河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2024-2025 学年高一下期 03 月测试（一）
数学试题
命题人： 审题人：
一、单选题（此题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．设 ， 是平面内所有向量的一个基底，期下面四组向量中，不能作为基底的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．“ ”是“函数 在 上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的
解析式为
A． B．
C． D．
4．在 中， 是 上一点， ， 是线段 上一点， ，
则
A． B． C． D．
5．已知 的图象为 ，为了得到 的图象，只要把 上所有
的点
1
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
6．
A．2 B．4 C． D．
7．在 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 ，则
的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．在 中，角 所对应的边分别为 ，设 的面积为 ，则 的
最大值为
A． B． C． D．
9．已知向量 满足 ，则下列结论正确的有
A．
B．若 ，则
C． 在 方向上的投影向量为
D．若 ，则 与 的夹角为
二、多选题（此题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
10．已知函数 ，则
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 是 的一个周期 D． 的最小值为
11．已知定义域为 R 的奇函数 ，满足 ，下列叙述正确的是
A．存在实数 k，使关于 x 的方程 有 7 个不相等的实数根
B．当 时，恒有
2
C．若当 时， 的最小值为 1，则
D．若关于 的方程 和 的所有实数根之和为零，则
三、填空题（此题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
12．已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为 ．
13．若“关于 的方程 在 内都有解”是真命题，则 的取值范围
是 ．
14．若函数 在 上有四个零点，则实
数 的取值范围是 ．
四、解答题（此题共 5 小题，共 77 分）
15．（13 分）设 是不共线的两个非零向量．
（1)若 ，求证： 三点共线；
（2)若 与 共线，求实数 k 的值，并指出 与 反向共线时 k
的取值
16．（15 分）已知 的内角 的对边分别为 ，点 在边 上，且满足
．
（1)若 ，证明： ；
（2)若 ，求 ．
3
17．（15 分）某城市平面示意图为四边形 （如图所示），其中 内的区域为居民
区， 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段 和线段 上分
别选一处位置，分别记为点 和点 ，修建一条贯穿两块区域的直线道路 ，线段 与
线段 交于点 ， 段和 段修建道路每公里的费用分别为 10 万元和 20 万元，已知
线段 长 2 公里，线段 和线段 长均为 6 公里， ，设
.
（1)求修建道路的总费用 （单位：万元）与 的关系式（不用求 的范围）；
（2)求修建道路的总费用 的最小值.
18．（17 分）已知函数 是奇函数．
（1)求实数 的值；
（2)判断 的单调性（不要求证明）；
（3)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
19．（17 分）设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得 成立，则称 为
的一个“准不动点”.已知函数
（1)若 ，求 的“准不动点”：
（2)若 为 的一个“准不动点”，且 ，求实数 的取值范围：
（3)设函数 若 使得 成立，求实数 的取值范
围.
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2024-2025 学年高一下期 03 月测试（一）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C B D A ABD BC AC
12． 13． 14．
15．(1)证明见解析
(2) ，
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，
，
所以 ，且有公共点 B，
所以 三点共线.
（2）由 与 共线，
则存在实数 ，使得 ，
即 ，
又 是不共线的两个非零向量，因此 ，
解得 ，或 ，
实数 k 的值是 .
当 时， 与 反向共线
16．(1)证明见解析
1
(2) 或
【分析】（1）根据正弦定理，在 中，由 得 ，在 中，
由 得 ，结合 可得结论；
（2）方法一：由条件结合正弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，结合 可得 关系式，由余
弦定理可得答案．
方法二：因为 ，所以 ，平方可得
．由余弦定理得 ，整理得 ．因为 ，
由正弦定理得 ，从而可得 关系式，由余弦定理可得答案．
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，
由题意得 ，所以 ．
因为 ，所以由正弦定理，得 ，
所以
（2）方法一：因为 ，所以由正弦定理得 ．
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ．
因为 ，所以 ．
2
所以 ，整理得 ，
所以 ，解得 或 ．
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
所以 或 ．
方法二：因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ①．
由余弦定理，得 ②，
由①②整理得 ．
因为 ，所以由正弦定理，得 ．
所以 ，解得 或 ．
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
综上所述， 或 ．
17．(1)
(2)80 万元
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得 ， ，进而可得解析式；
（2）利用三角恒等变换整理可得 ，换元令 ，结
合函数单调性求最值.
3
【详解】（1）在 中，因为 ，可得 ，
在 中，可知 ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 .
（2）由（1）可知：
，
因为 ，则 ，
令 ，则 ，
且 在 上单调递增，可知 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
当 ，即 时，修建道路的总费用 取到最小值 万元.
18．(1)
(2)函数 是增函数
(3)
【分析】（1）利用 可求出 ，再验证即可；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可得答案；
（3）整理得 ，令 ，转化为利用单调性求 可
得答案．
4
【详解】（1） 函数 是奇函数，
，即 ，
，所以 ，且 ，
，即 是奇函数；
（2）函数 是增函数，理由如下，
时，因为 、 是单调递增函数，
根据复合函数单调性的判断方法可得函数 是增函数，
又因为 是奇函数，所以函数 在 上是增函数；
（3） 函数 是增函数也是奇函数，则 ，
，即 时 恒成立，
所以 ，即 ，整理得 ，
令 ，根据指数函数单调性得， 与 都是减函数，所以
也是减函数，
原问题等价于 在 上恒成立，
所以，只需 ．
即实数 的取值范围是 ．
19．(1)0 或 1；
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得 ，利用换元法计算可得；
5
（2）依题意可得 在 上有解，参变分离可得 在 上有解，结
合对勾函数的单调性求出 的取值范围，即可得解；
（3）依题意可得 ，根据 的单调性，求出 的最
值，即可得到 ，换元得到 ，参变分离，结合函数的单调性，
计算可得.
【详解】（1）当 时，由 可得， ，
令 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
的“准不动点”为 0 或 1；
（2）由 得， ，
即 在 上有解，
令 ，由 可得 ，则 在 上有解，
故 ，当 时， 在 上单调递增， ，则
，解得 ，
的取值范围 ；
（3）由 得， ，
即 ，则 ，
又由指数函数的性质可知 在 上单调递增，
，则 ，
即 ，
令 ，则 ，从而 ，则 ，
6
又 在 上均为增函数，则 ， ，
，即 ，所以实数 的取值范围为 .
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子
集.
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