期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版（含解析）

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期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
6．如图，已知与位似，位似中心为0，且与的周长之比是，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
8．已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ．
11．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ．
12．已知二次函数与x轴的交点坐标为和，则一元二次方程的根为 ．
13．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是 m．
14．如图，在中，，，点O在上，作与相切于点D，与相交于点E，若，则的半径为 ．
15．如图，在四边形中，，，，平分，是的中点，过点作交于点，交于点，则的长为 ．
16．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________．
三、解答题
17．某体育用品店的“世园会纪念T恤”的进价是每件50元，当每件T恤的售价为90元时，每天可销售20件，经市场调查发现∶如果T恤每降价1元，则每天多售出2件．
(1)求降价前每天销售T恤的利润；
(2)求当降价多少元时，销售T恤每天的利润最大，并求出最大利润．
18．如图，二次函数的图象与轴交于，两点．
(1)求，的值．
(2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是．
(1)有下列结论，其中正确的是__________．填写序号
①抛物线的对称轴为直线；
②；
③；
④当时，随的增大而增大．
(2)若抛物线的顶点在直线上．
①求抛物线的解析式：
②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值
20．如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．
21．雨后的夜晚，小明和小彬漫步游览太原迎泽大桥，并尝试测量了迎泽大桥上中华灯最顶端灯泡距地面的高度．如图，点为中华灯最顶端灯泡的位置，当小明直立在点处时，恰好从他前方小水坑的点处看到路灯点的倒影，此时小彬测得水坑点到小明的距离，到路灯杆底端的距离，小明眼睛距离地面的高度．
(1)请你利用以上数据求出中华灯最顶端灯泡距地面的高度；
(2)测量完成后，小明进行了反思，发现误差较大．为了提高测量的准确性，你认为采用上述方法测量时，应注意什么？
22．问题背景
如图在中，点在上，点在上，．
问题探究
（1）如图（1），若是等边三角形，求证：；
变式探究
将特殊化成直角三角形．
（2）如图（2），若，求证：；
（3）如图（3），若，直接写出的长（用含的式子表示）．
23．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B A B D D
1．C
【分析】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，代数式求值知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，由此即可得出、、的值，然后将其代入求值即可．
【详解】解：，
将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为：
，
，，，
，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案．
【详解】解:把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，
得到的抛物线是．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了位似中心“位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心”，熟练掌握位似中心的定义是解题关键．根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心即可得．
【详解】解：如图，作直线、，
由图可知，直线、交于点，
则位似中心可以是点，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查的是位似图形的相似比、相似三角形的性质与判定，根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题．
【详解】解：∵与位似，位似中心为0，
∴，，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系的应用，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．如图，在上截取，使得，连接．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：在上截取，使得，连接，，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
．
则的最小值为．
故选：．
8．D
【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离,再根据，即可求．
【详解】解：抛物线，
平移前的顶点纵坐标为，
平移后的抛物线的顶点纵坐标为，
平移的距离为，
，
顶点在线段的垂直平分线上，
平移得到的点的纵坐标为．
故答案为：D．
9．
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质变形，代入求值即可．准确利用性质变形是解题的关键．
【详解】解：由可设，，是非零整数，
则．
故答案为：．
10．
【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
分三种情况讨论：
①当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
②当时，
即时，顶点处取最小值，
，
解得：或（不符合题意，故舍去），
；
③当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
综上，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，理解记得顶点式，（其中顶点为）是关键．据题意求得抛物线的二次项系数，由顶点可直接写出解析式．
【详解】解：∵抛物线的形状与函数的图象相同且开口方向相反
∴抛物线的解析式的二次项系数为，又其顶点为
∴抛物线解析式为．
故答案为：．
12．，
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．由于或时，，从而可判断一元二次方程的根．
【详解】解：二次函数与x轴的交点坐标为和，
或时，，
一元二次方程的根为，．
故答案为：，．
13．10
【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：根据题意，
，（反射角等于入射角），
，
，即，
，
所以这栋大楼高为，
故答案为：10．
14．
【分析】该题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，连接，如图所示，根据切线得出，证明，得到，在中，勾股定理求出，设半径为r，则，，列出等式即可求解，
【详解】解：连接，如图所示，
与相切于点D，
．
又，
．
，
在中，，
，
．
设半径为r，则，，
，
解得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等边三角形，推出四边形是矩形，利用相似三角形的判定和性质求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
作于点，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键．
把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标．
【详解】解：过点作的平行线，如图所示，
二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，
二次函数的解析式为：，
当时，，
解得：，，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把点A和点代入，
可得
解得，
直线的解析式为：，
的面积与的面积相等，
点是过点与平行的直线与二次函数的交点
点，
点是过点与平行的直线解析式为：，
解得，或
点的坐标为或．
故答案为：或．
17．(1)800
(2)当降价15元时，销售T恤每天的利润最大，最大利润为1250元
【分析】本题主要考查一元函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
（1）根据每件的利润乘以销售数量即可得．
（2）设当降价x元， 销售T恤每天的利润为y元，根据题意可得出，然后化为顶点式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：（元）
答：降价前每天销售T恤的利润为800元．
（2）解：设当降价x元， 销售T恤每天的利润为y元，
根据题意：，
整理得：
化成顶点式：，
∴当时，y的最大值为1250．
则当降价15元时，销售T恤每天的利润最大，最大利润为1250元．
18．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为，设点的坐标为，结合几何图形的面积得到，求出，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入，
得，
解得；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为，
设点的坐标为．
的面积为，，
，
，
即或，
解得或，
或．
19．(1)①③
(2)①抛物线的解析式为②，详见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，
（1）根据二次函数的性质逐一判断即可；
（2）①运用待定系数法求函数解析式即可；设点的横坐标分别为，则有，令，得，则有，，得，它对应的两个根应为，代入即可解题，
【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意；
②对称轴为直线，则，故②错误，不符合题意；
③把，代入得到，则，故③正确，符合题意；
④开口方向不确定，故增减性无法确定，故错误，不符合题意；
故答案为：①③；
（2）解：①由题意知，，即，
当时，，，
，即，解得，
，
抛物线的解析式为，
②，理由：设点的横坐标分别为，
，，
，
，
如图所示，
令，得，它对应的两个根应为：，
，
令，得，它对应的两个根应为
，
．
20．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据角平分线和等边对等角得到，再证即可．
（2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长．
【详解】（1）解：证明：连接，
是的平分线，
．
，
．
．
．
．
．
是切线．
（2）过点作，
是的平分线，
．
在中，，
由勾股定理得：，
，，
．
．
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
21．(1)
(2)点必须在同一条直线上
【分析】（）利用解答即可；
（）应注意点必须在同一条直线上；
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：灯泡距地面的高度为；
（2）解：应注意点必须在同一条直线上．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质得到，，由此即可求解；
（2）如图2中，过点作于点，于点，可证，，得到，则，由三线合一得到是中线，根据中线平分面积的得到即可求解；
（3）在上取一点，使得，连接，设，由题意得到，则，由角的关系得到，则，由勾股定理得到，即①，再证，得到，即②，联立方程可得，，由即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图1中，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2中，过点作于点，于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取一点，使得，连接，设，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，
∴②，
由①②解得，，
∴．
23．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值；
（3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），
，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交直线于点，
点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：存在，
当点在点左侧时，是钝角，
当点在点，点之间时，点与点关于直线对称，
点的坐标为，
当点在点右侧时，
如图，过点作直线，
令，则，
解得或，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点在点右侧，
点的横坐标大于，
舍去，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键．
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