11.2不等式的基本性质 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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11.2不等式的基本性质冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.若，则下列式子错误的是( )
A. B. C. D.
3.如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如果的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 是任意实数
5.已知，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
6.若，则．
A. B. C. D.
7.若，则下列不等式中，成立的是( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.若，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
10.若，则下列式子错误的是( )
A. B. C. D.
11.下列判断不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.已知抛物线与的交点为，与轴的交点分别为，，点，，的横坐标分别为，，，且3，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则 填“”或“”
14.若，且，，设，则的取值范围为____．
15.若，且，则的取值范围是________．
16.关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
从“数”的角度证明：当，时，，并解释何时取等号；
小林同学说他也可以用四个直角三角形从“形”的角度证明当，时，，请你根据小林设计的图形，说明理由．
18.本小题分
求证：当时，一定比小．
19.本小题分
将下列不等式化为“”或“”的形式．
；
．
20.本小题分
先填空，再探究：
如果，那么
如果，那么
如果，那么
由你能归纳出比较与大小的方法吗请用文字语言叙述出来．
用的方法，你能否比较与的大小如果能，请写出比较过程．
21.本小题分
已知关于的不等式可化为．
求的取值范围．
试化简：．
22.本小题分
请解决以下两个问题：
利用不等式的性质比较与的大小．
利用不等式的性质比较与的大小．
23.本小题分
形如的不等式，我们称之为双连不等式．求解双连不等式的方法有两种．
方法一：转化为不等式组求解，如：
方法二：利用不等式的性质直接求解，即双连不等式的左、中、右同时减去，得，然后同时除以，得．
请你根据上面的材料解决下列问题：
请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
利用不等式的性质解双连不等式；
已知，求的整数值．
24.本小题分
已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
求的取值范围．
当为何整数时，关于的不等式的解集为
25.本小题分
下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得：； 第一步
移项、合并同类项，得：； 第二步
系数化为，得： 第三步．
小明是从第________步开始出错的，错误的原因是________；
第三步“系数化为”的依据是________；
请你给出正确的解答过程，并把此不等式的解集在数轴上表示出来．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
当时，；当时，，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：因为，
所以，，，．
故错误的是．
3.【答案】
【解析】【分析】
本此题考查数轴和不等式的性质，通过数轴判断出 ，并掌握不等式的性质是解答本题的关键．
由图可知， ，根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：由图可知， ，则有
A、 ，成立，本选项符合题意；
B、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意；
C、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意；
D、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由不等式，得
，
的解集为，
，
解得，；
故选：．
由原不等式变形为，解该不等式的下一步是两边都除以的系数，题中给出的解集是，改变了不等号的方向，所以的系数是小于的，据此可以求得的取值范围．
本题考查了不等式的解集．当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质根据不等式的基本性质依次判断即可．
【解答】
解：两边都加，不等号的方向不变，故A错误；
B.两边都减，不等号的方向不变，故B正确；
C.两边都乘以，不等号的方向不变，故C正确；
D.两边都除以，不等号的方向不变，故D错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行一一判断．
【解答】
解：，而，
根据不等式的性质得到，
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项符合题意；
C.当时，由不能推出，故本选项不符合题意；
D.，
，则，故本选项不符合题意；
故选B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质、不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质的应用，关键是能准确理解并运用不等式性质．运用不等式的性质对各选项进行逐一辨别即可．
【解答】
解：对于选项， ，
仅当 时， 成立，
选项A不符合题意；
对于选项， ，
，
选项B符合题意；
对于选项， ，
，
选项C不符合题意；
对于选项， ，
，
选项D符合题意，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：、，
，不正确；
B、，
，不正确；
C、，
，正确；
D、，
，不正确；
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：因为，
所以，，，．
故错误的是．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】
解：由得，，说法正确，故A不符合题意；
B.由得，，说法正确，故B不符合题意；
C.由得，，说法正确，故C选项不符合题意；
D.由得，当时，，原说法错误，故本选项符合题意；
故选D．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
抛物线与的交点为，
，
整理得，
解得或，
，
，
抛物线与，与轴的交点分别为，，
，可得，可得，
，
，，
，
故选：．
根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
本题主要考查了二次函数的图象和性质以及不等式性质，利用不等式比较大小即可求解．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式的性质有关知识，根据不等式的性质直接判断即可．
【解答】
解：，根据不等式性质，不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，
，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
运用不等式的基本性质解决此题．
【解答】
解：，
，．
．
．
，，
，．
，．
．
．
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式的性质，一元一次不等式的的解法有关知识，根据不等式的基本性质可得，，解这个一元一次不等式即可．
【解答】
解：，且
解得．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质有关知识，根据不等式的性质，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得．
故答案为．
17.【答案】当，时，，所以，
当时，，此时等号成立．
左图中间小正方形的面积为：，大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即：
，同时，大正方形的面积也等于，因此：
，由于，所以：
，当时，中间小正方形消失如右图，等号成立，即 ．
【解析】利用完全平方式的非负性，构造不等式 ，问题得证；
利用图形的面积，构造不等式，可证结论．
本题考查了不等式的证明，理解完全平方式的非负性及数形结合思想的运用是解题的关键．
18.【答案】当时，，，即当时，当时，一定比小．
【解析】见答案
19.【答案】解：，
不等式两边同时乘，
解得：；
，
不等式两边同时减，得，
不等式两边同时减，得，
不等式两边同时除以，得．
【解析】根据不等式的性质即可得到不等式的解集；
根据不等式的性质即可得到不等式的解集．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
20.【答案】解：
比较，的大小，若与的差大于，则若与的差等于，则若与的差小于，则．
能．，
．

【解析】解：用 作差法 比较大小，根据差的值与的大小关系得到两个数或两个式子的大小关系．
21.【答案】【小题】
解：由题意，得，
．
【小题】解：，
，．
．

【解析】 本题考查了不等式的基本性质，关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．．
根据不等式的基本性质求解即可．
本题考查了绝对值的性质，合并同类项，关键是根据的取值范围，去绝对值．
由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．
22.【答案】【小题】解：当时，，即；
当时，，即．
【小题】解：当时，因为，所以；
当时，因为，所以．

【解析】 本题考查了不等式的性质．
根据不等式的性质，可得答案；
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
23.【答案】【小题】
，转化为不等式组为答案不唯一
【小题】
双连不等式的左、中、右同时减去，得，然后同时除以，得则该双连不等式的解集为．
【小题】
双连不等式的左、中、右同时乘，得，然后同时加，得所以的整数值为，．

【解析】 见答案
见答案
见答案
24.【答案】解：解方程组
得
因为，，
所以
所以的取值范围为
化为．
因为不等式的解集为，
所以，
解得．
又因为，
所以．
又因为是整数，
所以．
【解析】解方程组得出、，由为非正数，为负数列出不等式组，解之可得；
由不等式的性质求出的范围，结合中所求范围可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
25.【答案】解：一；不等式的两边同时乘以时，没有乘以；
不等式的基本性质；
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
不等式的解集在数轴上表示出来：

【解析】【分析】
本题主要考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，属于中档题，
根据解一元一次不等式的步骤解答．
【解答】
解： ，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
两边都除以，得，
故答案为一；不等式的两边同时乘以时，没有乘以；
不等式的基本性质；
见答案．
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