8.5乘法公式 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.5乘法公式冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.无论，为何值，代数式的值总是( )
A. 非负数 B. C. 正数 D. 负数
4.已知，则等于( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个如图所示的梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形，如图，此过程可以验证( )
A. B.
C. D.
7.一个正方形的边长增加，面积相应增加，则这个正方形的边长为( )
A. B. C. D.
8.张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系是( )
A.
B.
C.
D.
9.将图中四个阴影小正方形拼成边长为的正方形，如图所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式( )
A. B.
C. D.
10.已知是一个完全平方式，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
11.已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
12.若是完全平方式，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算：______．
14.若，则 ．
15.若，，则 ．
16.已知是完全平方式，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简：
；
．
18.本小题分
计算：
；
．
19.本小题分
利用乘法公式计算：
；
．
20.本小题分
解方程组；
简便计算：；
先化简，再求值：，其中，；
已知，，求的值．
21.本小题分
张老师在黑板上布置了一道题：
已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
22.本小题分
阅读材料：已知，，求的值．
解：．
参考上面的方法求解下列问题：
已知满足，求的值．
如图，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为．
求长方形的面积；
如图，连接、、，则的面积为________结果写具体的数值
23.本小题分
综合与实践：
学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
数学活动课上，教师准备了许多如图所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形小明用卡片拼成如图正方形；
利用图可得等式： ______；
如图是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______．
请利用图所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，在图的方框内进行作图，进而可以得到等式：______．
【问题解决】
已知，，利用中得到的等式求代数式的值．
【拓展延伸】
如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和，请直接写出图中阴影部分的面积．
24.本小题分
观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得．
通过观察，将你发现的规律用含有的式子表示出来，并注明的取值；
利用你发现的规律，计算：．
25.本小题分
拓广探索：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
．
请仿照上面的方法求解问题：
若满足，求的值．
已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不能利用平方差公式计算，故本选项不合题意；
B、，不能利用平方差公式计算，故本选项不合题意；
C、，能利用平方差公式计算，故本选项符合题意；
D、，不能利用平方差公式计算，故本选项不合题意．
故选：．
根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查平方差公式：两个两项式相乘；有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及平方差公式，掌握运算法则是解题关键．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式和平方差公式的运算法则进行一一计算并判断即可．
【解答】
解：与不属于同类项，不能合并，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了非负数的性质．利用配方法得到原式，然后根据非负数的性质进行判断．
【解答】
解：
，，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
先将变形为，再将变形为，最后将整体代入即可求解．
本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，解题的关键是把当作一个整体．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了梯形，平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于、的恒等式．
【解答】
解：题图中，
题图中，，
恒等式为．
故选C．
6.【答案】
【解析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图和图中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图中阴影部分的面积为：，
图中阴影部分的面积为：，
过程可以验证．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设这个正方形的边长是，
根据题意得：，
整理得，
解得：，
则这个正方形的边长为．
故选：．
正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
8.【答案】
【解析】解：由图知，
，
，
，
，
，
故选：．
根据知以及，建立关于，的等式，即可解题．
本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：因为多项式是一个完全平方式，
可得：，
解得：或，
故选：．
根据完全平方公式的特征判断即可得到的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：多项式是一个完全平方式，
，
或，
故选：．
根据完全平方式的结构特征求解即可．
本题主要考查完全平方式的构造，熟练掌握完全平方公式，是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
是完全平方式，，
故选：．
根据完全平方公式进行分析即可．
本题考查了完全平方公式，灵活掌握完全平方公式是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是关键．把原式化为再计算即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了完全平方公式以及分式的化简等知识，灵活运用完全平方公式是解决问题的关键．
根据题意，利用完全平方公式先求出，再分别求出，，代入计算即可．
【解答】
解：
，
即，
，
，即 ，
，
则，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：是完全平方式，
可知：
；
所以．
故答案为：．
根据题意，因为是完全平方式，所以；据此求出．
本题考查了完全平方式，解决本题的关键是利用完全平方公式．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式性质化简，再从左往右以此计算即可；
先利用平方差公式，完全平方公式计算，再从左往右以此计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：
；
．
【解析】根据平方差公式，完全平方公式，把原式展开，即可得到结果；
先把分式的分子，分母分解因式，再约分，得到结果．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可；
把原式化为：，再利用平方差公式进行简便运算即可．
本题考查的是乘法公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键．
20.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为：；
；
，
当时，原式；
，，
．
【解析】利用加减消元法解方程组即可；
把原式变形为，再利用平方差公式去括号求解即可；
先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可；
根据代值计算即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的变形求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
21.【答案】解：我认为小红说的对，
理由：
，
化简后的结果不含，
小红说的对，
当时，原式．
【解析】先利用平方差公式，完全平方公式将括号内式子化简，再计算整式的除法得出最简结果，最后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，完全平方公式，掌握整式混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：设，，则，，
由得，，
，
即的值为；
设，，则，即，
由于正方形、的面积和为，即，
由得，，
，
即长方形的面积为；
．
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键．
根据题中提供的方法解答即可；
设，，根据题意可求出．代入，即可求出结果； 根据，便可得出结果．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，延长和，交于点，
．
23.【答案】
【解析】解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为，宽为的小长方形和一个边长为，一个边长为的小正方形组成，
，
故答案为：；
结合图形可得大长方形的边长为，宽为，是由三个长为，宽为的小长方形和一个边长为，两个边长为的小正方形组成，
；
故答案为：；
面积为的长方形的长为，宽为；
如图所示：
拼成的长方形由个长为，宽为的小长方形和个边长为，个边长为的小正方形组成，
，
故答案为：；
，，，
，
；
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，
，
，
两正方形的面积和，
，
，
阴影部分的面积为．
结合图形，即可解答：根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答；
根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可解答；
根据完全平方公式，即可解答；
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据可得，根据两正方形的面积和，可得，利用完全平方公式变形公式，即可解答．
本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键．
24.【答案】解：由，得；
由，得；
由，得，
为正整数；
由得，
由得，
由得，
，
．
【解析】根据题目中所给式子即可得出答案；
由题意得出，进行计算即可得出答案．
本题考查了分母有理化、二次根式规律探索，熟练掌握运算法则，得出规律，准确进行计算是解此题的关键．
25.【答案】解：设，，
；
正方形的边长为，，，
，，
设，，
则，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【解析】设，，根据题意进行计算即可得；
根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案．
本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换．
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