝2，
∴点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，如图2，
在等腰直角三角形ADM中，MN⊥AD于点N，MN＝1，
当点E，M，N三点共线时，△ADE的面积最大，
∴ME＝MD，
∴EN＝ME+MN，
∴S△ADEAD EN1．
10．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠DAB，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设CD＝a，
∵，
∴AD＝2a，
∴AC＝3a，
∵∠DBC＝∠DAB，∠BCD＝∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴，即，
解得（负值已舍），
∴，
∵∠CDB＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴；
（3）解：如图，连接OD，OE，AE，BF，
∵∠PEA＝∠PBF，∠P＝∠P，
∴△PAE∽△PFB，
∴，
∴PE PF＝PA PB，
∵DE⊥AB，且AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴∠BOE＝∠DFE，
∵∠PFG+∠DFE＝180°，∠POE+∠BOE＝180°，
∴∠POE＝∠PFG，
∵∠P＝∠P，
∴△PEO∽△PGF，
∴，
∴PE PF＝PO PG，
∴PA PB＝PO PG，
设AG＝m，则PG＝x+m，
∴x（x+2）＝（x+1）（x+m），
∴，
∴．
11．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
又∵∠COB＝A+∠ACO＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P，
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC，
∴；
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM，
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM，
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴，
∴BM2＝MN MC，
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM，
∵AB＝6，
∴，
∴．
12．【解答】（1）证明：连接OA并延长交BC于H点，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH垂直平分BC，
∴AH平分∠BAC，
即∠BAC＝2∠BAH，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAH，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）解：设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α，
∵AB为直径，
∴∠BAD＝90°，
当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，
∴α+3α＝90°，
解得α＝22.5°；
当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，
∴2α+3α＝90°，
解得α＝18°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°；
（3）解：∵AH⊥BC，
∴BH＝CHBC＝3，
在Rt△ABH中，AH4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，
解得r，
∴BD＝2r，
在Rt△ABD中，AD，
在Rt△BCD中，CD，
∵AH∥CD，
∴△AEO∽△CED，
∴，
∴，
∴AE5．
13．【解答】（1）证明：，AM，BN是⊙O的切线，OD平分∠ADC，如图1，过点O作OE⊥CD于点E，则∠OED＝90°，
∴∠OAD＝90°，∠ADO＝∠EDO，
在△OAD和△OED中，
，
∴△OAD≌△OED（AAS），
∴OA＝OE，
∵OA是⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AM，BN，CD是⊙O的切线，⊙O的半径是6，如图2，过点D作DF⊥BC于点F，
∴∠MAO＝∠NBO＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝2r＝12，
由切线长定理得：AD＝DE，CB＝CE，
∵AD＝x，BC＝y，
∴CF＝BC﹣BF＝y﹣x，CD＝x+y，
在Rt△DCF中，CD2＝DF2+CF2，即（x+y）2＝122+（y﹣x）2，
化简得；
（3）解：∵梯形ABCD是直角梯形，则cm2，
设AD＝x，由（2）可知，
∴，
化简得x2﹣13x+36＝0，
解得x＝4或x＝9，
∴AD长为4cm或9cm．
14．【解答】（1）证明：∵弦AB⊥直径CD，
∴，
∴∠AFC＝∠CAB；
（2）证明：如图1，
△CFG是等腰三角形，理由如下：
设AF，BC交于点H，
∵AF⊥BC，
∴∠CHF＝90°，
∴∠BCF+∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵，
∴∠ABC＝∠AFC，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠CGH＝∠AFC，
∴CG＝CF，
∴△CFG是等腰三角形；
（3）解：如图2，
连接BG，AD，
由（2）知，
CG＝CF，AF⊥BC，∠BCF＝∠BAF，
∴CH＝FH，∠BDC＝∠BCF，
∴BG＝BF＝4，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，∠DAC＝∠BCD，
∴AG＝BG＝4，∠BAF＝∠ACD，
∴∠AEG＝∠AEC，
∴△AEG∽△CEA，
∴，
∵AE2+EG2＝AG2，
∴（2EG）2+EG2＝42，
∴EG，
∴BE＝AE＝2EG，
∴CE＝2AE，
∴CG＝CE﹣EG，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED＝∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴DE CE＝AE BE，
DE，
∴DE，
∴DG＝DE+EG，
同理可得，
AG FG＝DG CG，
∴4FG，
∴FG，
∴AF＝AG+FG．
15．【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD，
∴OA＝OB，
∴OB是圆的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2，
∵OB⊥PD，OC＝4，
∴，AC＝OA+OC＝2+4＝6，
∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴设PA＝PB＝x，则，
∴在Rt△PAC中，PA2+AC2＝PC2，
∴，
解得，
∴；
（3）在Rt△BCO中，∠CBO＝90°，OC＝2OB，
∴∠BCO＝30°，∠BOC＝60°，
∴∠BOA＝120°，
∴，
，，
∴．
16．【解答】（1））证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠ADC＝∠AGD，
∵四边形AGCD为圆的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC．
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：①连接OG，如图，
∵OA＝OG，
∴∠A＝∠OGA，
∵AG∥BD，
∴∠B＝∠A，
∵∠B＝∠AGD，
∴∠A＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠OGA，
∴DG经过点O，
∴O，H重合，即DG为圆的直径，
∴∠GCD＝90°，
∴CG⊥DC，
∵CD⊥AB，
∴HE∥GC，
∴△DHE∽△DCG，
∴；
②连接BD，AC，如图，
∵⊙O的半径r，OH＝2，BE＝1，
∴BH＝r﹣2，AH＝r+2，HE＝r﹣3，AE＝2r﹣1，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴AD＝AC．
∵CG∥AD，
∴，
∴，
∴AC＝DG，
∴AD＝DG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴△BDE∽△EAD，
∴，
∴DE2＝BE AE＝1×（2r﹣1）＝2r﹣1，
∴ADDG，
∵DH2＝DE2+HE2，
∴DH，
∴HG＝DG﹣DH．
∵∠DHB＝∠GHA，∠AGD＝∠DBA，
∴△BDH∽△GAH，
∴，
∴，
∴r3﹣4r2﹣8r+8＝0，
∴（r+2）（r2﹣6r+4）＝0，
∵r＞0，
∴r2﹣6r+4＝0，
∴r＝3±，
∵由题意：r＞3，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3．
17．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴DF⊥BC，
∵BF＝CF，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠B＝∠DCB；
（2）解：如图2，连接DF，CE，过点E作EM⊥BC于M，
∵，
∴设DF＝3x，BF＝4x，
∴BD＝CD＝5x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD＝5x，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
由勾股定理得：AC6x，
∵S△ABC AC BC AB CE，
∴ 6x 8x 10x CE，
∴CE＝4.8x，
∴DE1.4x，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴△BEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝5.12x，EM＝3.84x，
∴FM＝5.12x﹣4x＝1.12x，
在Rt△EFM中，EF2＝EM2+FM2，
∴22＝（3.84x）2+（1.12x）2，
∴x（负值舍），
∴AC＝6x＝63，DE＝1.4x＝1.40.7；
（3）①证明：如图3，延长CA，FE交于点P，连接DG，CE，DF，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DEC＝∠DGC＝90°，
∴DG⊥AC，
由（1）知：AD＝CD＝BD，
∴AG＝CG，
∵∠DFC＝∠DGC＝∠FCG＝90°，
∴四边形DFCG是矩形，
∴DF＝CG，DF∥AC，
∴△DKF∽△CKP，∠P＝∠DFE，
∴，
∴CP＝3DF，
∴AP＝DF，
∵∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF≌△AEP（AAS），
∴DE＝AE，
∴CE是AD的垂直平分线，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠B＝30°；
②解：如图4，延长CA，FE交于点P，连接DF，CE，
∵∠BFD＝∠BCA＝90°，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，△DFK∽△CPK，
∴，y，
∴AC＝2DF，DF＝CP y，
∵tanBx，
∴DF＝BF x，
设BF＝m，则DF＝mx，AC＝2mx，
∴y，
由勾股定理得：DCm，
∵∠AEC＝∠DFC，∠ACE＝∠B＝∠DCB，
∴△AEC∽△DFC，
∴，
∴AE，
∴DE＝AD﹣AE＝CD﹣AE＝m，
∵DF∥AP，
∴△DEF∽△AEP，
∴，
∴，
∴AP，
∴y．
18．【解答】（1）解：∵AC＝OA，OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACF＝60°，
∴，
∵点E是CD中点，OE经过圆心，
∴OE⊥CD，
∴∠EGD＝90°﹣∠ADC＝60°；
（2）证明：∵∠EGD＝60°，
∴∠FGO＝∠EGD＝60°，
∵∠ACF＝60°，
∴∠ACF＝∠OGF，
∵∠AFC＝∠OFG，
∴△ACF∽△OGF；
（3）解：过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，
由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k，
∴AC＝AO＝OC＝k+1，
∵∠AOC＝60°，
∴，，
∴，
∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，，
∵△ACF﹣△OGF，
∴，
∴，
∴，
∵∠CDA＝30°，
∴在Rt△CMD 中，，
∴，，
∴．
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