第十一章 立体几何初步（A卷基础夯实）（含解析）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修四单元测试AB卷

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第十一章 立体几何初步（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修四单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．“山海有情,天辽地宁”.为推动辽宁文旅产业快速发展,辽宁电视台推出了2024年春节“回辽过年、来辽过年”大型系列活动.某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像（如图）,其下半部可看成直径约为2m的球体,则雪人下半部的体积（单位：）约为( )
A. B. C. D.
2．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3．若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
7．如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是( )
A.640元 B.440元 C.390元 D.347.5元
8．在直角三角形ABC中,已知,,,以AC为旋转轴将旋转一周,AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥,则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A. B.4 C. D.8
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题中为假命题的是( )
A.长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体
10．如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则直线与平面平行的是( )
A.
B.
C.
D.
11．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正方体的棱长为1，M是线段的中点，则点M到直线的距离为__________.
13．在长方体（如图1）中，已知，，上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图2），则该十面体的外接球的体积为___________.
14．A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是的中点，四面体的体积为，则球O的表面积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图所示是一个正方体的表面展开图，则在正方体中，AB，CD，EF，GH这4条线段所在的直线中，是异面直线的有几对？
16．已知一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.
17．有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，求它的深度.
18．一个平面能把空间分成几个部分？两个平面呢？3个平面呢？分别画出示意图.
19．如图所示，在三棱锥中，是等边三角形，.
（1）证明：；
（2）若，且平面平面PBC，求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：A
解析：因为直径约,所以球的体积为.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为r，
则，解得，又母线长为4，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
3．答案：A
解析：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，
点E为的中心，
设O为外接球的球心，外接球的半径为R，
由正三角形的性质，，
；
由，
得，
解得，
该球的表面积为.
故选：A.
4．答案：C
解析：设圆锥的母线长为，底面半径为r，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，
所以该圆锥的表面积为.
故选：C
5．答案：A
解析：由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径，母线，
所以圆锥的表面积.
故选：D.
7．答案：A
解析：
如图所示，，，
连接，M，N分别是，的中点，
连接，，取的中点H，连接.
由题意，在正四棱台中，
平面，则，
因为O，M分别是，的中点，
所以，且，
又，N分别是，的中点，
所以，且，
故，则O，M，N，四点共面；
因为平面，平面，
所以，
所以四边形为直角梯形，
在直角梯形中，，
又点H是的中点，
所以四边形为矩形，则，
且，又，
因此，在直角中，，
所以在正四棱台中，
侧面积，
底面积，
表面积（平方厘米），
又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，
所以该零部件的防腐处理费用是（元）.
故选：A
8．答案：D
解析：如图,圆锥任意两条母线为AB和AD,则截面为等腰三角形ABD,
截面面积为:,由图可知,当截面为圆锥轴截面时,∠BAD最大,最大为,
,最大值为1,
为定值,故当最大时截面面积最大,
故截面面积最大为.
故选:D.
9．答案：ABC
解析：对于选项A,当底面不是矩形的时候,直四棱柱非长方体,A错误;
对于选项B,根据棱柱的定义,显然不成立,如图,满足要求,但不是棱柱,B错误;
对于选项C,可以是两对称面是矩形的平行六面体,C错误;
D选项,正四棱柱是平行六面体,D正确.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：对A：如图：
连接，交于点E，连接，则，平面，
且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误；
对B：如图：
因为，平面，
平面，所以平面，故B正确；
对C：如图：
取中点F，易证M，N，Q，F四点共面，
且，平面，
平面，所以平面，故C正确；
对D：如图：
连接，则，
平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD
11．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
12．答案：
解析：在棱长为1的正方体中，连接，
由M是线段的中点，
得，而，
取的中点O，则，
，
所以点M到直线的距离为.
故答案为：
13．答案：
解析：该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，
该点到该十面体每个顶点的距离均为，
所以这个十面体的外接球的半径为，
所以体积.
故答案为：
14．答案：
解析：由题意可知为球O的直径，设D到面的距离为d，
易知等边的面积为，
所以，则球心O到面的距离为1，
设面，易知H为等边的外心，
所以，
故.
故答案为：
15．答案：3对
解析：还原正方体，如图AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对.
16．答案：体积为，表面积为
解析：等边三角形绕其一边所在直线旋转一周后形成的几何体是两个对底的圆锥，每一个圆锥的母线长均为a.
设底面圆半径为r，高为h，则，，
所以体积为，表面积为.
17．答案：
解析：，
，，
.
，即它的深度为.
18．答案：见解析
解析：一个平面能把空间分成两部分，如图①.
两个平面能把空间分成三部分或四部分，如图②.
三个平面能把空间分成四、六、七、八部分，如图③.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为是等边三角形，所以，
又，，
所以，所以.
如图，取AB中点D，连接PD，CD，则，，
又，所以平面PDC，所以.
（2）作，垂足为E，连结AE.
因为，所以，.易得平面ABE.
因为平面，所以.
设，则.
在中，由得，
解得，.
可得E为PC中点.
由，得，所以.
所以三棱锥的体积.
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