10.3三角形的角平分线，中线和高线 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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10.3三角形的角平分线，中线和高线冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是的面积的面积；；；．
A. B. C. D.
2.如图，在中，点是边的中点，，若，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
3.如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，，是的两条高，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，，分别为的中线和高线，的面积为，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，垂直的平分线于点，交于点，，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，是的中线，，分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是( )
A. ≌ B. 和面积相等
C. D.
8.如图，、、分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图所示，在中，已知点，分别为边，，的中点，且，则等于( )
A. B. C. D.
10.已知点，，点在轴上，且的面积为，则点的坐标为( )
A. B. ． C. 或 D. 或
11.如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，下列结论：平分；；其中一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在矩形中，为的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，是的中点，且，有下列结论：；；连结，，四边形为菱形；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，点为的三条中线的交点，，若，则面积的最大值是______．
14.如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是_________．
15.如图，点是的重心，延长交于点，延长交于点若的面积是则四边形的面积是______．
16.已知：如图所示，在中，点、、分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点叫做格点已知的三个顶点均在格点上，按要求画图：
请画出的边上的高
画一条一端经过的顶点，一端经过格点的线段，将分成面积相等的两部分
直接写出的面积 ．
18.本小题分
如图，在中，，，，是的中线，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，当的面积等于时，求点运动的时间．
19.本小题分
如图，已知中，，．
画边上的中线，并求长；
画边上的高，若，求的面积．
20.本小题分
在直角三角形中，，是边上的高，，，．
求的长；
若的边上的中线是，求出的面积．
21.本小题分
在学习完三角形的边角关系后，某数学兴趣小组进行了有关内容的探究学习．
资料 垂线段最短
资料 三角形三条中线交于一点，交点称为三角形的重心．
资料 重心到顶点距离是其到对边中点的距离的倍，如图点为的重心，则．
资料 三角形一条中线能将这个三角形的面积平分．
探究 已知的中线，，求面积的最大值．
22.本小题分
如图，在中，点为边的中点，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得不写作法，保留作图痕迹
23.本小题分
如图，在三角形中，，，，，．
根据图中数据，用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积；
当，，时，求的值．
24.本小题分
如图，已知是的角平分线，、分别是和的高请你判断与位置关系，并说明理由；
若，，求的长．
25.本小题分
已知：如图，在直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，，轴，点坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；根据三角形内角和求出，根据角平分线定义即可判断；根据已知条件不能推出．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线、高，三角形的外角性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
【解答】
解：因为是中线，
所以，
所以的面积的面积，故正确；
因为是角平分线，
所以，
因为为高，
所以，
因为，
所以，，
所以，
因为，，
所以，故正确；
因为为高，
所以，
因为，
所以，，
所以，
因为是的平分线，
所以，
所以，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，故错误；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质是解题的关键．
根据三角形的中线的性质，可先得出和的面积的关系，然后求出阴影部分的面积．
【解答】
解：点是的中点，
，
，
，
，
．
3.【答案】
【解析】解：是的中线，，
，
是的高线，
，即，
解得，
故选：．
根据是的中线，，得出，又因为是的高线，所以根据三角形的面积公式即可得出的长．
本题考查了三角形的面积，三囧雪的角平分线、中线和高，关键是三角形面积公式的熟练应用．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，三角形的高．
根据，即可求出的长．
【解答】
解：，是的两条高，
，
，，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：为的中线，的面积为，
，
为的高线，
，
，
，
解得，
所以的长为，
故选：．
根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案．
本题主要考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形面积公式的应用．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义，全等的判定与性质，三角形的中线把三角形的面积等分的性质，三角形的面积的有关知识，此题难度适中．先证明≌，从而可得到，然后先求得的面积，继而可得到的面积．
【解答】
解：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，的面积为，
，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：是的中线，
，
在和中，
，
≌，
故选项A正确，不符合题意；
，
的边和的边上的高相同，
和面积相等，
故选项B正确，不符合题意；
是的中线，
不一定是的角平分线，
和不一定相等，
故选项C不正确，符合题意；
≌，
，
，
故选项D正确，不符合题意，
故选：．
根据三角形的中线定义得，由此可依据“”判定和全等，据此可对选项A进行判断；根据得的边和的边上的高相同，据此可对选项B进行判断；根据是的中线，不一定是的角平分线可对选项C进行判断；根据和全等得，再根据平行线的判定可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定，理解三角形的中线，等底同高的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是的中线，
，
，所以该选项错误，符合题意；
B.是的角平分线，
，所以该选项正确，不符合题意；
C.是的中线，
，即，所以该选项正确，不符合题意；
D.是的高，
，所以该选项正确，不符合题意．
故选：．
根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可．
本题主要考查了三角形角平分线、中线和高，三角形的面积，熟知相关定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】
解：点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，设．
由条件可知，
解得或，
或．
故选：．
如图，设利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】
解：是的中点，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
如图，延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
故正确；
其中一定成立的是．
故选D．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，由是的中点，为的中点，得到，故错误，由，得到，由，得到，设，则，，在中，运用勾股定理，求出，进而得到，在中，求出、，即可判断正确，由≌，得到，由垂直平分线的性质得到，，即可判断正确，分别计算，，即可判断正确．
【解答】
解：连接，，如图，
是的中点，为的中点，
，故错误，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，，
矩形，
，，
，
在中，，
，
，故正确，
，，，
，
，
为的中点，，
，，即：，
四边形为菱形，故正确，
，，
，故正确，
综上所述：正确．
13.【答案】
【解析】解：过作与，
点为的三条中线的交点，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
的面积，
当最大时，的面积最大，
，
面积的最大值．
故答案为：．
过作与，由三角形重心的性质得到，由直角三角形斜边中线的性质得到，因此，由，求出，得到，当最大时，的面积最大，由三角形面积公式即可求解．
本题考查三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由以上知识点求出，的长．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高的性质．
利用三角形的中线得出，进而利用得出的长．
【解答】
解：是边上的中线，
又是边上的高，，，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接．
是的重心，
，，，
，
，
．
故答案为：．
连接，利用三角形重心的性质，等高模型解决问题即可．
本题考查三角形的重心，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
【解析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积．
【详解】解：点是的中点，
，，
，
又点是的中点
，
故答案为：．
17.【答案】解：即为所求；
即为所求；

【解析】【分析】
本题考查了作图应用与设计作图，三角形的面积有关知识
根据网格即可画出的高；
根据网格即可画出的中线；
根据网格即可求出的面积．
【解答】
解：见答案；
见答案；
的面积为：．
18.【答案】解：设点运动的时间为秒．
是的中线，，
．
当点在上时，即当时：
，
根据题意，得，
解得；
如图，当点在上时，即当时：
，
则，
根据题意，得，
解得；
如图，当点在上时，即当时：
，
则，
根据题意，得，
解得．
综上，或或．
答：点运动的时间为秒或秒或秒．
【解析】设点运动的时间为秒，根据三角形的面积公式，分别讨论当点在、、上三种情况下的面积关于的表达式，再列关于的一元一次方程并求解即可．
本题考查三角形的面积、三角形的中线、直角三角形的性质，掌握三角形的中线的定义、三角形面积计算公式、直角三角形的性质和一元一次方程的解法是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，
是边上的中线，，
点是线段的中点，
；
边上的高如图所示：
是边的高，
．
【解析】把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出；
是边的高，根据三角形面积底高即可得到答案．
本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键．
20.【答案】解：如图：
，是边上的高，，，．
；
解得，
所以的长为；
的边上的中线是，
，
所以的面积为．
【解析】先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长；
根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案．
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：的中线，，
，是的重心，
，
．
作于点，
则，
，
当时，取得最大值为，
的最大值为，
的最大值为，
的最大值为．

【解析】由重心的性质得，作于点，则当时，取得最大值，进而可求出面积的最大值．
本题考查了三角形的重心三角形的面积，正确理解资料提供的知识点是解答本题的关键．
22.【答案】解：如图，点即为所求．

【解析】本题主要考查了复杂作图，三角形中线及面积，平行线分线段成比例定理结合题意可得面积为面积的一半，要作，只需要找到边中点即可，因此可以作，即得，由平行线分线段成比例定理可得为中点，此题得解．
23.【答案】解：；
将，，代入，
．
【解析】根据，即可得出结果；
代入数值后即可得出结果．
本题考查了三角形面积的计算、列代数式、代数式求值，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．
24.【答案】解：垂直平分，理由如下：
是的角平分线，、分别是和的高，
，
在与中，
，
≌，
，
，
垂直平分；
，
，
，
，
解得，
所以的长为．
【解析】根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出≌，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案；
根据三角形面积公式得出，求出结果即可．
本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明≌．
25.【答案】解：轴，，
，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
，
，
的坐标是，
，，
设，
，
，
，
，
，
的面积．
【解析】由平行线的性质，折叠的性质推出，由的坐标得到，，设，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积．
本题考查折叠问题，勾股定理，三角形的面积，坐标与图形变化对称，关键是由勾股定理列出关于的方程．
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