二次根式
中考考点 考查频率 新课标要求
二次根式的相关概念 ★★ 了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质 ★★ 掌握二次根式的性质
二次根式的运算 ★★ 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用其进行简单的四则运算
中考中，二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考查多以选择题、填空题的形式出现，而化简计算则多以解答题形式出现.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
1.二次根式
二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式．
二次根式有意义的条件 a≥0
最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
双重非负性 ①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即≥0．
两个重要性质 ①（）2＝a（a≥0）；②＝|a|＝；
2.二次根式的运算
二次根式运算 二次根式的加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法：·=（a≥0，b≥0）；（2）二次根式的除法：=（a≥0，b＞0）．
二次根式的混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
【注意】
1.化简二次根式的步骤（易错点）
（1）把被开方数分解因式（或因数）；
（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（）2＝a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简．
2.二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．不能合并的直接抄下来即可．
二次根式有意义的条件
（2024·云南·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在实数范围内有意义，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件——被开方数为非负数即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
1.代数式有意义的的取值范围是
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【解析】解：根据题意，得
，
解得：且．
故选：．
2.要使二次根式有意义，的值可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
四个选项中的数据，只有符合题意，
故选：．
3.使有意义的的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解：有意义，
，
解得，
使有意义的的取值范围在数轴上表示为．
故选：．
4.式子有意义，则的值可能是
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】
【解析】解：有意义，
，
且，
，且，，，
式子有意义，则的值可能是8．
故选：．
二次根式的定义
下列各式中，不是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：、是二次根式，故正确；
、被开方数小于零，故错误；
、是二次根式，故正确；
、是二次根式，故正确；
故选：．
1.下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：①时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
②时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；
④时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
⑤，被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；
⑥被开方数是正数，符合二次根式的定义．
故一定是二次根式的有3个．
故选：．
2.下列式子一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，的根指数是3，故该选项不符合题意；
故选：．
3.在下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是三次根式；故本选项符合题意；
、被开方数，不是二次根式；故本选项不符合题意；
、被开方数，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
、被开方数时，不是二次根式；故本选项不符合题意；
故选：．
4.下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、二次根式无意义，故错误；
、是三次根式，故错误；
、被开方数是正数，故正确；
、当或、异号时，根式无意义，故错误．
故选：．
二次根式的性质与化简
（2024·四川省德阳·中考真题）化简： ______．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答的关键．
1.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
2. 已知，则实数的值为
A．9 B．3 C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
下列计算正确的是
B． C． D．
【答案】
【解析】解：．正确；符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
故选：．
在下列各式中，计算正确的是
B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
最简二次根式
下列各式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
1.下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
、是最简二次根式；
故选：．
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
3.下列式子中，最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，是最简二次根式，符合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意．
故选：．
二次根式的乘除法
（2024·江苏省南通·中考真题）计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：．
故选：．
根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键
1.下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选：．
2.下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
3.下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
4.下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此选项符合题意；
．与无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
5.下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
分母有理化
（2024·四川省凉山彝族自治州·中考真题）
计算：．
【答案】解：原式
．
【解析】本题考查分母有理化，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
1.计算：
【答案】．
【解析】解：．
故答案为：．
2.计算的结果是_____
【答案】．
【解析】解：原式．
3.化简
【答案】
【解答】解：，
故答案为：．
4.计算：
【答案】．
【解答】解：
．
5.计算
【答案】3．
【解析】解：
．
同类二次根式
下列根式中，与为同类二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：，
所以，与为同类二次根式的是．
故选：．
1.下列二次根式与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、与的根指数相同，被开方数不同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数相同，它们是同类二次根式，故此选项符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数不相同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
2.下列各式中，化简后能与合并的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后能与合并，符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
故选：．
3.下列二次根式中，不能与合并的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：．
4.若最简二次根式和能合并，则的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】
【解析】解：最简二次根式和能合并，
．
解得．
故选：．
二次根式的加减法
（2024·湖南省长沙·中考真题）下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的除法运算和幂的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：、，故此选项正确；
B、，不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：
1.下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
2.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：．，
则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
．
，
则符合题意；
．，
则不符合题意；
故选：．
3.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、，故运算错误；
、，故运算错误；
、不是同类二次根式，不能合并，故运算错误；
、，故运算正确；
故选：．
4.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
二次根式的混合运算
（2024·重庆·中考真题）估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
【答案】C
【解析】解：
，
，
，
，
，
故选：．
先将式子化简，在根据，得出式子的值的范围．
本题考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，利用平方法估算无理数是解题的关键．
1.计算的结果是
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
2.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式．
故选：．
3.下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
4.计算的结果是
A．10 B．20 C．14 D．16
【答案】
【解析】解：
，
故选：．
二次根式的应用
（2024·山东省潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为，下列关于该圆柱的结论正确的有( )
A. 体积为 B. 母线长为
C. 侧面积为 D. 侧面展开图的周长为
【答案】BC
【解析】解：圆柱的底面半径为，高为，
圆柱的体积为，故选项A不符合题意；
B.圆柱的高为，
圆柱的母线长为，故选项B正确，符合题意；
C.圆柱的底面半径为，高为，
圆柱的底面周长为，
侧面积为，故选项C正确，符合题意；
D.圆柱的底面周长为，高为，
圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意，
综上，正确的结论为，，
故选：．
运用圆柱的体积，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长相关知识求解各选项再判断即可．
本题主要考查二次根式的应用，几何体的表面积，几何体的展开图，关键是相关公式的熟练应用．
1.从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关，若物体从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用的时间（单位：与的关系式为为常数）表示，并且当时，，则从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由题意得，
解得，
当时，
，
从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为，
故选：．
2.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】
【解析】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，
小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，故选：．
3.如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】
【解析】解：如图，
根据题意易知，点为正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，
解得：，
，
或，
，
，
．故选：．
4.已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 ．
【答案】．
【解析】解：矩形的长和宽分别为，，
矩形的周长为，
故答案为：．
5.古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为 ．
【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，
，
，
故答案为：． 二次根式
中考考点 考查频率 新课标要求
二次根式的相关概念 ★★ 了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质 ★★ 掌握二次根式的性质
二次根式的运算 ★★ 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用其进行简单的四则运算
中考中，二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考查多以选择题、填空题的形式出现，而化简计算则多以解答题形式出现.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
1.二次根式
二次根式 概念 二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式．
二次根式有意义的条件 a≥0
最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
性质 双重非负性 ①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即≥0．
两个重要性质 ①（）2＝a（a≥0）；②＝|a|＝；
2.二次根式的运算
二次根式运算 二次根式的加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法：·=（a≥0，b≥0）；（2）二次根式的除法：=（a≥0，b＞0）．
二次根式的混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
【注意】
1.化简二次根式的步骤（易错点）
（1）把被开方数分解因式（或因数）；
（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（）2＝a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简．
2.二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．不能合并的直接抄下来即可．
二次根式有意义的条件
（2024·云南·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
1.代数式有意义的的取值范围是
A．且 B． C． D．且
2.要使二次根式有意义，的值可以是
A． B． C． D．
3.使有意义的的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
4.式子有意义，则的值可能是
A．4 B．8 C．12 D．16
二次根式的定义
下列各式中，不是二次根式的是
A． B． C． D．
1.下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.下列式子一定是二次根式的是
A． B． C． D．
3.在下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
4.下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
二次根式的性质与化简
（2024·四川省德阳·中考真题）化简： ______．
1.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
2. 已知，则实数的值为
A．9 B．3 C． D．
下列计算正确的是
B． C． D．
在下列各式中，计算正确的是
B． C． D．
最简二次根式
下列各式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
1.下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
3.下列式子中，最简二次根式的是
A． B． C． D．
二次根式的乘除法
（2024·江苏省南通·中考真题）计算的结果是( )
A. B. C. D.
1.下列计算正确的是
A． B． C． D．
2.下列计算正确的是
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是
A． B． C． D．
4.下列运算正确的是
A． B． C． D．
5.下列运算正确的是
A． B． C． D．
分母有理化
（2024·四川省凉山彝族自治州·中考真题）
计算：．
1.计算：
2.计算的结果是_____
3.化简
4.计算：
5.计算
同类二次根式
下列根式中，与为同类二次根式的是
A． B． C． D．
1.下列二次根式与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
2.下列各式中，化简后能与合并的是
A． B． C． D．
3.下列二次根式中，不能与合并的是
A． B． C． D．
4.若最简二次根式和能合并，则的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
5.下列根式中，与为同类二次根式的是
A． B． C． D．
二次根式的加减法
（2024·湖南省长沙·中考真题）下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
1.下列运算正确的是
A． B． C． D．
2.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
3.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
二次根式的混合运算
（2024·重庆·中考真题）估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
1.计算的结果是
A．1 B．0 C． D．
2.下列运算正确的是
A． B．
C． D．
3.下列计算正确的是
A． B． C． D．
4.计算的结果是
A．10 B．20 C．14 D．16
二次根式的应用
（2024·山东省潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为，下列关于该圆柱的结论正确的有( )
A. 体积为 B. 母线长为
C. 侧面积为 D. 侧面展开图的周长为
1.从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关，若物体从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用的时间（单位：与的关系式为为常数）表示，并且当时，，则从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为
B． C． D．
2.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．11 B．10 C．9 D．8
3.如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为
A．50 B．40 C．30 D．20
4.已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 ．
5.古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为 ．
