6.1二元一次方程组 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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6.1二元一次方程组 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于、的方程组给出下列结论：是方程组的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；，都为自然数的解有对．其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺，若列其中一正确方程，则下列说法错误的是( )
A. 表示的是竿子的长度 B. 列出另一个方程为
C. 表示一半的绳子长度 D. 竿子的长度为尺
3.已知关于，的二元一次方程组给出下列结论中正确的个数是( )
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当时，方程组的解也是方程的解；
无论取什么实数，的值始终不变；
若用表示，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知关于，的方程组以下结论：当，时，；当，方程组的解也是的解；存在实数，使；不论取什么实数，的值始终不变其中正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
6.下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
7.若方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.关于，的方程组有以下两个结论：当时，方程组的解也是方程的解；不论取什么实数，代数式的值始终不变则( )
A. 都正确 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. 都错误
9.是下面哪个二元一次方程的解( )
A. B. C. D.
10.已知关于，的二元一次方程组无解，则的值是( )
A. B. C. D.
11.已知，用表示正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知关于与的方程组的解满足，则应满足( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知方程组的解满足方程，则 ______．
14.二元一次方程的正整数解是 ．
15.
若是方程的一个解，则的值为 ．
方程的正整数解有 个
已知关于，的方程组的解是则方程组的解为 ．
16.已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________。
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当时，方程组的解也是方程的解；
无论取什么实数，的值始终不变；
若用表示，则；
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在关于，的二元一次方程组中，，，求的取值范围．
已知，且，，求的取值范围．
已知，，在关于，的二元一次方程组中，，，求代数式的最大值．
18.本小题分
已知关于、的方程组．
若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
若方程组的解满足，请化简．
19.本小题分
若关于，的二元一次方程组．
若，满足方程，求的值；
若，求的取值范围．
20.本小题分
数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
直接填空：已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为：______．
知识迁移：请用这种方法解方程组．
拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解．
21.本小题分
已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值．
关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值．
22.本小题分
班级开展学习竞赛活动，为了表彰优秀，班主任李老师用元钱购买奖品如果以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品；如果以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品设钢笔单价为元支，笔记本单价为元本．
请用的代数式表示．
若用这元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？
若李老师用这元恰好能买份同样的奖品，可以选择支钢笔和本笔记本为一份奖品两种奖品都要有，请求出所有可能的，值
23.本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解为求、的值．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点为原点，点，点，其中，，满足方程组．
若实数没有平方根，点在第______象限；
若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求点的坐标；
若点，的面积是面积的倍，求点的坐标．
25.本小题分
计算：；
下面是王亮同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：，得第一步
，得第二步
，得第三步
第四步
将代入，得第五步
所以，原方程组的解为第六步
Ⅰ以上求解步骤中，第一步的依据是______；
Ⅱ解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是______消元法；
Ⅲ在解答过程中，第______步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将，代入检验即可作出判断；将和分别用表示出来，然后求出来判断；将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；有得到、都为自然数的解有对．
【解答】解：将，代入方程组得：
由得，由得，故结论不正确；
解方程
得：
解得：
将的值代入得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故结论正确；
将代入方程组得：
解此方程得：
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故结论正确．
因为，所以、都为自然数的解有，故正确．
则正确的选项有，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：其中一正确方程，
表示的是竿子的长度，表示的是绳索的长度，
表示一半的绳子长度，
用绳索去量竿，绳索比竿长尺，
，
根据题意得：，
解得：，
即竿子的长度为尺，
故选项A、、不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
由题意可知表示的是竿子的长度，表示的是绳索的长度，再列出二元一次方程组，然后解方程组，即可解决问题．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：关于，的二元一次方程组，
得，
，
即，
当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即，
，故正确；
原方程组的解满足，
当时，，
而方程的解满足，
因此不正确；
方程组，
解得，
，
因此正确；
方程组，
由方程得，，
代入方程得，
，
，
因此是不正确的．
正确的个数是个
故选：．
根据方程组的解法可以得到，令，即可求出的值，验证即可，根据，分别将代入和，计算并比较即可；解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可，用含有、的代数式表示，进而得出、的关系．
此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程的解的有关知识．
把，代入方程组求出，两个相等即为所求；把代入方程组求出解，代入方程检验即可；由，得到，代入方程组，消元，得到关于的方程，求解即可；方程组整理后表示出，检验即可．
【解答】
解：当，时，
第一个方程，解得，
第二个方程，解得，
故错误；
当，方程组为
解得
，
故正确
由，得到，
代入方程组得：
即，
解得：，
则存在实数，使，故正确；
解方程组
得：
，故正确．
故选C．
5~6.【答案】C 、A
【解析】 略
略
7~8.【答案】D 、C
【解析】 略
略
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了方程解的定义，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键．
把解代入各个选项中，满足方程成立的符合条件．
【解答】
解：把代入，得，所以不是二元一次方程的解；
把代入，得，所以是二元一次方程的解；
把代入，得，所以不是二元一次方程的解；
把代入，得，所以不是二元一次方程的解．
10.【答案】
【解析】解：，
由得：，
把代入得：，
，
方程组无解，
，
，
故选D．
由得出，把代入得出，根据方程组无解，得到，求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于的方程，是一道容易出错的题目．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
把看作已知数表示出即可．
【解答】
解：方程，
，
解得：，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由方程组，得
，得，
，得，
，得，
把代入，得，
，
又由，得，
整理，得，
，
故答案为：．
利用加减消元法求解可得：，，再将其代入，解含的不等式，即可得到答案．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题．
13.【答案】
【解析】解：，
得：，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据方程组中未知数系数特点，将两式相加先求出的值，然后求出的值即可．
本题考查了二元一次方程组的特殊求法，采用整体法求得的值成为解答本题的关键．
14.【答案】或或
【解析】略
15.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

【解析】 略
略
略
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
Ⅱ可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
17.【答案】解：，
由，得，
解得：，
把代入，得，
，，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
；
由题意，得，
变形得：，
由，得，
把代入，得，
，，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
；
解方程组得：，
，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，值最大，
最大值，
最大值为．
【解析】先解方程组，求得，，再根据，，建立关于的不等式组，求出不等式组的解集即可；
先建立方程组，再解方程组求得解为，，然后根据，，建立关于的不等式组，解之即可；
解方程组得：，根据，可得，进一步得到，，代入化简，最后根据的取值范围求出最大值即可．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，绝对值化简，能得出关于或的不等式组是解此题的关键．
18.【答案】解：方程组的解为：，
方程组的解也是方程的一个解，
把，代入得，，
解得：；
方程组的解满足，
，
解得：，
．
【解析】先求出方程组的解为：，根据方程组的解也是方程的一个解，得出，求出的值即可；
先根据得出，求出，然后化简绝对值即可．
此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，解题的关键是根据一元一次不等式的解法解答．
19.【答案】解：
，得：，
即，
，
，
解得．
由可得：，
，
，
解得．
【解析】两式相加，得到，从而得到，即，得到，即可求解；
由可得，即可求解．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于的不等式和方程是解题的关键．
20.【答案】解：；
设，，则原方程组可化为
解得
即有
解得
即：方程组的解为；
设，，则原方程组可化为
化简，得
关于，的二元一次方程组的解为
，即有
解得：．
故方程组的解为：．
【解析】解：设，，则原方程组可化为
的解为
解得
故答案为：；
见答案；
见答案．
设，，即可得，解方程组即可求解；
设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
21.【答案】解：，
得：，
，
，
，
；
，
，
，取正整数，
，或，，
或．
【解析】得，从而得出的方程求解；
由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
22.【答案】【小题】
由题意得，化简得．
【小题】
，本
答：总共可以买本．
【小题】
由题意得：，把代入得，解得此方程的正整数解为或或

【解析】 略
略
略
23.【答案】解：把代入二元一次方程组得
由，得，将代入， 整理得：． 解得：，． 当时当时，， 所以，

【解析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键．把代入二元一次方程组得到关于，的方程组，经过整理，得到关于的一元二次方程，解之即可得到的值，把的值代入一个关于，的二元一次方程，求出的值，即可得到答案．
24.【答案】二
【解析】解：实数没有平方根，
，
，
点在第二象限．
故答案为：二．
根据题意，得．
当时，得，
解得，
点的坐标为；
当时，得，
解得，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
解方程组，得，
，
轴．
如图，过点作的垂线，垂足为点；过点作的垂线，垂足为点．
的面积是面积的倍，
，
，即．
当时，解得，
，，
点的坐标为；
当时，解得，
，，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
根据被开平方数有意义的条件及平面直角坐标系中各象限中点的坐标特征判断即可；
根据题意得到与的数量关系，将用含的代数式表示出来并代入方程组，得到关于和的二元一次方程组并求解即可；
解关于和的二元一次方程组，将和分别用含的代数式表示出来，从而得到，进而得到轴；由的面积是面积的倍可知，点到的距离是点到的距离的倍，据此得到，即，分情况去掉绝对值符号并求出对应的值，从而得到点的坐标．
本题考查三角形的面积、平方根、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握被开平方数有意义的条件、平面直角坐标系中各象限中点的坐标特征、三角形面积计算公式、二元一次方程组的解法是解题的关键．
25.【答案】等式的性质 加减 三
【解析】解：；
Ⅰ以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质；
故答案为：等式的性质；
Ⅱ解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是加减消元法；
故答案为：加减；
Ⅲ在解答过程中，第三步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解如下：
，
解：，得，
，得，
，得．
，
将代入，得，
所以，原方程组的解为，
故答案为：三；．
按照二次根式的运算法则进行运算即可；
Ⅰ根据运算填空即可；Ⅱ根据加减消元法填空即可；Ⅲ先解方程组，根据解答过程填空即可．
本题考查了实数的运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算知识点是关键．
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