8.4整式的乘法 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.4整式的乘法 冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是( )
A. B. C. D.
3.有若干张如图所示的正方形类、类卡片和长方形类卡片，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张．
A. B. C. D.
4.通过计算比较图、图中阴影部分的面积，可以验证的式子是( )
A. B.
C. D.
5.一块长方形的田地被分割成了四个小长方形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大长方形的面积表示错误的是( )
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列式子计算正确的是( )
A. B. C. D.
8.计算的结果是( )
A. B. C. D.
9.下列各式中，计算结果为的是( )
A. B. C. D.
10.在边长为的正方形纸板中剪掉一个边长为的小正方形如图，把余下的部分裁剪拼成一个无重叠的长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A. B.
C. D.
11.已知中不含项，则的值为 ( )
A. B. C. D.
12.如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果二次三项式中有一个因式是，那么的值为 ．
14.计算： ______．
15.若代数式可以表示为的形式，则____．
16.
题：猜想 ______．
题：当，代数式 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
乘法计算：
；
；
；
．
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
已知能分解成两个一次因式之积．
求值；
令两个一次因式分别等于，视为的函数，可以产生两个一次函数，当时，求的取值范围．
20.本小题分
借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用
如图，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式：仿照图，构造图形并计算．
经验总结
完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积．
应用迁移
已知、、满足，，，求的值．
21.本小题分
一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖．
至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？
已知房屋的高度为米，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是元平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？计算时不算门、窗所占的面积．
22.本小题分
计算：
；
．
23.本小题分
如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．结果需要化简
求长方形游泳池面积；
求休息区面积；
比较休息区与游泳池面积的大小关系．
24.本小题分
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题例如：
若，，求的值．
解：，，
，．
即．
．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
，，则的值为______；
如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，，两正方形面积的和为，设，，求的面积；
若，求的值．
25.本小题分
如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
用含有、的式子表示绿化的总面积；结果写成最简形式
若，求出当时绿化的总面积；
在的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程已知甲队每小时绿化平方米，甲队先单独绿化小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式法则计算可求解．
【解答】
解：，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：长方体的体积长宽高；
长方体的体积
；
故选：．
根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可．
本题考查了长方体的体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多项式乘法，此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理解．
计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出、、卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【解答】
解：长为，宽为的大长方形的面积为：；
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
因此可知，拼成一个长为，宽为的大长方形，
需要块卡片，块卡片和块卡片．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查多项式乘多项式，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
根据图可知阴影部分的面积为，根据图，阴影部分的面积用大长方形面积减去两个小长方形面积加上边长为的正方形的面积，通过计算面积相等，即可得到答案．
【解答】
解：题图中，阴影部分是长为、宽为的长方形，所以阴影部分的面积．
题图中，阴影部分的面积大长方形的面积长为、宽为的长方形的面积长为、宽为的长方形的面积边长为的正方形的面积，
所以阴影部分的面积，所以．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
大长方形可以看成整体，根据长方形的面积公式即可表示，或者把大长方形分成小长方形，小长方形的面积之和为大长方形的面积，即可得到表示大长方形的面积．据此得到表示大长方形的面积的代数式，即可解答．
本题考查多项式乘多项式，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【解答】
解：大矩形的长为，宽为，
故面积可表示为，
则选项的面积表示正确；
大矩形可以看作由左右两个长方形构成，左边长方形的长为，宽为，面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，故大长方形的面积可表示为，
则选项的面积表示正确；
大长方形可以看作由左上，左下，右上，右下四个长方形构成，左上长方形的面积为，左下长方形的面积为，右上长方形的面积为，右下长方形的面积为，故大长方形的面积可表示为，
则选项的面积表示正确；
综上，选项的面积表示错误，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断如下：
A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算正确，该选项符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：．
根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
本题考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是关键．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，解答的关键是对这些运算的法则的掌握与应用．
利用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方对各选项进行运算即可得出结果．
【解答】
解：，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
10.【答案】
【解析】解：可以验证等式，
故选：．
根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案．
此题考查了平方差公式与几何图形，熟练掌握该知识点是关键．
11.【答案】
【解析】解：，
多项式不含项，
，
，
故选：．
先进行单项式乘多项式，再合并得到原式，然后令二次项的系数为即可得到的值．
本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．
12.【答案】
【解析】解：长方形的面积为，
类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，
需要类卡片张，类卡片张，类卡片张．
故选：．
根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
按多项式乘多项式展开，再进行加减运算，即可求解．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是单项式乘多项式，代数式的值，完全平方公式的有关知识，直接利用完全平方公式将原式变形得出，的值，进而得出答案．
【解答】
解：代数式可以表示为的形式，
，
解得：，，
解得：，．
．
故答案为．
16.【答案】 或
【解析】解：，
故答案为；
，或，
当时，；当时，，
或，
故答案为或．
由规律可得，再根据数值，可得其答案；
可由，求出的值，再代入得其值．
本题考查学生对规律问题的归纳总结能力，综合性较强．
17.【答案】解：
；
原式
；
原式
；
原式
．
【解析】根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可；
根据多项式乘多项式法则进行计算即可；
根据多项式乘多项式的法则及单项式乘多项式法则进行计算，再相加，即可解答；
先用多项式乘多项式法则进行计算，再进行合并即可解答．
本题主要考查整式的相关运算，熟记相关的法则是解决此题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题．
本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．
19.【答案】解：能分解成两个一次因式之积，，
设，
，
，
由方程组解得
；
由可知，，，
令两个一次因式分别等于，得，，
，，
当时，，
或
由解得，
由解得，
综上所述，当时，的取值范围是或．
【解析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，一次函数的概念，解答本题的关键是掌握利用一元一次不等式组求字母取值范围的思路与方法．
根据能分解成两个一次因式之积，，设，根据整式的乘法运算以及多项式相等得到，解方程组即可求出值；
令两个一次因式分别等于，得出，，当时，，即或，综合上述情况进行解答，即可求解．
20.【答案】解：根据题意可构造图形如下，
大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，，，，，，的和，
；
设正方形的边长为，正方形的边长为，
由于，两正方形的面积和，
，，
，即，
，
阴影部分的面积为，即的面积为．
由知，，
，，
，
．
令，，，
，
，
．
【解析】初步应用：根据图，构造边长为的正方形，再利用两种方法表达正方形的面积即可；
经验总结：从数形两个方面进行计算即可．
应用迁移：根据中给出的公式，令，，，对式子进行整理即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，理解图形中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：，
则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要的地砖；购买所需地砖至少需要元；
根据题意得：，
则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元．
【解析】求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可；
求出客厅与卧室的周长，乘以高，即可得到需要的壁纸面积；根据壁纸的价格是元平方米，求出需要的钱数即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先利用单项式乘多项式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；
先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了整式的运算．
23.【答案】【小题】
长方形游泳池面积为：
平方米；
【小题】
长方形空地的面积为：
平方米，
休息区面积
平方米；
【小题】
，
休息区的面积大于游泳池面积．

【解析】
利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；

利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；

利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．
24.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故答案为：；
设，，
由题意得：，，
，即，
，即，
的面积：；
，
设，，则，
．
根据题意利用完全平方公式变形即可得到本题答案；
利用题意表示出，两个式子，继而计算出，再利用三角形面积公式即可得到；
设，，则，再利用完全平方公式即可得到．
本题考查完全平方公式变形，灵活应用完全平方公式是关键．
25.【答案】解：总面积为平方米；
将代入，
平方米；
设乙队每小时至少绿化，
要求总工作时间不超过小时，故合作完成部分不得超过小时，
故甲单独工作，
剩余，
故，
解得
答：则乙队每小时至少绿化平方米．
【解析】根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
把代入的代数式即可得到结论；
设乙队每小时至少绿化，根据题意列出不等式进行计算即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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