模型30 “垂美四边形”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型30 “垂美四边形”模型
模型展现
定义 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
图示
条件 在四边形ABCD 中,AC⊥BD.
结论 1. AB +CD =AD +BC ; 2. S = AC·BD
结论分析
结论1：
证明：∵AC⊥BD，根据勾股定理得：
结论
自主证明：
模型解题三步法
例 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 若 则
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题以类解
1.(模型构造) 【问题发现】
如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与 BC，AD之间有怎样的数量关系 写出你的猜想，并说明理由；
【拓展延伸】
如图②,分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形ABDE,连接 CE,BG,GE,CE 与 BG交于点O,点H 为 GE 的中点,连接 OH,已知AC=3,AB=5,求OH的长.
2.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)写出一种你学过的垂美四边形 ；
(2)如图①,点 O 是垂美四边形 ABCD 对角线的交点,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接OE,OF,OG,OH,分别记四边形AEOH,四边形BEOF,四边形CGOF,四边形 DHOG 的面积为 S ,S ,S ,S ,求 S ,S ,S ,S 间的数量关系;
(3)如图②，四边形ABCD 是垂美四边形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的长.
自主证明：
模型解题三步法
例 13 【解析】找模型 图形背景是否为四边形：四边形ABCD；四边形中是否存在垂直的对角线:AC⊥BD;抽离模型：如解图，用模型
根据“垂美四边形”模型得 ∵ AD
题以类解
1.解：【问题发现】
猜想：
理由:∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得：
【拓展延伸】
如解图，连接 CG，BE,设AB,CE交于点M,
∵ ∠CAG = ∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE(等角代换),在△GAB 和△CAE中,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC.
又∵∠AEC+∠AME=90°,∠OMB=∠AME,
∴∠ABG+∠AME=∠ABG+∠OMB=90°,
∴∠BOM=90°,即CE⊥BG,
∴ 四边形 CGEB 是垂美四边形(垂美四边形的定义)，
(“垂美四边形”模型)，
∵AC=3,AB=5,
(负值已舍去)，
(直角三角形斜边中线性质).
2. 解:(1)正方形(或菱形);
(2)如解图①，连接AC，BD，由垂美四边形的定义可知AC⊥BD,
则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
又∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
(3)如解图②,连接AC,BD交于点 O,由垂美四边形的定义可知AC⊥BD，
在 Rt△AOD中,
在 Rt△AOB 中,
在 Rt△BOC 中,
在 Rt△DOC中,
∵AB=4,BC=2,CD=5,
即 (负值已舍去).