第八章 向量的数量积与三角恒等变换（A卷基础夯实）（含解析）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修三单元测试AB卷
文档属性
| 名称 | 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（A卷基础夯实）（含解析）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修三单元测试AB卷 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 09:15:00 | ||
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文档简介
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修三单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2．已知向量，，若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3．已知向量，，若，则( )
A.2 B.3 C.6 D.15
4．已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．已知非零向量,满足,若,则在方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
6．已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知，，则( )
A. B. C. D.
8．已知,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图是《易 系辞上》记载的“洛书”,其历来被认为是河洛文化的滥觞,是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形,,其中O为这两正方形的中心,E,F,G,H分别为,,,的中点,若正方形的边长为2,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10．如图，是边长为的等边三角形，，点P在以为直径的半圆上（含端点），设，则( )
A.的值不可能大于1 B.
C.的最小值为 D.的最大值为1
11．已知，则以下等式可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知平面向量,,,若,,则_________.
13．已知，则______.
14．如图,在直角梯形中,,,,,点E在边上,且,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．证明下列恒等式.
（1）；
（2）；
（3）.
16．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
17．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
18．在中，，判断的形状.
19．求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由，得，而，则，
，而，所以与的夹角.
故选：C
2．答案：C
解析：向量，
则，
所以，
解得.
故选：C.
3．答案：B
解析：由，可得，解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：计算可得，由，两边平方化简，得，
将，代入，可得，
在上的投影向量为.
故选：B.
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：由模长公式
，
由夹角公式.
故选：A.
7．答案：C
解析：由，可得，
且，
故.
故选：C.
8．答案：D
解析：.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A：,错误;
对于B：,B正确;
对于C：,C正确;
对于D：
,D正确.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：对于A选项，过点作交延长线于，
过点P作交于，作图如下：
在平行四边形中，，由，则，
故A选项错误；
对于B选项，，
故B正确；
对于C、D选项，取线段中点E，连接，，作图如下：
，
在等边三角形中，易知，所以，
，则，
设与的夹角为，易知，则，
所以，故C选项错误，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：对于A，当时，
，
所以不可能成立，故A错误；
对于B，由，得，
则，
则可能成立，故B正确；
对于C，取，，，
此时，，
则可能成立，故C正确；
对于D，由，得，
则，
则不可能成立，故D错误；
故选：BC.
12．答案：
解析：因为,,,所以,,
因为,,,所以,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：.
故答案为：
14．答案：/0.5
解析：依题意,以点B为坐标原点,直线为x轴,建立直角坐标系.
则,,设点,则,
于是,解得,
即.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证.
（3）证明：左边
右边，得证.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证
18．答案：是直角三角形
解析：在中，，
，
即，得，
，即，可得是直角三角形.
19．答案：证明见解析
解析：
，
则，
即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修三单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2．已知向量，，若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3．已知向量，，若，则( )
A.2 B.3 C.6 D.15
4．已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．已知非零向量,满足,若,则在方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
6．已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知，，则( )
A. B. C. D.
8．已知,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图是《易 系辞上》记载的“洛书”,其历来被认为是河洛文化的滥觞,是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形,,其中O为这两正方形的中心,E,F,G,H分别为,,,的中点,若正方形的边长为2,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10．如图，是边长为的等边三角形，，点P在以为直径的半圆上（含端点），设，则( )
A.的值不可能大于1 B.
C.的最小值为 D.的最大值为1
11．已知，则以下等式可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知平面向量,,,若,,则_________.
13．已知，则______.
14．如图,在直角梯形中,,,,,点E在边上,且,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．证明下列恒等式.
（1）；
（2）；
（3）.
16．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
17．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
18．在中，，判断的形状.
19．求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由，得，而，则，
，而，所以与的夹角.
故选：C
2．答案：C
解析：向量，
则，
所以，
解得.
故选：C.
3．答案：B
解析：由，可得，解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：计算可得，由，两边平方化简，得，
将，代入，可得，
在上的投影向量为.
故选：B.
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：由模长公式
，
由夹角公式.
故选：A.
7．答案：C
解析：由，可得，
且，
故.
故选：C.
8．答案：D
解析：.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A：,错误;
对于B：,B正确;
对于C：,C正确;
对于D：
,D正确.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：对于A选项，过点作交延长线于，
过点P作交于，作图如下：
在平行四边形中，，由，则，
故A选项错误；
对于B选项，，
故B正确；
对于C、D选项，取线段中点E，连接，，作图如下：
，
在等边三角形中，易知，所以，
，则，
设与的夹角为，易知，则，
所以，故C选项错误，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：对于A，当时，
，
所以不可能成立，故A错误；
对于B，由，得，
则，
则可能成立，故B正确；
对于C，取，，，
此时，，
则可能成立，故C正确；
对于D，由，得，
则，
则不可能成立，故D错误；
故选：BC.
12．答案：
解析：因为,,,所以,,
因为,,,所以,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：.
故答案为：
14．答案：/0.5
解析：依题意,以点B为坐标原点,直线为x轴,建立直角坐标系.
则,,设点,则,
于是,解得,
即.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证.
（3）证明：左边
右边，得证.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边
右边，得证.
（2）证明：左边
右边，得证
18．答案：是直角三角形
解析：在中，，
，
即，得，
，即，可得是直角三角形.
19．答案：证明见解析
解析：
，
则，
即.
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