模型49 “射影定理”模型（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

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模型49 “射影定理”模型
基础模型
图示
条件 AD 是 Rt△ABC斜边上的高(∠BAC=90°,AD⊥BC)
结论 1. △DBA∽△DAC AD =BD·CD; 2. △DBA∽△ABC AB =BD·BC; 3. △DAC∽△ABC AC =CD·BC
结论分析
结论1：
证明:在△ABD和△CAD中,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
又∵∠ADB=∠CDA=90°,
即
结论2：
自主证明：
模型解题三步法
例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若BD=1,AB=4,则BC的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2 已知AB为⊙O 的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于点D,连接AC.若AB=直径所对的圆周角为90°15,CD=6,则tan∠CAD的值为 .
题以类解
1. 如图,在菱形ABCD 中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,过点O 作OE⊥AB于点 E,若BE=2,则∠DAB的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2.如图，在矩形AB-CD中,点 E 是 BC 的中点,将△CDE 沿 DE折叠后得到△FDE,延长 DF 交边 AB 于点G. 若 AD = 6, CD = 9,则 GF = ,cos∠AGD= .
3. 如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且 .若CD=4,BD=6,则AD的长为 .
4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CE 是∠ACB的平分线,CD 为 AB 边上的高,若AC=9,BC=12,则DE的长为 .
5.如图,正方形ABCD的顶点 A 和顶点D恰好在反比例函数 0)的图象上，点B为x轴负半轴上一点，边AB 与第二象限内反比例函数图象交于点A，E，若点A的坐标为(-2,4),则点 E 的坐标为 .
6.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 为圆上一点,连接AC,BC,过点B作⊙O 的切线BD,连接AD,交BC 于点E,交⊙O 于点 F,连接BF,且AD恰好平分∠BAC.
(1)求证:BD=BE;
(2)若DE=2,BD= ,求⊙O 的半径.
模型49 “射影定理”模型
模型展现
自主证明：
在△ABD 和△CBA中,
∵∠ADB=∠CAB=90°,∠ABD=∠CBA,
∴△DBA∽△ABC,
即
模型解题三步法
例1 B 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△ABC，直角三角形中是否存在斜边上的高：高CD，抽离模型：如解图，用模型：由“射影定理”模型可得:△DBC∽△CBA,
4,∴BC =4,∴BC=2(负值已舍去).
例2 2或 【解析】找模型：是否存在斜边上的高：高CD；缺少：高所在的直角三角形，抽离模型：如解图，用模型：连接BC，∵AB是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,根据“射影定理”模型可得：△CAD∽△BCD,∴CDBD= 设AD为x,则BD=15-x,∵CD=6,∴x(15-x)=36,解得x=3或x=12,∴如解图①,当AD=3时. tan∠CAD 如解图②,当 AD = 12 时, 综上所述，tan∠CAD 的值为2或
题以类解
1. D 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△AOB，直角三角形是否存在斜边上的高：高OE.抽离模型：如解图，用模型：∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,在 Rt△AOB 中,OE⊥AB,由“射影定理”模型可得△BOE∽△OAE,∴OE =AE·BE,∵AB=8,BE=2,∴ =OEA=2 = ,∴∠OAE=30°,∴∠DAB=2∠OAE=60°.
2. 1; 【解析】找模型：是否存在斜边上的高：高EF.缺少：高所在的直角三角形.构造模型:如解图,连接GE.用模型:∵△DFE 是由△DCE 折叠得到的,点 E 为 BC 中点,∴ ∠EFD = ∠C = 90°, ∠FED = ∠CED. 在Rt△GFE 和 Rt △GBE 中, ∴ Rt△GFE≌Rt△GBE(HL),∴ ∠GEF = 由“射影定理”模型可得EF =GF·DF,∴GF= .
3. 【解析】∵ ·AB(有平方，有垂直，逆推可得到三角形相似)， ∵∠ABC=∠CBD,∴ △ABC∽△CBD,∴ ∠ACB=∠CDB=90°,∵ ∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°,∴∠ACD=∠B,又∵∠ADC=∠CDB,∴ (“射影定理”模型)，
【解析】∵AC=9,BC=12,∠ACB=90°,CD是AB 边上的高，. ∠CBD=∠ABC,∠BDC=∠BCA=90°,∴△BDC “射影定理”模型)，即 如解图，过点A作AF∥BC 交 CE 的延长线于点 F,则△BEC CE 是∠ACB 的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∴∠ACF=
5. (-8,1) 【解析】如解图,过点 A 向x 轴作垂线，垂足为点F.把点A(-2，4)代入反比例函数 中，得 点D与点A关于原点对称,∴点 D 的坐标为(2,-4), 4 ,∵ ∠BAF+∠FAO=90°,∠FAO+∠AOF=90°,∴ ∠BAF =∠AOF,∵ ∠BFA =∠BAO,∴ (“射影定理”模型)，即( 解得BO=10(负值已舍去)，∴点 B 的坐标为(-10,0).设直线AB 的解析式为y= kx+b,把点A(-2,4),B(-10,0)代入,解得一次函数解析式为 联立解得 (舍去), ,把x=-8代入 得y=1,∴点 E 的坐标为(-8,1).
6. (1)证明:∵AD 平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°,
∴∠CAE+∠CEA=90°,
∵∠DEB=∠CEA,∴∠DEB+∠DAB=90°.
∵ BD 是⊙O 的切线,∴BD⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠D=90°,∴∠DEB=∠D,
∴BD=BE;
(2)解:∵AB是⊙O 的直径,
∴∠AFB=90°,∴ BF⊥DE,
∵ BD 是⊙O 的切线,∴ BD⊥AB,∴ ∠ABD=90°,
∵BF⊥AD,
∴ Rt△BDF∽Rt△ADB(“射影定理”模型),
∴AD=5,
在Rt△ABD中,