9.1因式分解 冀教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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9.1因式分解冀教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.若可以分解为，那么的值为( )
A. B. C. D.
6.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
8.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
9.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
10.下列各恒等变形属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
11.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是
A. B.
C. D.
12.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知整式，整式若可以分解为，则_______ ．
14.若是多项式的一个因式，则 ．
15.若多项式是常数分解因式后，有一个因式是，则的值为 ．
16.两名同学将一个二次三项式因式分解，一名同学看错了一次项系数，因式分解的结果为，另一名同学看错了常数项，因式分解的结果为，则这个二次三项式为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式，例如：，，但有些多项式我们却不太容易观察出怎么分解，例如：？而“数形结合”思想一直是我们解决数学问题的一种常用方法，爱动脑筋的小明就借助一个几何图形对这个多项式进行了分解．
请借助图把多项式分解因式 ______；
把图中的四张长方形图片拼成一个大的长方形图片，并据此写出一个多项式的因式分解．
18.本小题分
下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务若是多项式的一个因式，求的值．
解：是多项式的一个因式，
设为整式．
当时，则有．
将代入，得解得．
学习任务：
若是多项式的一个因式，求出多项式中二次项的系数的值；
若和是多项式的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数，的值．
19.本小题分
定义：，，为正整数，若，则称为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股数”如，则是“完美勾股数”，，是的”伴侣勾股数”．
数 ______“完美勾股数”填“是”或“不是”；
已知的三边，，满足求证：是“完美勾股数”；
已知，且，，，，为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股数”多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
20.本小题分
阅读材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法对多项式进行因式分解．
设，则原式．
根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解．
21.本小题分
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形且以上长度单位：
观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______；
若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为求的值．
22.本小题分
在下面的多项式中，能因式分解的是( )
A. B. C. D.
下列各式：；；；；能用公式法分解因式的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
多项式因式分解为( )
A. B. C. D.
因式分解：
．
．
23.本小题分
检验下列因式分解是否正确：
．
．
24.本小题分
如图所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了．
求被墨水污染的一次式．
若被墨水污染的一次式的值等于，求的值．
25.本小题分
综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式有一个因式是，求的值．
解：由题意，设为整式，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取，
则，解得．
数学思考：“”处的值为______；
方法应用：已知多项式有一个因式是，求的值；
深入探究：若多项式有因式和，求，的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
A、，等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D、是因式分解，符合题意，
故选：．
判断一个式子是否是因式分解的条件是：等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积，等号左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、分解因式的结果是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、因式分解是多项式的，不是针对单项式，不是因式分解，不符合题意；
C、因式分解是整式范围内的分解，不包括分式，不是因式分解，不符合题意；
D、满足因式分解的定义，是因式分解，符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义即可求出答案．
本题考查因式分解的定义，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：中，不是因式分解，故不符合要求；
中，不是因式分解，故不符合要求；
中，是因式分解，故符合要求；
中，不是因式分解，故不符合要求；
故选：．
根据因式分解的定义进行判断作答即可．
本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：将一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，
由此可知，选项不符合题意．
因为，
所以选项不符合题意．
因为，
所以选项符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的意义，熟知因式分解的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
可以分解为，
，，
，，
，
故选D．
先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可．
本题考查了因式分解的定义的应用，关键是能根据已知得出关于、的方程组．
6.【答案】
【解析】解：、，不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
B、符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是正确的；
C、不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
D、不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
故选：．
把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，据此进行逐项分析，即可作答．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是关键．
7.【答案】
【解析】解：、是整式的乘法，故选项错误；
B、结果不是整式的积的形式，故选项错误；
C、结果是整式的积的形式，但是左右不相等，故选项错误；
D、符合因式分解的定义，故选项正确．
故选：．
因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．
本题考查了因式分解的定义．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选D．
9.【答案】
【解析】解：，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B.，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C.，不是因式分解，故该选项不符合题意；
D.，是因式分解，故该选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定．
本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：．
根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
本题主要考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键．
11.【答案】
【解析】解：、左右两边不相等，所以选项不正确，不符合题意；
B、，左右两边不相等，所以选项不正确，不符合题意；
C、，是因式分解，所以选项正确，符合题意；
D、，左右两边不相等，所以选项不正确，不符合题意；
故选：．
判断一个式子是否是因式分解的条件是等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积，左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：、中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，不合题意；
C、运用完全平方公式进行的因式分解，符合题意；
D、左边不是一个多项式，不属于因式分解，不合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，逐一进行判断．
本题考查了因式分解，关键是理解因式分解的定义中，因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．
13.【答案】
【解析】解：．
．
．
．
．
．
故答案为：．
本题主要考查整式的运算，因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念、整式的加减是解决本题的关键．
由，得，进而解决此题．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解与整式的乘法，正确得出常数项和一次项系数是解题关键．
根据题意可知，如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错；看错了常数项，意思是二次项系数和一次项系数都没有看错，据此可得到正确答案．
【解答】
解：设原多项式为其中、、均为常数，且
因为，
所以，；
又因为，
所以
所以原多项式为，
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：借助图可得 ，
故答案为：；
拼出的图形为：
．
根据图形，借助矩形的面积列出等式即可；
先画图形，然后列等式即可．
此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键．
18.【答案】解：设其中为整式，
令，
即取，得；
解得；
设其中为整式，
令或，
当时，即时，得，
当时，即时，得，
即，
由解得，则．
【解析】依据题意列出式子，令即可求解；
依据题意列式，令或，列出二元一次方程组，即可求解．
本题考查了因式分解的应用及解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
19.【答案】是
【解析】解：，
是”完美勾股数“，
故答案为：是；
证明：的三边，，满足，
，
，
，，，
，，，
，
是”完美勾股数“，即是“完美勾股数”；
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
有一个因式为：，
，
该多项式的另一个因式为．
根据”完美勾股数“的定义，判断的平方是否是两个正整数的平方和，进行判断即可；
先根据已知条件，利用分组分解法把分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，，再进行判断即可；
根据”完美勾股数“的定义进行证明，得到与的关系式，从而求出答案即可．
本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用分组分解法分解因式和勾股定理．
20.【答案】解：设，
将代入，得：
原式．
【解析】利用换元法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握换元法，是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，，
；
故答案为：；
由条件可知，，
．
利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论；
由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可．
本题考查因式分解，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．
22.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
【小题】
．
．
．
．

【解析】 略
略
略
略
23.【答案】【小题】
因为，所以因式分解不正确．
【小题】
因为，所以因式分解正确．

【解析】 略
略
24.【答案】【小题】
被墨水污染的一次式是．
【小题】
根据题意得，解得．

【解析】 略
略
25.【答案】
【解析】解：由，
，
故答案为：；
多项式有一个因式是，
设为整式，
令，即，代入式子，
得，
解得；
设，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取，得，
即，
取，得，
即，
，
，
，．
直接解方程可得的值；
直接把代入求解的值即可；
把和代入求解方程组即可．
本题考查了因式分解的应用，代数式求值及解二元一次方程组，做题的关键设出各个因式后转化为解方程即可．
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