2024-2025学年北师大版七年级数学下册1.3乘法公式课时3 完全平方公式 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
课时3 完全平方公式
1.了解并掌握完全平方公式.（重点）
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.(难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 完全平方公式
(1) 用多项式乘法推导完全平方公式
(a-b)2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
(a+b)2
新课讲解
公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式的特点：
(1) 两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2) 两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
知识点1 完全平方公式
新课讲解
完全平方公式的常见变形
新课讲解
(1) 完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2) 完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”；
(3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 .
重 要
知识点1 完全平方公式
新课讲解
练一练
(1) (-4a+5b)2
=(5b-4a)2
=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2
=25b2-40ab+16a2 ;
(2) (x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2
=x2+14xy+49y2 .
计算下列式子：
(1) (-4a+5b)2 ; (2) (x+7y)2 .
课堂小结
乘法公式
完全平方公式
完全平方公式的推导过程
当堂小练
若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ）.
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
D
解析：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.
则a2=16，6a=b,
解得a=±4.
当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.
所以a+b=28或-28.
当堂小练
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a － 1)2=2a2 －2a ＋1 ；
(2)(2a ＋ 1)2=4a2 ＋1 ；
(3)(－ a － 1)2= － a2 －2a － 1 ．
(1)第一数被平方时，未添括号；第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2；
应改为： (2a－1)2=（2a)2－2 ×2a 1＋1 ；
(2)少了第一数与第二数乘积的2倍（丢了一项）；
应改为： (2a ＋ 1)2=（2a)2 ＋ 2 ×2a 1＋1 ；
(3)第一数平方未添括号，第一数与第二数乘积的2倍错了符号；第二数的平方这一项错了符号；
应改为： (－ a－1)2=（－a)2 － 2 （－ a） 1 ＋1 2．
拓展与延伸
解析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n、mn表示的式子，然后将已知整体代入求值.
已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 .
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.
解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值.
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的　 　 .
口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央.
（2）完全平方公式的推导（代数方法）：
①（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；
②（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
知识点 1
完全平方公式
积的2倍
1.（1）计算：
①（a+2b）2；　　　　
②（a-2b）2.
（2）如果x2+mx+1是一个完全平方式，那么m的值是　 　.
a2+4ab+4b2
a2-4ab+4b2
2或-2
（北师7下P20、人教8上P109）利用几何方法推导完全平方公式：根据图1所示图形的面积可以写出的一个等式
是　 　；
根据图2所示图形的面积可以写出的一个
等式是　 　.
知识点 2
利用图形验证完全平方公式
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
2.如图，利用图形面积关系可以解释的公式是（ ）
A.a2-b2=（a-b）2
B.（a+b）2=a2+2ab+b2
C.（a-b）2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=（a+b）（a-b）
C
（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；
（2）（a+b）2=（a-b）2+4ab；
（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（4）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）；
（5）（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（6）ab=；
（7）ab=-.
知识点 3
完全平方公式的常见变形
3.（1）已知a+b=5，ab=3，则a2+b2=（ ）
A.25 B.22
C.19 D.13
（2）已知（a+b）2=15，（a-b）2=7，则ab的值等于（ ）
A.-1 B.-2
C.1 D.2
（3）若x-y=5，xy=6，则x2-3xy+y2的值为　 　.
C
D
19
4.【例1】如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2
B.（a-b）2=a2-2ab+b2
C.（a+b）（a-b）=a2-b2
D.（ab）2=a2b2
A
5.【例2】运用完全平方公式计算：
（1）（x+6）2；
（2）（y-5）2；
解：（1）原式=x2+2·x·6+62=x2+12x+36.
解：（2）原式=y2-2·y·5+52=y2-10y+25.
（3）（-2x+5）2；
（4）.
解：（3）原式=（-2x）2+2·（-2x）·5+52=4x2-20x+25.
解：（4）原式== y2.
6.【例3】计算：（2x+y）（2x-y）-（2x+y）2.
解：原式=4x2-y2-（4x2+4xy+y2）
=4x2-y2-4x2-4xy-y2= -4xy-2y2.
7.【例4】（北师7下P21）（代数推理）若a+2b=7，ab=6，
求（a-2b）2的值.
解：（a-2b）2=a2+4b2-4ab
=a2+4b2+4ab-8ab=（a+2b）2-8ab，
因为a+2b=7，ab=6，
所以原式=72-8×6=49-48=1.
8.根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A.a2-b2=（a-b）2
B.（a+b）2=a2+2ab+b2
C.（a-b）2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=（a+b）（a-b）
C
9.运用完全平方公式计算：
（1）（3+5p）2；
（2）（a-3b）2；
解：（1）原式=32+2·3·5p+（5p）2=9+30p+25p2.
解：（2）原式=a2-2·a·3b+（3b）2=a2-6ab+9b2.
（3）；
（4）.
解：（3）原式=a2+2·a·.
解：（4）原式=（2xy）2-2·2xy·
=4x2y2- x2.
10.计算：4（x-y）2-（2x-y）（2x+y）.
解：原式=4（x2-2xy+y2）-（4x2-y2）
=4x2-8xy+4y2-4x2+y2=5y2-8xy.
★11. 0.50（应用意识）已知a-b=5，ab= -2，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a2-ab+b2.
解：（1）因为a-b=5, ab= -2，
所以（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-2）=25-8=17.
解：（2）因为a-b=5，ab= -2，
所以a2-ab+b2=（a-b）2+ab=52+（-2）=25-2=23.
布置作业
请完成课后对应习题
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