10.2三角形的内角和外角 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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10.2三角形的内角和外角冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，是角平分线，已知，，则( )
A.
B.
C.
D.
2.中，，则此三角形为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3.如图，在中，平分，点在的延长线上，过点作于点若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容：
已知：如图，．
求证：．
证明：延长交于点，
则三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和．
又，得．
故AB@相等，两直线平行．
则回答正确的是( )
A. 代表 B. @代表同位角 C. 代表 D. 代表
5.如图，在中，，为的中点，于点若，则图中的等腰三角形共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”如图是一个“燕尾形”已知，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，某公司安装管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，，则等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，为中点，，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
10.如图，将四边形纸片沿翻折得到三角形，恰好，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接，，，下列结论：；平分；是等边三角形；其中正确的结论个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在 中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点若，，则的大小为______．
14.如图，在 中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为__________．
15.如图，在中，，为边上一点线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为______．
16.如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：；；；，正确的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点求证：．
18.本小题分
如图，点是的边延长线上的一点，，，，求的度数．
19.本小题分
如图，，直线分别与直线，相交于点，，是和之间的一点，在上，连接、，．
求证：平分；
当，时，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，用直尺和圆规按下列要求作图保留作图痕迹，不写作法．
过点作中边上的高，垂足为点；
在的基础上，则有的度数为______．
21.本小题分
如图，在中，，，，求的度数．
22.本小题分
如图，已知中，平分交于点，于点，若，，求的度数．
23.本小题分
如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，求的度数；
如图，已知平分，交边于点，延长至点，过点作于点若，．
______含的代数式表示；
求的度数．
24.本小题分
如图，点在边上，，，．
求证：≌；
若，求的度数．
25.本小题分
如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点．
求证：；
求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是角平分线，，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义得出的度数，再根据三角形的内角和定理解答即可．
此题考查角平分线的定义和三角形内角和定理，关键是根据角平分线的定义得出的度数解答．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的内角和定理．根据比例，设三个内角为、、，再根据三角形的内角和定理求出最大角的度数即可解答．
【解答】
解：根据题意，设、、的度数分别为、、，
则，
解得，
，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故选：．
根据垂直的定义得出，再根据外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形的外角的性质得出结果．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、代表，故A不符合题意；
B、@代表内错角，故B不符合题意；
C、代表，正确，故C符合题意；
D、代表，故D不符合题意．
故选：．
延长交于点，由三角形外角的性质得到，而，得，即可证明．
本题考查三角形外角的性质，平行线的判定，同位角、内错角、同旁内角，关键是由三角形外角的性质推出．
5.【答案】
【解析】解：在中，，为的中点，
，
，是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
综上：一共有个等腰三角形，所以只有选项C正确，符合题意，
故选：．
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，是等腰三角形，再得出，进而可得出是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，准确找出等腰三角形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接，延长到．
根据三角形的外角的性质可得：
，，
，
由题意可得：．
故选：．
连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，，继而得出，代入已知数据，即可求解．
本题考查三角形的内角和的性质，正确进行计算是解题关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了折叠问题，平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．
【解答】
解：长方形，
，
，，
，
由折叠得：，，
，
，
在中，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质的应用及三角形外角的性质，熟练运用这两个知识点是解题的关键．
【解答】
解：如图，延长至点，交于点，
，
，
，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理根据，为中点，可知是的平分线，且，，则，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：，
．
，为中点，
是的平分线，
又，
，
．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：将纸片沿翻折得到，
，，
，，，，
，，
，，
，
故选：．
根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，求出，，即可得出答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
是的外角，，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，最后根据对顶角的性质即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，
，
，即正确；
，
又，
，
是等边三角形，即正确；
又分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，
≌，
，，
边上的高与边上的高相等，
平分，即正确；
，，
，
，
，
中，，
，即不正确，
故选：．
根据轴对称的性质，得，，，从而计算得；根据等腰三角形的性质，可推导得是等边三角形；根据轴对称和全等三角形的性质，推导得平分；再根据直角三角形斜边大于直角边的性质分析，即可完成求解．
本题考查了全等三角形、等腰三角形、角平分线、等边三角形、轴对称、三角形内角和、直角三角形的知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
；
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，，．
由折叠的性质可得，
．
15.【答案】或
【解析】解：为直角三角形，
的三个内角的度数分别为，，，
当时，
是等腰三角形，那么只存在这种情况，
，
，
，
当时，，，那么只存在这种情况，
，
，
，
综上可知，的度数为或，
故答案为：或．
分和两种情况进行解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理、三角形外角性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，所以正确；
平分，
，
，
，
，
，所以错误；
，
，
，
，
，
由得，，
，所以正确；
由条件可知，
，
，
，所以正确，
综上所述只有正确．
故答案为：．
根据，求出，即可判断；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断；证明再结合的结论即可判断；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断，从而得解．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
17.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
是的外角，是的外角，
，，
．
【解析】先证明，根据得，则，再根据平分得，则，然后根据三角形的外角性质得，，由此即可得出结论．
此题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
18.【答案】解：在中，
，
，
，，
．
在中，，，
．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
19.【答案】证明：，
，
，
，
平分；
解：延长交于点，
，，
，
，
，
，
．
【解析】根据，得到，进而推出，即可得证；
延长交于点，根据三角形的外角，求出，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
20.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所求；
，
，
．
故答案为：．
作于点即可；
利用三角形内角和定理求解．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
21.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理设，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别表示出，，，再利用三角形的内角和定理即可求出的值，进而得到的度数．
22.【答案】解：因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以
因为平分，
所以，
所以．

【解析】本题考查角平分线的定义及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件；
23.【答案】
【解析】解：，，
在中，．
是的角平分线，
．
是的高，
，
；
，
在中，．
平分，
．
故答案为：；
平分，
．
是的一个外角，
，
．
，
在中，．
要求的度数，可以先求得和的度数再将它们相减；
根据三角形的内角和，表示，根据角平分线的定义，用表示和，利用三角形外角的相关结论，可以得到的度数；
根据，利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到的度数．
本题考查三角形内角和定理与三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理与三角形外角的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
解：≌，
，
，
，
，
．
【解析】根据推出即可求证；
根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
25.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
；
解：，
，
，
在中，．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
欲证明，只需证得≌；
利用中的全等三角形的性质得到，则由图示知，进而根据三角形内角和定理求得的度数．
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