1.6利用三角函数测高随堂练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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1.6利用三角函数测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）（ ）；
A．1366.00米 B．1482.12米 C．1295.93米 D．1508.21米
3．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．
4．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　）
A． B．
C． D．
6．一个地图上标准比例尺是1∶300000，图上有一条形区域，其面积约为24 cm2 ， 则这块区域的实际面积约为（ ）平方千米.
A．2160 B．216 C．72 D．10.72
7．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 （ ）
A．40米 B．米 C．米 D．10米
8．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1）
C．（4）（2）（3）（1） D．（3）（4）（2）（1）
9．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　）
A． B． C． D．
10．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
11．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（　　）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
12．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B．m C．m D．m
二、填空题
13．如图，有A、B两艘船在大海中航行，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有另一艘船C，那么此时船C与船B的距离是 海里．（结果保留根号）
14．在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成
15．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米；
16．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示．他在点O处测得小山顶端的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为，已知点O到湖面的距离，A，B，三点共线，，则小山的高度为 m．（光线的折射忽略不计，结果保留根号）
17．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 .
三、解答题
18．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30 ，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45 ，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．
19．如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．
20．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜吨，铁吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在处测得圣像顶的仰角为，在点处测得圣像顶的仰角为．已知于点于点米，米，求圣像的高度． (结果保留整数．参考数据：，，)
21．如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
22．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数）
23．如图，某登山队沿山坡上山后，再沿山坡CD下山．已知山坡AB的坡度为，山坡BC的坡度为，山坡CD的坡角∠D＝30°，且山顶C点到水平面AD的距离为1000m，B点到水平面AD的距离为200m．
(1)求山坡的长，
(2)已知登山队上山的速度保持不变，且下山速度是上山速度的2倍，若下山比上山少用26分钟，求下山的速度．
24．举一个生活中运用三角函数解决问题的例子．
《1.6利用三角函数测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D B B A C A C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】设BP=x（x≥0），过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，利用正弦三角函数求得S△PBC ，S△ADQ，当两三角形的面积和最小时，四边形的面积最大，根据x≥0即可判断；
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，设BP=x（x≥0），则AQ=3--x=-x，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，
∴，，，
∴S△PBC=，
S△ADQ，
S△ABC=，
S△PBC+S△ADQ=≥（x=0时，有最小值），
∴四边形PCDQ面积≤-=，
故选： C．
【点睛】，本题考查了正弦三角函数，等边三角形的性质，根据面积关系正确作出辅助线是解题关键．
2．A
【分析】根据题目所给的度数可判定△ABD是等腰三角形，AD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和CE的长，从而可求出山高的高度．
【详解】解：∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=15°，
∵∠BDE=60°，∠BED=90°，
∴∠DBE=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=15°，
∴∠ABD=∠DAB，
∴AD=BD=1000，
过点D作DF⊥AC，
∵AC⊥BC，DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°
∴四边形DFCE是矩形
∴DF=CE
在直角三角ADF中，∵∠DAF=30°，
∴DF=AD=500，
∴EC=500，BE=1000×sin60°=500．
∴BC=500+500(米)．
故选A
【点睛】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解．
3．A
【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．
【详解】解：过作于，于，

，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．D
【详解】试题分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，
∴FG==，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=，
∴CG==AG．
又∵CG﹣FG=30m，
即AG﹣=30m，
∴AG=15m，
∴AB=（15+2）m．
故选D．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
5．B
【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【详解】解：根据题意作图如下：
由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
6．B
【详解】试题分析：设实际面积约为x平方千米，再根据比例尺及相似图形的性质即可列方程求解.
设实际面积约为x平方千米，由题意得
解得
故选B.
考点：比例尺，相似图形的性质
点评：比例尺的问题是中考常见题，一般难度不大，学生只需正确理解比例尺的定义即可.
7．A
【详解】试题分析：在直角△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB=×80=40米．故选A．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
8．C
【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.
【详解】解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；
故选择：C.
【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．
9．A
【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故选A．
10．C
【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
11．B
【详解】解：根据题意可得：∠DAB=70°，AD∥BE，AC=10，AB=8，BC=6，
根据勾股定理的逆定理可知∠ABC=90°，
根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，
则∠CBE=110°-90°=20°，
即点C在点B的北偏西20°方向上.
故选B
12．B
【详解】设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为 所以解得
13．20
【详解】试题分析：过点B作BD⊥AC，则△ABD为等腰直角三角形，则BD=10海里，在Rt△CBD中，∠CBD=60°，则BC=2BD=20海里．
14．（7，-7）
【详解】试题分析：过点A作AC⊥x轴于C，
在Rt△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米， 则AC=7千米，OC=7千米，
因而小岛A所在位置的坐标是（7，-7）．
15．80
【分析】过点C作CE⊥AB后，图中将有两个直角三角形．先在△BCE中，利用已知角的正切值求出CE，然后在△CEA中，利用已知角的正切值求出AE即可解决问题．
【详解】
解：作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△BCE中，BE=CD=20,CE=BE÷tan30°=20，
在Rt△ACE中，可得AE=CE×tan60°=20=60，
故AB=AE+EB=60+20=80（米）．
故答案为80
【点睛】本题考查仰角、俯角的定义，要求学生能借助角度构造直角三角形并解直角三角形．
16．/
【分析】A本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，过点O作于点E，设，则，，根据列方程解出即可．
【详解】解：如图，过点O作于点E，
则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
17．15
【分析】分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用解直角三角形用AB表示出BC、BD的长，列方程即可解答.
【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=60°
∵tan∠ACB= 即tan60°==
∴BC=
在Rt△ABD中，∠ADB=30°
∵tan∠ADB= 即tan30°==
∴BD=
∵CD=30
∴-=30
AB=15
故答案为15
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解题关键是在直角三角形中利用三角函数表示出所需线段的长.
18．旗杆AB的高度是（8+8）米．
【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，从而可以求得AB的高度．
【详解】，解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）×=BD×1，
解得BD=8+8，
∴AB=BD tan45°=（8+8）米，
即旗杆AB的高度是（8+8）米．
19．这座山的高度约为
【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：这座山的高度约为．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
20．圣像的高度约为米
【分析】设圣像的高度约为米，根据已知中的值用表示的长，根据进而可求出BC的长，从而利用中列出关于的方程，解得的值，即为圣象的高度．
【详解】解：设米，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
在中，，
，
∴，
解得，
答：圣像的高度约为米．
【点睛】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于的方程，求解方程即可得解．
21．6.4米
【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长．
【详解】延长，交于点，则，
由题意：，，米，米，
由于四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∵，
∴，
∴(米)．
答：显示屏的高度约为米．
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键．
22．旗杆MN的高度约为13米．
【详解】试题分析:本题主要考查三角函数和解直角三角形,根据题意作点A,C分别向MN作垂线构造两个直角三角形,利用公共边结合三角函数关系进行表示,建立等量关系式列方程求解.
过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F.
设ME＝x，Rt△AME中，∠MAE＝45°，
∴AE＝ME＝x，
Rt△MCF中，MF＝x＋0.2，
CF＝＝ (x＋0.2)，
∵BD＝AE＋CF，
∴x＋ (x＋0.2)＝30，
∴x≈11，即AE＝11，
∴MN＝11＋1.7＝12.7≈13(米)，
故旗杆MN的高度约为13米．
23．(1)1520m
(2)下山的速度是每分钟40米
【分析】(1)过点C作CE⊥AD于E点，过点B作BF⊥AD于F点，分别解直角三角形即可．
（2）设下山的速度为x m/min，依据题意得，列分式方程求解即可．
【详解】（1）过点C作CE⊥AD于E点，过点B作BF⊥AD于F点，
∴BF＝200，CE＝1000，
∵山坡AB的坡度为，
∴AF＝480，
∴AB＝520，
过B点作BG⊥CE于G点，
∴四边形BFEG是矩形，
∴EG＝BF＝200，
∴，
∵山坡BC的坡度为，
∴BG＝600，
∴BC＝1000，
∴山坡的长为(m) ．
（2）∵∠D＝30°，∠CED＝90°，
∴CD＝2000，
设下山的速度为x m/min，依据题意得，
，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴下山的速度是每分钟40米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的坡比，坡角问题，熟练掌握化斜为直的解题方法是解题的关键．
24．见详解
【分析】根据生活中的实际例子解答即可．
【详解】解：生活中的例子如：测量大楼或山丘的高度可以用三角函数解答．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是测量大楼或山丘的高度可以用三角函数．
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