10.1三角形的边 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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10.1三角形的边冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、、分别是等腰三角形非等边三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A. B. C. 或 D. 或
2.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为( )
A. 或 B. C. D. 以上答案均不对
3.如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，为使其稳定，新增的木条的长度可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.等腰三角形的两边长分别为和，则周长为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为、、、、，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是( )
A. B. C. D.
9.已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
12.在中，点是的中点，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的腰长为__________．
14.若一条长为的细线能围成一边长等于的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为______．
15.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
16.如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，点是边上的中点，已知，，
画出关于点的中心对称图形；
根据图形说明线段长的取值范围．
18.本小题分
已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边．
为何值时，是以为斜边的直角三角形？
为何值时，是等腰三角形？
19.本小题分
已知的三边长，，都是整数，且满足，求的周长．
20.本小题分
阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，则．
根据以上材料解答下列问题：
______， ______；
把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
令，，，且，求的值．
21.本小题分
如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，．
求证：；
若是的平分线，，，求的度数；
若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长．
22.本小题分
已知
化简；
若，，恰好是的三边长，请选取合适的整数代入，求出的值．
23.本小题分
有一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
如果腰长是底边长的倍，那么底边长是多少？
能围成一边长为的等腰三角形吗？说明理由．
24.本小题分
阅读下面的内容．
比较与的大小．
“嘉嘉”的思路：
将，两个式子分别平方后，再进行比较．
“淇淇”的思路：
以、，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较．
请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明．
25.本小题分
如图，在中，点是边上的中点，已知，，

画出关于点的中心对称图形；
根据图形说明线段长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．解决本题的关键是分类讨论并根据结果判断是否能构成三角形由三角形是等腰三角形，得到或，当或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；
当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．注意检验能否组成三角形．
【解答】
解：三角形是等腰三角形，
有或，两种情况，
当或时，
，是关于的一元二次方程的两根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是和，
，，能组成三角形，
故成立；
，是关于的一元二次方程的两根，
当时，方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当，方程的两根都是，即三边长为，，．
，，能组成三角形，
故成立．
综上，可知或．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，非负性的意义以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．根据绝对值与算术平方根的非负性即可求出与的值．由于没有说明与是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
【解答】
解：由题意可知：，
，，
当腰长为，底边长为时，
，
不能围成三角形，
当腰长为，底边长为时，
，
能围成三角形，
周长为：
故选B．
3.【答案】
【解析】解：如图，

在中，，即，
在中，，即，
，
观察四个选项，只有选项符合题意，
故选：．
根据三角形的三边关系可以求出的范围，即可得到答案．
本题考查了三角形三边，关键是三角形三边关系的熟练掌握．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：三角形三边长分别为，
，
解得，
为整数，
为、、，
这样的三角形个数为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、，此三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、，此三条线段能构成三角形，符合题意；
C、，此三条线段不能构成三角形，不符合题意；
D、，此三条线段不能构成三角形，不符合题意．
故选：．
由较短的两边相加，若大于较长的边，则可构成三角形，据此判断．
此题考查了三角形的构成条件．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，结合三角形三边关系，分情况讨论：
当腰长为时，三边长为：，，，可以构成三角形，此时周长为：；
当腰长为时，，，，可以构成三角形，此时周长为：．
综上所述，周长为：或，所以只有选项D正确，符合题意．
故选：．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，则要分情况结合三角形三边关系进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，关键是要结合三角形任意两边之和大于第三边对等腰三角形的边长分情况进行讨论．
7.【答案】
【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条线段的长来判断三角形的最长边时的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：相邻两螺丝的距离依次为、、、、；
选作为三角形的一边、另外的线段构成三角形另外两边，而，不能构成三角形；
选作为三角形的一边，另外的线段构成三角形另外两边为和或和，
而，，，三角形均成立，
此时最大边长为；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
，，，
．
点为中点，点为中点，
为的中位线，
，
则点在以点为圆心，为半径的圆上，
连接，
，
则的最大值为：．
故选：．
利用中位线的性质，求出点的运动轨迹即可解决问题．
本题考查点与圆的位置关系及三角形中位线定理，能求出点的运动轨迹是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：是腰长时，三边分别为、、时，不能组成三角形；
是底边时，三边分别为、、，能组成三角形，周长，
故选：．
分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．
10.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系，
A.，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
B.，能组成三角形，故本选项正确，符合题意；
C.，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
D.，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
比较两条较短的线段长度之和与第三条线段大小，即可分析解答．
本题考查三角形三边关系，关键掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
11.【答案】
【解析】解：根据等腰三角形定义和三角形三边关系，逐项分析判断如下：
A、，
、、能组成三角形，但不是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，
、、能组成三角形，但不是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、，
、、能组成三角形，并且是等腰三角形，故C选项符合题意；
D、，
、、不能组成三角形，故D选项不符合题意．
故选：．
等腰三角形是有两条边相等的三角形，据此分析判断即可．
本题主要考查了等腰三角形、三角形三边关系，解决本题的关键是根据等腰三角形的定义进行判断．
12.【答案】
【解析】解：延长到，使，连接，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
．
故选：．
延长到，使，连接，证明≌，得出，再根据三角形的三边关系得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明≌是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的概念、绝对值和算术平方根的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及算术平方根的非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．
根据绝对值及算术平方根的非负性可得出、的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，即可得出结论．
【解答】
解：实数，满足，
，．
，．
、、不能组成三角形，
等腰三角形的三边长分别为、、，
这个等腰三角形的腰长为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的概念，三角形的三边关系和三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．分是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
【解答】
解：若为底时，腰长应该是，
故三角形的三边分别为、、，
因为，
故能围成等腰三角形，
若为腰时，底边长应该是，
故三角形的三边为、、，
因为，
所以以、、为三边不能围成三角形，
综上所述，腰长是，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
根据等腰三角形的性质，分情况讨论：
当是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形；
当是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，所以周长．
综上所述，以，的值为两边长的等腰三角形的周长是．
故答案为：．
先根据非负数的性质列式求出、的值，再分是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于求出、的值是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，根据题意可知点在以为直径的半圆上运动，
在的另一侧作等边，连接，，，
，是等边三角形，
，，，
，
≌，
．
在中，，
当时，即点，，三点共线时，最大．
如图所示，作，交于点，
，
．
，，
即，
．
，
．
，
．
当最大时，的面积为：．
故答案为：．
先作等边，连接，，，再证明≌，可得，然后根据三角形三边关系可得，当时，最大，可作出图形，接下来求出等边三角形的边长，即可求出面积．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，三角形的三边关系等，确定的最大值是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示，延长到点，连接，就是所作的图形．
由知：≌，
则，，
，即，
，
解得：．
【解析】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中．
根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
根据三角形的三边关系求解即可．
18.【答案】解：原方程可化为：，
解得，；
若是以为斜边的直角三角形，则，
整理得，，
解得，舍去，不符合题意，
；
由可知：；
若是等腰三角形，则或，
解得：或；
当时，三边长为：，，，，满足三角形的三边关系；
当时，三边长为：，，，，满足三角形的三边关系；
综上所述：或．
【解析】原方程可化为：，解得：，；根据即可求解；
由可知：；则或，利用三角形的三边关系加以验证即可．
本题考查了解一元二次方程、勾股定理，三角形三边关系，等腰三角形的判定，关键是掌握相关结论．
19.【答案】解：，
，
，
，，
解得：，，
则，即，
是正整数，
，
的周长．
【解析】本题考查因式分解的运用，三角形三边关系以及非负数的性质，将题干式子转化为，利用非负数的性质求出，，再根据三角形三边关系结合已知条件求出，即可进一步求结论．
20.【答案】
【解析】解：
；
；
故答案为：，；
，
理由如下：
；
原式
．
由正方形的面积得，，即可求解；
根据的结果进行猜想得，即可求解；
，代入、，即可求解．
本题考查了规律探究，二次根式的应用；找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，
是的平分线，
，
，
；
解：的周长为，，
设，则，
是的中线，
，
则，
，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得：，
；
综上可知：或．
【解析】由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；
根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小；
设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出的值，再求出结果即可．
本题考查平行线的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．
22.【答案】解：
；
，，恰好是的三边长，
，
，
又，，
，，
可以取得整数为或，
当时，；
当时，．
【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可；
根据，，恰好是的三边长，求出的取值范围，再选择使得有意义的整数的值代入中的结果计算即可．
本题考查整式的化简求值、三角形三边关系，解答本题的关键是明确三边关系和分式化简求值的方法．
23.【答案】解：设底边长为，则腰长为，
根据题意得，
解得，
底边长为；
若为底时，腰长，三角形的三边分别为，，，能围成三角形；
若为腰时，底边，三角形的三边分别为，，，能围成三角形．
综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形或为腰，底边为的等腰三角形．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．
设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
分是底边和腰长两种情况讨论求解．
24.【答案】解：“嘉嘉”的思路：
，，
，
“淇淇”的思路：
，
以三个无理数构造的为直角三角形，
．
【解析】“嘉嘉”的思路中利用完全平方公式求解即可；“淇淇”的思路，根据勾股定理的逆定理进行判断得出以、，为三边构造的为直角三角形，最后根据三角形三边关系进行判断即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则．
25.【答案】解：所画图形如下所示：
就是所作的图形．
由知：≌，
则，，
，即，
，
解得：．
【解析】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中．
根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
根据三角形的三边关系求解即可．
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