第四章 《因式分解》 1 因式分解---北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·河北）对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
2．（2024八下·新城期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把多项式化为几个整式乘积的形式，即为因式分解，
A 等号左边不是多项式，故A项不符合题意；
B 等号左边是几个整式乘积，右边是多项式，不是因式分解，故B项不符合题意；
C 等号右边不是整式，故C项不符合题意；
D ，是因式分解，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义逐一分析即可求得.
3．（2024八下·南山期中）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，符合题意；
B．是整式乘法，不符合题意；
C．是整式乘法，不符合题意；
D．没有把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不符合题意；
故选：A．
【分析】
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，根据定义对各选项进行判断即可．
4．（2024九下·邯郸模拟）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：，
∴“？”是9．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算出两个多项式的乘积，根据因式分解就是将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形，从而根据对应项相等即可求出答案．
5．（2023八下·深圳期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、x（a+b）=ax+bx，是整式乘法，故A不符合题意；
B、a2+4a+4=（a+2）2，故B不符合题意；
C、10a2+5a=5a（2a+1），属于因式分解，故C符合题意；
D、a2-16+3a=（a+4）（a-4）+3a，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，再对各选项逐一判断.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
7．（2019八下·成都期末）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ．
【答案】6；1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n
∴，
∴，
故答案为：6，1．
【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
8．多项式x2﹣x+k有一个因式为x﹣2，则k=
【答案】-2
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2﹣x+k=0中得4﹣2+k=0，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】x﹣2是多项式x2﹣x+k的一个因式，即方程x2﹣x+k=0的一个解是2，代入方程求出k的值．
9．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）=（x2+y2）（x2﹣y2）=x4﹣y4．
故应填4．
【分析】因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式．
10．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是
【答案】4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，
4a2﹣1，
=（2a）2﹣12，
=（2a﹣1）（2a+1），
故4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．
答案不唯一．
【分析】任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答．
三、解答题（共5题，共50分）
11．已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）=2x2+2bx﹣5x﹣5b=2x2+（2b﹣5）x﹣5b=2x2+3x﹣k，
则，
解得：．
则另一个因式是：x+4，k=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）=2x2+2bx﹣5x﹣5b=2x2+（2b﹣5）x﹣5b=2x2+3x﹣k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
12．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
【答案】解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5） （x+a），=x2+（5+a）x+5a，=x2+mx+n，∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组解得∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则25﹣5m+n=0，①又m+n=17，②由①②得到：m=7，n=10．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x+a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解．
13．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
【答案】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，
∴a=2，c=18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，
∴b=﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
14．细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
15．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
（1）若二次三项式可分解为，则______．
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
【答案】（1）4
（2）另一个因式为，b值为1
【知识点】因式分解的概念
1 / 1第四章 《因式分解》 1 因式分解---北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·河北）对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
2．（2024八下·新城期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·南山期中）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·邯郸模拟）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（ ）
A．3 B． C．9 D．
5．（2023八下·深圳期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
7．（2019八下·成都期末）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ．
8．多项式x2﹣x+k有一个因式为x﹣2，则k=
9．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为
10．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是
三、解答题（共5题，共50分）
11．已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
12．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
13．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
14．细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
15．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
（1）若二次三项式可分解为，则______．
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把多项式化为几个整式乘积的形式，即为因式分解，
A 等号左边不是多项式，故A项不符合题意；
B 等号左边是几个整式乘积，右边是多项式，不是因式分解，故B项不符合题意；
C 等号右边不是整式，故C项不符合题意；
D ，是因式分解，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义逐一分析即可求得.
3．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，符合题意；
B．是整式乘法，不符合题意；
C．是整式乘法，不符合题意；
D．没有把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不符合题意；
故选：A．
【分析】
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，根据定义对各选项进行判断即可．
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：，
∴“？”是9．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算出两个多项式的乘积，根据因式分解就是将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形，从而根据对应项相等即可求出答案．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、x（a+b）=ax+bx，是整式乘法，故A不符合题意；
B、a2+4a+4=（a+2）2，故B不符合题意；
C、10a2+5a=5a（2a+1），属于因式分解，故C符合题意；
D、a2-16+3a=（a+4）（a-4）+3a，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，再对各选项逐一判断.
6．【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
7．【答案】6；1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n
∴，
∴，
故答案为：6，1．
【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
8．【答案】-2
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2﹣x+k=0中得4﹣2+k=0，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】x﹣2是多项式x2﹣x+k的一个因式，即方程x2﹣x+k=0的一个解是2，代入方程求出k的值．
9．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）=（x2+y2）（x2﹣y2）=x4﹣y4．
故应填4．
【分析】因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式．
10．【答案】4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，
4a2﹣1，
=（2a）2﹣12，
=（2a﹣1）（2a+1），
故4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．
答案不唯一．
【分析】任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答．
11．【答案】解：设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）=2x2+2bx﹣5x﹣5b=2x2+（2b﹣5）x﹣5b=2x2+3x﹣k，
则，
解得：．
则另一个因式是：x+4，k=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）=2x2+2bx﹣5x﹣5b=2x2+（2b﹣5）x﹣5b=2x2+3x﹣k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
12．【答案】解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5） （x+a），=x2+（5+a）x+5a，=x2+mx+n，∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组解得∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则25﹣5m+n=0，①又m+n=17，②由①②得到：m=7，n=10．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x+a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解．
13．【答案】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，
∴a=2，c=18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，
∴b=﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
14．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
15．【答案】（1）4
（2）另一个因式为，b值为1
【知识点】因式分解的概念
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