1.1锐角三角函数随堂练习 北师大版数学九年级下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.1锐角三角函数随堂练习 北师大版数学九年级下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 922.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 17:18:53 | ||
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文档简介
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，在等腰三角形ABC中，，点D为BC的中点，于点E，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．都没有变化 D．有些有变化
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，、、对边分别为、、，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且sinB=，点E在AC上且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
11．在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的1/3 D．不能确定
12．在中，，，，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝5，c＝12，则sinA＝ .
14．如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 ．
15．如图，中，，，，则的值为 ．
16．计算tan 46°≈ ．(精确到0.01)
17．如图，在中，为边上的中线，，若，的面积为20，则线段的长为 ．
三、解答题
18．平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．
19．如图，在一张长方形纸片中，，，点，分别是和的中点．现将这张纸片按图示方式折叠，求的大小及的长．
20．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹；
（2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝．
21．在中，若三边，，满足，求的值．
22．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
24．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换:
（1）如图①，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF，AD，BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系.
（2）如图②，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件 请给出证明.
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你画出图形，并求出sin∠CGF的值.
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B C A A B D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据求出sinα的值即可．
【详解】解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=，
由锐角三角函数的定义可知，．
故选A．
【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
2．B
【分析】如图所示，连接，由为中点得出，，从而根据勾股定理得出，然后由，得出，最后根据三角函数定义即可得出答案．
【详解】如图所示，连接，
，，为中点，
，，
，
，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过等量代换得出，进而得出答案．
3．C
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．
【详解】在中，，
，
，
则当各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A的各三角比的值都没有变化，
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．
4．B
【分析】根据sinA=，可得，然后设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k，根据勾股定理可得，再根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴，
又，
∴，
设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
6．C
【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.
【详解】解：由题知，，
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.
7．A
【分析】由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
【详解】解：在中，，
，
，，，
故选:A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理，锐角三角函数是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的计算，先求解，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
10．D
【分析】作EF∥CD，根据设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
【详解】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、比例线段的性质等知识点，构建以∠ADE为内角的直角三角形是解题的出发点，根据已知条件表示出所需线段的长度是关键．
11．B
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【详解】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【点睛】锐角三角函数的定义．
12．A
【分析】根据解直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：∵在中，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的运算过程.
13．
【详解】试题分析：根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为．
考点：锐角三角函数的定义．
14．/0.6
【分析】如图所示，过点A作于D，根据题意和网格的特点得到，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
∵顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理可求出的长，再根据正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：根据勾股定理可求出
，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，求角的正弦值．掌握正弦是直角三角形中对边与斜边的比是解题关键．
16．1.04
【详解】试题解析：tan 46°≈1.0355303138≈1.04.
故答案为10.4.
17．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由，得AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x，进而得CF=2x，再由勾股定理得CD=2x，由等腰三角形性质得DE=EC=CD=x，由为边上的中线，得BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC，最后根据面积和勾股定理求解即可.
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F
∵，
∴AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x
∴CF=2x
在Rt△DCF中
由勾股定理得CD==2x，
∵，AE⊥BC
∴DE=EC=CD=x
∵为边上的中线
∴BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC
又S△ABC =20
∴S△ADC=10
∴×AC×DF=10
∴×5x×4x=10
解得x=1或x=-1（舍去）
∴AC=5，BD=CD=2，EC=DE=CD=
∴BE= DE+ BD=3
在Rt△AEC中
由勾股定理得AE==2
在Rt△AEB中
由勾股定理得AB==
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了中线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理求边长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键.
18．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）作DG⊥AB，根据勾股定理和三角函数解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠1=∠2．
∵EF是BD的中垂线，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF；
（2）作DG⊥AB，垂足为G．
∵∠A=60°，AD=6，∴∠ADG=30°，∴AG=AD=3，∴DG=．
∵AB=2AD，∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，∴tan∠ABD=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
19．，EG=5cm
【分析】由翻折的性质可知：AH=AD=25cm．在Rt△ABH中，由勾股定理可求得BH=15cm，于是得到tan∠HAB=，从而可知∠HAB≈37°，于是可求得∠DAH≈53°．然后利用中位线定理得到EG的长度．
【详解】解：由翻折的性质可知：．
在中，．
．
．
∵，，
∴，
由折叠的性质，点G是DH中点，
∵点，分别是和的中点，
∴是△DCH的中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据翻折的性质求得AH、AG、AF的长是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）作AB的垂直平分线，垂足为O点，再截取OD＝OA，则△ABD满足条件；
（2）记四边形ACBD的面积为S，作DE⊥AC，BF⊥DE，如图，先计算出AB＝2a，AC＝a，再利用△ABD为等腰直角三角形得到DA＝a，∠DAB＝45°，计算S△ABC+S△ABD得到S＝a2，接着证明△AED≌△BFD得到DE＝BF，则AE＝a﹣DE，利用S＝S△ADE+S梯形BCED得到（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，则可计算出DE＝a，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求sin∠DAE.
【详解】解：（1）如图，△ABD为所作；
（2）记四边形ACBD的面积为S，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．
∴AB＝2a，AC＝a，
作DE⊥AC于E，BF⊥DE于F，如图，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝AB＝a，∠DAB＝45°，
∴S＝S△ABC+S△ABD＝×a×a+×a×a＝a2，
∵∠AED＝∠BFD，∠ADE＝∠DBF，AD＝DB，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝BF，
∴AE＝AC﹣CE＝AC﹣DE＝a﹣DE，
∵S＝S△ADE+S梯形BCED＝ AE DE+ （BC+DE） CE
∴（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，
∴DE＝a，
在Rt△ADE中，.
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质及作法，三角形全等的判定及性质，锐角三角函数，正确掌握各知识点并运用解题是关键.
21．
【分析】根据的三边满足，可设，，，然后利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，然后求解即可．
【详解】解：∵的三边满足，
∴可设，，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求角的正切值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．tanB'＝
【分析】根据旋转的性质得tanB'＝tanB即可求出tanB'的值.
【详解】解：根据旋转的性质可得：∠B＝∠B′，
∴tanB'＝tanB．
∵tanB＝，
∴tanB'＝．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知三角函数的定义.
23．．
【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴==，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC==，
在Rt△ABC中，cosB=．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
24．（1）S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即:AB=AC，∠BAC=90°，理由见解析；
（3）sin ∠CGF=.
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形面积关系，得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF=BC=BF，求出答案；
（3）根据题意画出图形，利用sin∠CGF＝求出即可．
【详解】解：（1）S△ABC=S四边形AFBD，
理由：由题意可得：AD∥EC，
则S△ADF=S△ABD，
故S△ACF=S△ADF=S△ABD，
则S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：
∵F为BC的中点，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF=BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG=k，
∴CG=CF，
∴sin∠CGF＝．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，在等腰三角形ABC中，，点D为BC的中点，于点E，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．都没有变化 D．有些有变化
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，、、对边分别为、、，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且sinB=，点E在AC上且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
11．在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的1/3 D．不能确定
12．在中，，，，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝5，c＝12，则sinA＝ .
14．如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 ．
15．如图，中，，，，则的值为 ．
16．计算tan 46°≈ ．(精确到0.01)
17．如图，在中，为边上的中线，，若，的面积为20，则线段的长为 ．
三、解答题
18．平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．
19．如图，在一张长方形纸片中，，，点，分别是和的中点．现将这张纸片按图示方式折叠，求的大小及的长．
20．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹；
（2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝．
21．在中，若三边，，满足，求的值．
22．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
24．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换:
（1）如图①，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF，AD，BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系.
（2）如图②，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件 请给出证明.
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你画出图形，并求出sin∠CGF的值.
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B C A A B D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据求出sinα的值即可．
【详解】解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=，
由锐角三角函数的定义可知，．
故选A．
【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
2．B
【分析】如图所示，连接，由为中点得出，，从而根据勾股定理得出，然后由，得出，最后根据三角函数定义即可得出答案．
【详解】如图所示，连接，
，，为中点，
，，
，
，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过等量代换得出，进而得出答案．
3．C
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．
【详解】在中，，
，
，
则当各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A的各三角比的值都没有变化，
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．
4．B
【分析】根据sinA=，可得，然后设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k，根据勾股定理可得，再根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴，
又，
∴，
设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
6．C
【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.
【详解】解：由题知，，
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.
7．A
【分析】由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
【详解】解：在中，，
，
，，，
故选:A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理，锐角三角函数是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的计算，先求解，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
10．D
【分析】作EF∥CD，根据设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
【详解】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、比例线段的性质等知识点，构建以∠ADE为内角的直角三角形是解题的出发点，根据已知条件表示出所需线段的长度是关键．
11．B
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【详解】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【点睛】锐角三角函数的定义．
12．A
【分析】根据解直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：∵在中，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的运算过程.
13．
【详解】试题分析：根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为．
考点：锐角三角函数的定义．
14．/0.6
【分析】如图所示，过点A作于D，根据题意和网格的特点得到，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
∵顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理可求出的长，再根据正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：根据勾股定理可求出
，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，求角的正弦值．掌握正弦是直角三角形中对边与斜边的比是解题关键．
16．1.04
【详解】试题解析：tan 46°≈1.0355303138≈1.04.
故答案为10.4.
17．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由，得AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x，进而得CF=2x，再由勾股定理得CD=2x，由等腰三角形性质得DE=EC=CD=x，由为边上的中线，得BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC，最后根据面积和勾股定理求解即可.
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F
∵，
∴AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x
∴CF=2x
在Rt△DCF中
由勾股定理得CD==2x，
∵，AE⊥BC
∴DE=EC=CD=x
∵为边上的中线
∴BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC
又S△ABC =20
∴S△ADC=10
∴×AC×DF=10
∴×5x×4x=10
解得x=1或x=-1（舍去）
∴AC=5，BD=CD=2，EC=DE=CD=
∴BE= DE+ BD=3
在Rt△AEC中
由勾股定理得AE==2
在Rt△AEB中
由勾股定理得AB==
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了中线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理求边长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键.
18．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）作DG⊥AB，根据勾股定理和三角函数解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠1=∠2．
∵EF是BD的中垂线，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF；
（2）作DG⊥AB，垂足为G．
∵∠A=60°，AD=6，∴∠ADG=30°，∴AG=AD=3，∴DG=．
∵AB=2AD，∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，∴tan∠ABD=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
19．，EG=5cm
【分析】由翻折的性质可知：AH=AD=25cm．在Rt△ABH中，由勾股定理可求得BH=15cm，于是得到tan∠HAB=，从而可知∠HAB≈37°，于是可求得∠DAH≈53°．然后利用中位线定理得到EG的长度．
【详解】解：由翻折的性质可知：．
在中，．
．
．
∵，，
∴，
由折叠的性质，点G是DH中点，
∵点，分别是和的中点，
∴是△DCH的中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据翻折的性质求得AH、AG、AF的长是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）作AB的垂直平分线，垂足为O点，再截取OD＝OA，则△ABD满足条件；
（2）记四边形ACBD的面积为S，作DE⊥AC，BF⊥DE，如图，先计算出AB＝2a，AC＝a，再利用△ABD为等腰直角三角形得到DA＝a，∠DAB＝45°，计算S△ABC+S△ABD得到S＝a2，接着证明△AED≌△BFD得到DE＝BF，则AE＝a﹣DE，利用S＝S△ADE+S梯形BCED得到（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，则可计算出DE＝a，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求sin∠DAE.
【详解】解：（1）如图，△ABD为所作；
（2）记四边形ACBD的面积为S，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．
∴AB＝2a，AC＝a，
作DE⊥AC于E，BF⊥DE于F，如图，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝AB＝a，∠DAB＝45°，
∴S＝S△ABC+S△ABD＝×a×a+×a×a＝a2，
∵∠AED＝∠BFD，∠ADE＝∠DBF，AD＝DB，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝BF，
∴AE＝AC﹣CE＝AC﹣DE＝a﹣DE，
∵S＝S△ADE+S梯形BCED＝ AE DE+ （BC+DE） CE
∴（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，
∴DE＝a，
在Rt△ADE中，.
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质及作法，三角形全等的判定及性质，锐角三角函数，正确掌握各知识点并运用解题是关键.
21．
【分析】根据的三边满足，可设，，，然后利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，然后求解即可．
【详解】解：∵的三边满足，
∴可设，，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求角的正切值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．tanB'＝
【分析】根据旋转的性质得tanB'＝tanB即可求出tanB'的值.
【详解】解：根据旋转的性质可得：∠B＝∠B′，
∴tanB'＝tanB．
∵tanB＝，
∴tanB'＝．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知三角函数的定义.
23．．
【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴==，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC==，
在Rt△ABC中，cosB=．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
24．（1）S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即:AB=AC，∠BAC=90°，理由见解析；
（3）sin ∠CGF=.
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形面积关系，得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF=BC=BF，求出答案；
（3）根据题意画出图形，利用sin∠CGF＝求出即可．
【详解】解：（1）S△ABC=S四边形AFBD，
理由：由题意可得：AD∥EC，
则S△ADF=S△ABD，
故S△ACF=S△ADF=S△ABD，
则S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：
∵F为BC的中点，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF=BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG=k，
∴CG=CF，
∴sin∠CGF＝．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．
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