7.5平行线的性质 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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7.5平行线的性质冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，，，则为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图， ，将一副直角三角板作如下摆放，图中点、、在同一直线上，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.下列命题中，假命题是( )
A. 同角的补角相等 B. 只有正数才有平方根
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 平行于同一条直线的两条直线平行
7.如图，若，则之间的关系为( )
A. B.
C. D.
8.如图，，，则、、的关系为( )
A. B.
C. D.
9.在同一平面内，、、是直线，下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.要测量作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两名同学提供了如下表所示的间接测量方案：
方案甲 方案乙
作直线，分别交，于点，
过点作直线，使得
测量的大小即可． 作直线，分别交，于点，
测量，的大小
计算
的结果即可．
对于方案甲和方案乙，下列说法正确的是( )
A. 甲、乙都可行 B. 甲不可行，乙可行 C. 甲可行，乙不可行 D. 甲、乙都不可行
11.如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结若，则的大小为( )
A. B. C. D.
12.如图，直线，直线与直线、分别相交于、两点，于点，交直线于点如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_______．
14.如图，，是一条河的两岸，，点为河岸上一点，现在通过点作河岸的平行线，只需过点作的平行线即可，理由是
15.如图，小李绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行若入射光线与镜面的夹角，则的度数为______
16.如图，已知，，则 度．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，点在线段上，，，D.求证：．
18.本小题分
点，分别在直线，上，点在，之间，连接，，如图，过上的点作，交于点，且．
求证：
如图，将射线沿折叠，交于点，若平分，且，探究与的数量关系，写出你的结论并证明
如图，将射线沿折叠，将射线沿折叠，折叠后的两射线交于点，若，则的度数为 直接写出
19.本小题分
如图，已知，点是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足．
求证：；
如图，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由
如图，若，在的条件下，当时，
_______________
将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，的值为_______________．
20.本小题分
如图，直线，直线，与，分别交于点，，与，分别交于点，，，的平分线交于点，是边的中点，连接，有连接，的延长线交于点，的延长线交于点．
求的度数；
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，，．
试说明：；
若是的平分线，，求的度数．
22.本小题分
【问题】如图，若，，则　　；
【问题归纳】如图，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】如图，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．
23.本小题分
【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】如图，，，试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】如图，，，当时，求的度数；
【问题拓展】如图，若，试说明．
24.本小题分
如图，已知，．
证明：．
若于点，且求的度数．
25.本小题分
如图，直线，，为直角，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质能分析题意作出辅助线是解题的关键．
利用两直线平行，内错角相等，即可求解．
【解答】
解：如图，过点作，过点作，
，
，
，，
，
同理可证：，
，，
，
，，
，
即：：．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，作辅助线构造出平行线是解题的关键．
过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后由即可得解．
【解答】
解：过作，
两直线平行，内错角相等，
又，
，
已知，，
平行于同一直线的两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
又，
，
．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
先利用三角形外角性质得，，把两式相加得到，再根据平行线的性质，由得到，然后通过角度的计算得到的度数．
【解答】
解：如图，过点作，过点作，
则，
由平行线的性质可知，
．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】过点作，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选C．
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键熟记两直线平行、同旁内角互补，两直线平行、同位角相等．
5.【答案】
【解析】解法一：因为，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以故选B．
解法二：过点作，如图，
因为，所以，
所以，，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以故选B．
6.【答案】
【解析】解：根据相关知识点进行判断如下：
据同角或等角的补角相等可得：说法是真命题，不符合题意；
根据只有非负数才有平方根可得：说法是假命题，符合题意；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：说法是真命题，不符合题意；
根据平行于同一条直线的两直线平行可得：说法是真命题，不符合题意．
故选：．
根据同角或等角的补角相等可判断，根据平方根的含义可判断，根据平行线的性质与判定可判断，，从而可得答案．
本题考查的是真假命题的判断，平方根的含义，平行线的性质与判定，补角的性质，掌握基础概念是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论，正确作出辅助线是解答此题的关键．过作，由平行线的质可得，，，由即可得、、之间的关系．
【解答】
解：过点作，则．
，
，，
，
即．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，垂线等知识，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，，分别过、作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案
【解答】
解：如图，分别过、作的平行线和，
，
，
，，，
，
又，
，
又，
，
，
即．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：、在同一平面内，若，，则，故本选项正确；
B、在同一平面内，若，，则，故本选项错误；
C、在同一平面内，若，，则，故本选项错误；
D、在同一平面内，若，，则，故本选项错误．
故选：．
根据平行公理以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平行公理，平行线的判定与性质，是基础题，熟记性质与定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质定理和三角形的内角的定理是解题的关键．
分别根据平行线的性质定理和三角形的内角的定理进行说明．
【解答】
解：甲：
，
根据两直线平行，同位角相等，可得：的值即为所求
故甲的方法可行
乙：根据三角形的内角和定理可求，
故乙的方法可行
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，，
，
，
，
故选：．
由题意可得，则，由，，可得，再结合平行线的性质可得．
本题考查平行线的性质，能根据题意得出是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大．先根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出的度数．
【解答】
解：如图：
直线，
，
于点，，
，
故选．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质和平行公理及推论，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．
【解答】
解：，
，
过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，，
．
14.【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质以及平行公理及推论，解答本题的关键是掌握“平行线的性质”的有关知识，然后根据题意求解即可得到答案，根据平行线的传递性即可解答．
【解答】
解：，点为直线，外的一点，
过作河岸的平行线，只需过点作岸的平行线即可．
其理由是：平行于同一条直线的两条直线平行．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，，
，
根据平行线的性质得，，
，即的度数为．
故答案为：．
由题意知，，由，可得，进而可求．
本题考查了平行线的性质．平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质定理以及物理中的几何原理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】本题考查了平行线的性质，先得出，则，结合，代入式子进行计算，即可作答．
【详解】解：过点作，如图所示．
，，
，
．
，
，
则．
故答案为：．
17.【答案】证明：过点作，
，
，
，，
又，，
，，
又，
，
．
【解析】本题考查了平行线的性质，平行公理，垂线的定义，平角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，根据平行线公理推论得到，根据平行线性质得到和，最后根据得出结论．
18.【答案】解：延长交于点，如图，
，即，
，
又，
，
；
，证明如下：
延长交于点，过点作，如图，
由可知，，
，
，
根据翻折的性质可得，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
平分，
，
，
；

【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，翻折变换，角平分线的定义，解答本题的关键是掌握利用平行线的性质求角的度数的思路与方法．
延长交于点，根据，即，得出，再根据，得出，进而得出即可；
延长交于点，过点作，根据平行公理、平行线的性质、翻折的性质、角平分线的定义，结合图形求出，即可求解；
延长交于点，过点作，过点作，根据平行公理、平行线的性质、翻折的性质、结合图形，求出，即可求解．
【解答】
解：见答案；
见答案；
延长交于点，过点作，过点作，如图，
则，，
，
，
，
将射线沿折叠，将射线沿折叠，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
19.【答案】解：证明：，
，
，，
，
，
，
过点作，如图：
，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
，
，
，
．
；秒或秒或秒

【解析】【分析】
本题平行线的判定与性质，平行公理及推论，角的计算，解答本题的关键是掌握利用平行线的性质求角的度数的思路与方法．
根据，得出，根据，，求出，进而得出，即可证明结论成立；
过点作，根据平行线的性质得出，同理可得，，进一步得出，即可求出 ．
过点作，得出，根据，，，求出，，进一步得出，，进而得出，即可求解；
根据旋转的性质分三种情况讨论：当时，当时，当时，分情况画出图形，结合图形，求出旋转角，进而得出旋转时间，即可求解．
【解答】
解：见答案；
见答案；
过点作，如图：
则，
，，，
，，
，
，
，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
由可知，，，，，
，
，
，
过点作，如图：
由可知，，，，
同理可得，，
设绕点逆时针旋转后，点的对应点为，点的对应点为，则，，，
当时，如图：
，，
，
，
，
此时秒；
当时，如图：
则，
，
此时秒；
当时，如图：
则，
，
此时秒；
综上所述，的值为秒或秒或秒．
故答案为：秒或秒或秒．
20.【答案】解：，
．
平分，
．
同理，．
，
．
，，
．
．
．
答：为．
证明：，
．
又平分，
．
．
．
解：由，，，
．
又是的中点，
是的中点．
是梯形的中位线．
．
，，
．
答：的长为．
【解析】依据题意，由，可得，再由角平分线的定义可得，，然后由，即可判断得解；
依据题意，由，可得，又平分，故，从而，进而可以判断得解；
依据题意，由，，可得，然后可得是梯形的中位线，从而，结合，，故可计算得解．
本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、梯形的中位线，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．
21.【答案】【小题】
解： ，
，
又，
，
．
【小题】
解：，，
，
是的平分线，
，
，
．

【解析】 本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行内错角相等可得，等量代换可得，再根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，先根据题意求出，再根据两直线平行，同位角相等，即可解答．
22.【答案】解：如图，过点作 ．
，
，
，，
．
故答案为：．
，
理由如下：如图．
，
，
，，
．
．
理由如下：如图，过点作 ，
，
，
，，
．

【解析】见答案
23.【答案】【小题】
解：，理由如下：
，
，
，
又，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故与的位置关系是．
【小题】
解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
即的度数为．
【小题】
解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
即．

【解析】 详细解答和解析过程见【答案】

详细解答和解析过程见【答案】

详细解答和解析过程见【答案】
24.【答案】【小题】
，，，，，．
【小题】
，，，，，，即，．

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】解：如图，过点作．，， ， ，又为直角， ， ．

【解析】略
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