模型52 “胡不归”模型（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型52 “胡不归”模型
当AP+kBP 中系数k大于1时，考虑提取k值转化为 +BP)，这样就转化为标准模型了.
如图，求这类带有系数的折线最值问题，通常我们都是将折线转化成为线段，再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解.
该模型就是利用了垂线段最短的性质，具体解题步骤如下：
一找：找带有系数k的线段kAP；
二构：在点B 异侧，构造以线段AP 为斜边的直角三角形：
①以定点A为顶点作∠PAC,使得sin∠PAC=k;
②过动点 P 作垂线构造 Rt△PAC;
三转化：化折为直，将kAP 转化为 PC；
四求解：使得kAP+BP=PC+BP，利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.
模型解题三步法
例 如图,在△ABC中,∠A=15°,AB=10,P为AC边上的一个动点(不与A、C重合),连接BP,则 的最小值是 .
题以类解
1. 如图,在 ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,P为边 CD 上一动点，则 的最小值为 .
2. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P 是 BC 上一点,若AC=2,BC=3,则 的最小值为 .
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与x轴，y轴交于A,B两点,若C为y轴上一动点,则2AC+BC的最小值为 .
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4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC 垂直平分BD，相交于点O,且OB=OC,∠BAD=120°.
(1)∠ABC 的度数为 ;
(2)若E为BD上的一个动点， 当AE 取得最小值时，BE 的长为 .
5.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,以 AB 为直径作⊙O,分别交AC,BC于点D,E,连接DE,BD,若点 F是线段 BD 上的一个动点,且 tan∠CED=2,则 的最小值为 .
6.如图，抛物线 与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C(0，-3)，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点 D，抛物线的顶点为 G，线段CO上有一动点M,连接DM,DG.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的最小值以及此时点 M 的坐标.
模型解题三步法
例 5 【解析】根据“胡不归”模型作解图，作∠PAD=45°,过点 P 作 PD⊥AD 于点 D,过点B作BE⊥AD 于点 E,则 的最小值为 BE 的长,∵ ∠BAC = 15°,∴ ∠BAD = 的最小值为5
题以类解
1. 3 【解析】找模型：是否存在一定线和定线上一动点：线段：CD，动点：点P，定线外是否存在一定点：点B，是否求一动点和两定点构造线段和的最小值，且一条线段带系数： 抽离模型：如解图，用模型：根据“胡不归”模型作解图，以点 D 为顶点，在CD上方作∠EDP=60°,过点 P 作 PE⊥DE 于点E,过点 B 作 BF⊥DE 于点 F.∵ 四边形 AB-CD 是平行四边形，∴AB∥CD(平行四边形的性质),∴∠A=∠CDE=60°(两直线平行,同位角相等),∴E,D,A三点共线,∵PE⊥DE, ∴当E,P,B 三点共线时，EP+PB 有最小值，最小值为 BF 的长(垂线段最短),∵ ∠A=60°,∴ ∠ABF= 的最小值为3
2.5 【解析】找模型：是否存在一定线和定线上一动点：线段：BC，动点：点P，定线外是否存在一定点：点A，是否求一动点和两定点构造线段和的最小值，且一条线段带系数： .抽离模型：如解图，用模型：根据“胡不归”模型作解图，以点 B 为顶点，BC 为一边在下方作∠CBM=45°,过点 P 作 PF⊥BM于点F,过点A作AD⊥BM于点 D,交BC于点E， 要使 的值最小，只需 最小(垂线段最短)， 的最小值为AD 的长,∵ ∠CBM = 45°,AD⊥BM,∴∠BED =∠AEC=45°,∵ ∠ACB =90°,∴sin∠AEC =sin 45°=AC∥,∵AC=2,∴CE=2,AE=2 ,∵ 的最小值为 AD,即为5.
3. 6 【解析】∵一次函数. 分别交x轴,y轴于A,B两点,∴A( ,0),B(0,3), 找模型：是否存在一定线和定线上一动点：定线：y轴，动点：点C，定线外是否存在一定点：点A，是否求一动点和两定点构造线段和的最小值，且一条线段带系数：2AC+BC.抽离模型：如解图，用模型：根据“胡不归”模型作解图，以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°,过点 C 作 CD⊥BD 于点 D,过点 A作AE⊥BD 于点 E,直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°,BF=2 ,∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形),∵ =2(AC+CD),当A,C,D 三点共线时,AC+CD有最小值，为AE 的长(垂线段最短)，∵AB=2 ,∴AE=3,即2AC+BC 的最小值为2AE,即为6.
4. (1)75°;(2)2 【解析】(1)∵AC 垂直平分 BD,∴ AB = AD, ∴ ∠ABD = ∠ADB,∵ ∠BAD=120°,∴ ∠ABD=(180°-120°)÷2=30°,∵OB=OC,OB⊥OC,∴∠OBC=45°,∴ ∠ABC=30°+45°=75°;(2)如解图,作点 A关于OB的对称点A',连接A'B,过点A作AG⊥A'B于点 G,过点E作EF⊥A'B于点 F,∵
设AG与OB交于点 E',当A,E,F三点共线时, 有最小值,此时 BE'为所求 BE 的长,∵ BC=6,∠OBC=45°,∴OB=OC=BC·cos45°=3 ∵ ∠ABA'=60°,AB=A'B,∴ △ABA'是等边三角形， 即 BE 的长为2
5. 2 【解析】如解图,连接AE,过点 C 作 CG⊥AB 于点 G,过点 F 作 FH⊥AB 于点 H.∵四边形 ABED 是圆内接四边形,∴∠DAB+∠DEB=180°,∵ ∠CED+∠DEB=180°,∴∠CED=∠DAB(等角代换),在 Rt△ADB 中, 解得AD (负值舍去),∴BD=2 ,∵AB=AC=5,∠AEB=90°,∴AE⊥BC,又∵ BD⊥AC,∴ (三角形等面积法),∴CG=BD=2 ,∵∠FHB=∠ADB= 当C,F,H三点共线时，CF+FH有最小值，为 CG的长(垂线段最短)，即 的最小值为
6. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),
∴设抛物线表达式为y=a(x+3)(x-1),
∵抛物线与y轴交于点 C(0,-3),
∴-3=-3a,解得a=1,
∴抛物线的表达式为 2x-3;
(2)如解图，过点 O 作直线l与y轴夹角为45°,过点 M 作 MH⊥直线l于点 H,过点 D作DN⊥l于点N,交y轴于点M',
GD+DM+MH≥DG+DN,
∴当D,M,H三点共线时, 的值最小,即为GD+DN,
∵易得D(-1,-3),直线l的解析式为y=-x,
∵∠MON=45°,DN⊥l,
∴∠DM'C=∠OM'N=45°,∴DC=CM'=1,
,点 M'(0,-2),
∴ 直线DM'的解析式为y=x-2,
联立 解得
∴N(1,-1),M'(0,-2),
∵GD=1,
的最小值为