8.2幂的乘方与积的乘方 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.2幂的乘方与积的乘方冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算不正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为( )
A. B. C. D.
4.下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.计算的结果是( )
A. B. C. D.
6.计算的结果是( )
A. B. C. D.
7.已知，，其中，为正整数，则( )
A. B. C. D.
8.下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
9.计算的结果为 ( )
A. B. C. D.
10.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若、满足，则 ______．
14.计算： ．
15.已知，满足等式，则 ．
16.如果，，则等于 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
阅读下列解题过程，试比较与的大小．
解：，，而，
．
请根据上述解答过程解答：比较，，的大小．
18.本小题分
已知正实数，满足：，求的值
19.本小题分
比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小，如：，，在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，，
比较，的大小．
比较，，的大小．
20.本小题分
计算：
；
；
解方程：．
21.本小题分
计算：．
22.本小题分
分别求出下列式子的值．
已知：，，求：
；
．
如果，求的值．
23.本小题分
地球的半径约为，太阳的半径约为，恒星的半径约为太阳的倍．
太阳的体积约是地球的多少倍？
恒星的体积约是太阳的多少倍？
24.本小题分
规定两数，之间的一种运算，记作【，】，如果那么【，】，例如：因为所以【，】．
根据上述规定，填空：【，】 ______，【，】 ______，【______，】；
小明在研究这种运算时发现一个现象【，】【，】，小明给出了如下的证明：
设【，】，则，即，所以，即【，】，所以【，】【，】请你尝试运用这种方法解决下列问题：证明：【，】【，】【，】
25.本小题分
先化简，再求值：，其中，；
已知，求，的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，原计算不正确，符合题意；
B、，原计算正确，不符合题意；
C、，原计算正确，不符合题意；
D、，原计算正确，不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，幂的乘方，二次根式的化简，合并同类项法则逐一判断即可．
本题考查了完全平方公式，幂的乘方，二次根式的化简，合并同类项，掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选A．
，，，从而可得出、、的大小关系．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题关键是掌握幂的乘方法则．
3.【答案】
【解析】解：正方体的棱长为，
这个正方体的体积为：
，
故选：．
根据正方体的体积等于棱长的立方，列出算式进行计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
利用合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则对每个选项解析逐一判断即可．
【解答】
解：与不是同类项，不能合并，
选项结论不正确，不符合题意；
，
选项结论不正确，不符合题意；
，
选项结论不正确，不符合题意；
，
选项结论正确，符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则可得：
．
故选：．
根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则进行计算即可．
本题主要考查了乘方运算．解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和幂乘方运算法则是，解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方运算运算法则求解即可．
本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，对所求式子进行变形是解题的关键．
将所求式子变形为，再将已知条件代入即可．
【解答】
解：，，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
B.与不是同类项不能合并，故选项B错误，不符合题意；
C.，故选项C正确，符合题意；
D. ，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
运用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
运用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了积的乘方．
根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】
解：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项．
根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方、合并同类项的运算法则可以得出结果．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.与不是同类项，不能合并计算，故D错误．
故选C．
11.【答案】
【解析】解： ，故此选项不成立；
B.，故此选项不成立；
C. ，故此选项成立；
D. ，故此选项不成立；
故选：．
根据积的乘方，单项式的乘法，同底数幂的除法的运算法则即可得答案．
本题考查了积的乘方，单项式的乘法，同底数幂的除法等知识，熟记运算法则并根据法则计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断如下：
A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得．
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用积的乘方的法则进行求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题的关键．
利用非负数的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
【解答】
解：，
，
，，
解得：，，
则．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题是一道基础题，考查了同底数幂的除法以及幂负乘方运算，比较简单．先将变形为，再利用幂的乘方得出，代入计算即可．
【解答】
解：，，
，
，
故答案为．
17.【答案】解：，，，且，
．
【解析】本题考查幂的乘方的逆运算：其中，、为正整数根据幂的乘方的逆运算，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据底数的大小比较即可．
18.【答案】解：原式
；
，
，
或，
或，
，为正实数，
舍去，
，即，
．
【解析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，积的乘方有关知识，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，积的乘方化简各数，再进行加减运算即可；
本题主要考查了分式的化简求值．
先用十字相乘法分解已知等式，结合已知求得，即得，然后代入分式化简求值即可．
19.【答案】解：，，
，
即；
，，，
又，，，
．
【解析】转化为同底数幂，比较指数即可；
转化为同指数，比较底数即可．
本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式
；
原式
；
方程可化为，，
方程两边同时乘以得，，
整理得，，
解得，
检验：当时，最简公分母，
是原方程的解．
【解析】利用积的乘方公式的逆运算、负整数指数幂公式计算即可求解；
利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解；
按照解分式方程的步骤解答即可求解．
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解分式方程，掌握实数的运算法则、整式的运算法则和解分式方程的步骤是解题的关键．
21.【答案】解：
．
【解析】运用相关运算法则计算即可．
本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
22.【答案】解：
；
；
，
，
，
，
．
【解析】先将变形为，再代入求值即可；先将变形为，再代入求值即可；
由变形为，再求解即可．
本题考查了幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则．
23.【答案】【小题】
解：．
答：太阳的体积约是地球的倍．
【小题】
．
答：恒星的体积约是太阳的倍．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】
【解析】解：根据新定义可知【，】．
，
【，】．
，
【，】，
故答案为：；；；
证明：设【，】，【，】，则，，
，
【，】，
【，】【，】【，】．
根据定义直接可得答案；
设【，】，【，】，则，，可得，再求证即可．
本题考查有同底数幂的乘法，零指数幂，解题的关键是理解应用新定义解决问题．
25.【答案】解：原式
当，时，原式．
解：因为，
所以，
解得：．
【解析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，先算乘方，再算乘法，合并同类项，最后代入求出即可．
本课考查了单项式乘单项式，首先利用积的乘方和单项式乘法可得，进而得到，解方程组即可得到答案．
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