2024-2025学年北师大版七年级数学下册1.3乘法公式课时2 平方差公式的应用 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
课时2 平方差公式的应用
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算；
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.
学习目标
新课讲解
知识点1 平方差公式的几何验证
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a b) = a2 b2
合作探究
新课讲解
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
新课讲解
知识点2 平方差公式的运用
自主探究
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
新课讲解
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
当堂小练
解：(1)原式=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1=2499；
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
（1）51×49；
（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
（2）13.2×12.8；
.利用平方差公式计算：
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
拓展与延伸
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
（北师7下P19、人教8上P107）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）图1中阴影部分的面积为　 　（作差法）；
知识点 1
利用图形验证平方差公式
　图1
a2-b2
（2）小颖将阴影部分拼成一个长方形（如图2 ），
这个长方形的长为　 　，宽为　 　，
它的面积为　 　；
（3）通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，
这个等式是　 　.
图2
a+b
a-b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
1.（北师7下P19、人教8上P107）如图，将边长为x（x>1）的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这两个图能解释一个等式是（ ）
A.x2-x=x（x-1）　
B.x2-1=（x+1）（x-1）
C.x2-2x+1=（x-1）2
D.x2+2x+1=（x+1）2
B
（1）利用平方差公式，可对一些特殊数进行简化计算.解答此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式.
（2）例如，计算29×31时，可先把29写成30-1，31写成30+1，即29×31=（30-1）× （30+1），然后运用平方差公式计算即可.
知识点 2
利用平方差公式进行简便计算
2.巧用公式计算：18×20-192.
解：原式=（19-1）（19+1）-192
=192-1-192= -1.
有的计算虽然不能从整体上用平方差公式，但可将其中一部分套入公式，适当拆项使整个运算更简捷些.
平方差公式的应用
知识点 3
3.计算：x（x+2）+（1+x）（1-x）.
解：原式=x2+2x+1-x2=2x+1.
4.【例1】如图，利用图1和图2的阴影面积相等，写出一个正确的等式：　 　.
（a+2）（a-2）=a2-4
5.【例2】计算：
（1）203×197；
（2）（x+2y）（x-2y）-y（3-4y）.
解：原式=（200+3）（200-3）=2002-32
=40 000-9=39 991.
解：原式=x2-4y2-（3y-4y2）
=x2-4y2-3y+4y2=x2-3y.
6.【例3】先化简，再求值：
（2+a）（2-a）-，其中a=2.
解：原式=4-a2-a2+1=5- a2.
当a=2时，
原式=5- ×4=0.
7.（创新题）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形
（a>b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是
（ ）
A.a2-b2=（a+b）（a-b）
B.（a+b）2 =a2+2ab+b2
C.（a-b）2=a2-2ab+b2
D.a2-ab=a（a-b）
A
8.用平方差公式计算：
（1）2 023×2 025-2 0242；
（2）（a+3b）（a-3b）（a2+9b2）.
解：原式=（2 024-1）×（2 024+1）-2 0242
=2 0242-1-2 0242=1.
解：原式=（a2-9b2）（a2+9b2）=a4-81b4.
9.已知5x2-x-1=0，求代数式（3x+2）（3x-2）+x（x-2）的值.
解：原式=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4，
因为5x2-x-1=0，所以5x2-x=1.
所以原式=2（5x2-x）-4= -2.
★10. 0.40（代数推理）观察下列各式：（2+3）2-22=7×3；（4+3）2-42=11×3；（6+3）2-62=15×3，….不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
（1）（8+3）2-82的结果是3的　 　倍；
（2）设偶数为2n，试说明比2n大5的数与2n的平方差能被5整除；
解：（2）根据题意可知，设偶数为2n，则比2n大5的数为2n+5，
因为（2n+5）2-（2n）2=（2n+5-2n）（2n+5+2n）=5（4n+5），4n+5为整数，所以5（4n+5）能被5整除，
所以比2n大5的数与2n的平方差能被5整除.
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（3）拓展：比任意一个正整数大5的数与此整数的平方差除以10的余数是　 　.
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布置作业
请完成课后对应习题
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