2024-2025学年北师大版七年级数学下册1.3乘法公式课时1 平方差公式 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
课时1 平方差公式
1.了解并掌握平方差公式.（重点）
2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.(难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 平方差公式
(1) 用多项式乘法推导平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
新课讲解
知识点1 平方差公式
(2) 借助几何图形推导平方差公式
图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2- b2.
b
a
a-b
b
将图中右下方的长方形移
动位置后，拼得一个长
为(a+b)，宽为(a-b)
的长方形，其面积为
(a+b)(a-b).
(a+b)(a-b)=a2-b2.
新课讲解
知识点1 平方差公式
公式：
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2.
平方差的特点：
(1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
新课讲解
知识点1 平方差公式
a
b
b2
a2
(4x+3)(4x-3)=(4x)2-32=16x2-9.
平方差公式计算的示例：
新课讲解
平方差公式的变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
新课讲解
知识点1 平方差公式
(1) 平方差公式的字母a，b可以单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2) 在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.
重 要
新课讲解
练一练
1
计算：(1) (3x+2)(3x-2) ; (2) (-x+2y)(-x-2y) .
3x相当于a，2相当于b.
-x相当于a，2y相当于b.
解：(1) (3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 =9x2-4.
(2) (-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2 =x2-4y2 .
新课讲解
练一练
3
解：(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b)= (-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2 ;
计算下列式子：
(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b) ; (4)( x+y)(- x+y) .
(4) ( x+y)(- x+y)=y2-( x)2=y2- x2 .
课堂小结
乘法公式
平方差公式
平方差公式的推导过程
当堂小练
计算下列式子：
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) ; (2)102×98.
解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=4y+1 ;
(2) 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
当堂小练
为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（ ）
解析：x看作是a，(2y-1)看作是b，利用平方差公式即可.
A. [x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-2y-1)]
C. [(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y-1)]2
B
拓展与延伸
计算：(a+1)2-a2 .
解析：把a+1看作是a，a看作是b，利用平方差公式即可.
(a+1)2-a2 = [(a+1)+a][(a+1)-a]
=(2a+1)×1
=2a+1.
（1）平方差公式的推导（代数方法）：
a2-ab+ab-b2=a2-b2.
（2）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，
即两数和与这两数差的　 　，等于它们的　 　.
知识点 1
平方差公式
积
平方差
1.计算：
（1）（2a+1）（2a-1）=　 　；
（2）（x+3y）（x-3y）=　 　；
（3）（1+2a）（1-2a）；
（4）（3y+2z）（3y-2z）.
（3）解：原式=1-（2a）2=1-4a2.
（4）解：原式=（3y）2-（2z）2=9y2-4z2.
小结：直接运用平方差公式.
4a2-1
x2-9y2
（1）位置变化：
（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2.
（2）符号变化：
（-a-b）（-a+b）=（-a）2-b2=a2-b2.
（3）系数变化：
（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2.
（4）指数变化：
（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2=a4-b4.
（5）连用公式变化：
（a+b）（a-b）（a2+b2）=（a2-b2）（a2+b2）=a4-b4.
知识点 2
平方差公式的常见变形
2.计算：
（1）（2-ab）（ab+2）；
（2）（x-2）（x+2）（x2+4）.
解：原式=（2-ab）（2+ab）=22-（ab）2=4-a2b2.
解：原式=（x2-4）（x2+4）=x4-16.
小结：先变形，再用平方差公式.
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到不能运用为止.
知识点 3
巧用平方差公式计算
3.计算：（m+2）（m-2）- ×3m.
解：原式=m2-4-m2= -4.
4.【例1】计算：
（1）（a+3b）（a-3b）；
（2）（-m-n）（-m+n）；
（3）（x2+y）（x2-y）.
解：原式=a2-（3b）2=a2-9b2.
解：原式=（-m）2-n2=m2-n2.
解：原式=（x2）2-y2=x4-y2.
5.【例2】计算：x（x+4）-（x+2）（x-2）.
解：原式=x2+4x-（x2-4）=4x+4.
6.【例3】计算：（a-b）（a+b）（a2+b2）-（a4+b4）.
解：原式=（a2-b2）（a2+b2）-（a4+b4）
=a4-b4-a4-b4= -2b4.
7.计算：
（1）（4x+2y）（4x-2y）；
（2）；
（3）（-m2n+2）（-m2n-2）.
解：原式=（4x）2-（2y）2=16x2-4y2.
解：原式=x2-y2.
解：原式=（-m2n）2-22=m4n2-4.
8.计算：（2a-b）（b+2a）-（a+2b）（a-2b）.
解：原式=4a2-b2-（a2-4b2）=3a2+3b2.
★9. 0.45（运算能力）【观察】
①（x-1）（x+1）=x2-1；
②（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
③（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；…
【归纳】（1）由此可得：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=　 　；
xn+1-1
【应用】（2）请运用（2）中的结论，解决问题.
计算：32 025+32 024+32 023+…+32+3+1.
解：32 025+32 024+32 023+…+32+3+1
= 3-1)(32 025+32 024+32 023+ ··· +32+3+1)
= .
布置作业
请完成课后对应习题
感谢大家观看